《傅里叶变换》PPT课件

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1、第 4章 傅 里 叶 变 换l本 章 介 绍 连 续 时 间 傅 里 叶 变 换 。l上 一 章 我 们 讨 论 了 周 期 信 号 的 傅 里 叶分 析 ， 然 而 ， 我 们 要 处 理 的 信 号 中 ， 还有 相 当 大 一 部 分 信 号 是 非 周 期 信 号 。 有必 要 考 虑 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 分 析 。 首 先 ， 我 们 从 周 期 信 号 的 傅 里 叶 级 数入 手 ， 然 后 ， 让 周 期 信 号 的 周 期 趋 向于 无 穷 大 ， 从 而 研 究 其 频 谱 的 变 化 。 抽 样 函 数 或 者 称 为 采 样 函 数 ： x xxSa s

2、in)( 通过罗必塔法则，可以得到1)0( Sa抽样函数右边的第一个过零点在 x )()( xSaxSa 偶 函 数0)( Sa 1 x x/1 对 于 任 意 的 连 续 信 号 （ 可 能 是 周 期 的 也 可 能 是 非 周 期 的 ，也 可 能 在 负 无 穷 大 到 正 无 穷 大 时 间 段 都 不 为 零 ） 0)(, 20 txTt 2/0T2/0T 周期延拓 r rTtxtx )()( 0 2/0T2/0T k tjkkeatx 0)( 0 0)(10 T tjkk dtetxTa 2/ 2/0 00 0)(1 TT tjk dtetxT dtetxT tjk 0)(10

3、dtetxjX tj )()(定义一个连续函数)(1 00 jkXTak k tjkejkXTtx 0)(1)( 00 00 /2 T k tjkejkXtx 00 0)(21)( 0T 00 )()( txtx tjejX )( 0 0k tjkejkX 0)( 0 00 0)( tjkejkX面积k tjkejkX 00 0)( dejX tj)( 00 dejXtx tj)(21)( 傅 里 叶 反 变 换一 种 分 解 dtetxjX tj )()(傅里叶正变换傅里叶变换频谱)()( jXtx F )()( 1 txjX F 例题4.2 求 的频谱。 )()( ttx 解 dtetxj

4、X tj )()( dtet tj )(1)( 0 dtet j 单 位 冲 激 信 号 的 频 谱 是 常 数 1， 或 者 说 ， 在 所 有的 频 率 点 上 ， 频 谱 的 值 都 是 恒 定 的 。 这 个 例 子 的 物 理 含 义 非 常 广 泛 ， 它 意 味 着 ， 尖 脉冲 信 号 的 频 谱 非 常 宽 ， 会 对 处 于 不 同 接 收 频 率 的 电 子设 备 产 生 干 扰 。 在 生 活 中 我 们 有 这 样 的 体 验 ， 当 我 们 开 灯 的 时 候 ，电 视 和 收 音 机 的 都 受 到 了 不 同 的 干 扰 。 我 们 知 道 收 音机 和 电 视

5、 机 的 接 收 频 段 是 不 一 样 的 ， 这 说 明 开 灯 的 时候 ， 电 流 的 突 变 激 发 了 一 个 尖 脉 冲 的 磁 场 ， 而 这 个 磁场 又 激 发 了 电 场 ， 形 成 一 个 尖 脉 冲 的 电 磁 波 ， 这 个 尖脉 冲 电 磁 波 的 频 谱 是 很 宽 的 ， 它 同 时 干 扰 了 电 视 和 收音 机 。 电 机 干 扰 、 大 电 流 设 备 的 开 机 所 产 生 的 电 磁 干扰 .等 等 都 有 这 种 因 素 。 )(tx1T 1T t1110)( Tt Tttx 例题4.3解： dtetxjX tj )()( 1 1TT tj dt

6、e 1 1TTtjje )(1 11 TjTj eej 方波信号的频谱是一个抽样函数 1sin2 T)(2 11 TSaT )( jX WWjX 10)(例题4.4 求傅里叶反变换解： dejXtx tj)(21)( WW tj de 21WWtjjte 21 tj Wtj 2sin2 tWtsin)(WtSaW WW )(tx/w ww 本 小 节 主 要 研 究 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换 。上 一 节 的 讨 论 并 没 有 限 定 信 号 为 非 周 期 信号 ， 周 期 信 号 当 然 也 可 以 有 傅 里 叶 变 换（ 注 意 ， 不 是 傅 里 叶 级 数 ） 。显

7、 然 ， 周 期 信 号 是 不 满 足 傅 里 叶 变 换 的 收敛 条 件 的 ， 然 而 ， 鉴 于 周 期 信 号 的 特 殊 地位 ， 我 们 不 得 不 考 虑 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变换 。 )(2)(? 0 jXF detx tj)(221)( 0 tje 0)(2 0 0 Ftje detx tj 0)(221)( 0 k kFk tjkk kaeatx )(2)( 00 )(tx )( jX k k kajX )(2)( 0周期信号的傅里叶变换可以表示为： 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换 是 不 收 敛 的 ， 因 此 ， 它 的频 谱 也 很 特 别 ，

8、 是 冲 激 函 数 。周 期 信 号 的 傅 里 叶 级 数 和 傅 里 叶 变 换 是 不 一 样 的 。傅 里 叶 级 数 是 由 一 系 列 的 频 谱 系 数 组 成 ， 这 些 频谱 系 数 可 以 看 成 一 个 离 散 序 列 ， 而 周 期 信 号 的 傅里 叶 变 换 虽 然 是 冲 激 函 数 串 ， 但 却 是 一 个 连 续 函数 （ 这 里 的 连 续 是 离 散 的 反 义 词 ， 与 数 学 分 析 里面 的 连 续 不 是 一 个 概 念 。 ）值 得 注 意 的 是 ， 冲 激 信 号 是 连 续 时 间 信 号 的 特 例 ，并 非 离 散 信 号 。 k

9、 tjkkeatx 0)( k Tkak 10sin 1 010 )(sin2)( k kk TkjX 0k 010 2TTa 0k )(4)(sin2 0 11 010 TTkk Tkk )( jX 解 ： jeettx tjtj 2sin)( 000 ja 211 ja 211 )()()( 00 jjjX 2cos)( 000 tjtj eettx 211 a 211 a )()()( 00 jX本例的结论在信号调制理论中有着广泛的应用 例题4.7 求一个冲激串的频谱 k kTttx )()( tT解：TdtetTa TT tjkk 1)(1 2/ 2/ 0 k kTjX )(2)( 0

10、 T 20 )( jX T/2 )()( 1 txjX F)()( jXtx F )()( 1 jXFtx )()( txFjX )()( 11 jXtx F )()( 22 jXtx F )()()()( 2121 jbXjaXtbxtax F 也就是说，两个信号的线性组合的频谱，等于这两个信号的频谱的线性组合。 4.3.2 时 移 性 质 dtetxjX tj )()( )( 0ttx dtettx tj)( 0 0)( dteetx tjtj 0 ttt 0 )( dtetxe tjtj )(0 jXe tj )()( 00 jXettx tjF 从极坐标形式看 )(|)(|)( jXj

11、ejXjX )(0 0|)(|)( tjXjF ejXttx 反映的是频率分量的大小，信号产生时移后，它不会变化相位产生一个线性的变化 4.3.3 共 轭 及 共 轭 对 称 性 dtetx tj)(* *)( dtetx tj)( * jX )()( * jXtx F dtetxjX tj )()( )(* tx 实 信 号 )()( * jXjX )()( * txtx )(Im)(Re)( jXjjXjX 实信号的情况1、直角坐标 )(Im)(Re)(* jXjjXjX )(Im)(Re)( jXjjXjX 2、极坐标 )(|)(|)( jXjejXjX )(|)(|)( jXjejXj

12、X )(|)(|)( jXjejXjX 对傅里叶反变换公式两边求导 dejXtx tj)(21)(4.3.4 微分性质 dejjXtxdtd tj)(21)( )()( jXjtxdtd F )(21()( dejXdtdtxdtd tj 4.3.5 时频尺度性质我们来考察信号的尺度变换)(atx的频谱 dteatxatxF tj)()( )(|1 ajXa 00)(1)(1 )(1)(1 aaajXadtetxa ajXadtetxaatt taj taj 时域里面的一个尺度变化对应于频域里面的一个相反的尺度变化)(| 1)( ajXaatx F 时域里面的“窄”，对应于频域里面的“宽”。

13、)( jX)(tx)(atx )/( ajX 高频成分 1a )()( jXtx F 分析实信号为偶函数或者奇函数的情况 实偶信号 )()( txtx )()()( * jXjXjX 实偶信号的频谱也是实偶的 实奇信号 )()( txtx )()()( * jXjXjX 实奇信号的频谱是纯虚的、奇的 一般实信号 )()()( txtxtx oe )(Re)( jXtx Fe )(Im)( jXjtx Fo 也就是说，实数信号的偶部的频谱等于该实数信号的频谱的实部，实数信号的奇部的频谱等于该实数信号的频谱的虚部。 )( jX )(X解析式上的相似性写成 4.3.6 对偶性质(Duality) d

14、ejXtx tj)(21)( dtetxjX tj )()( )()( ftg F dtetgf tj )()( dtetgf tj )(21)(21 degtf tj)(221)( dtetg tj )(21 dtetgf tj )(221)( )(2)( gtf F 例题4.9 求21 2t的傅里叶变换。解：根据例题4.2，我们有，2| 1 2 Fte利用对偶性 |2 21 2 et F )()( Xddtjtx F )()( 00 Xtxe Ftj dXtxjttx F )()(1)()0( 利用对偶性来进一步分析和推导傅里叶变换的性质。（1）下面将微分性质与对偶性结合，可得，（2）下面

15、将时移性质与对偶性结合，（3）下面将积分性质与对偶性结合， )()( Xtx F )(2)( xtX F)(2)( xjtXdtd F |)()( Xddtjtx F )()( Xddtjtx F再利用尺度性质，可得， 可以证明，对于能量有限信号 djXdttx 22 |)(|21|)(|4.3.7 帕斯瓦尔（Parseval）定理信号在时域里面的能量信号在频域里面的能量能 谱 密 度 对于周期信号，那么上面公式的左边将为无穷大。 我们有帕斯瓦尔定律的另一种形式 k kT adttxT 220 |)(|1 0 下面分析两个信号的卷积的频谱。)(*)()( thtxty 4.4 卷积性质 dte

16、tytyFjY tj )()()( dtedthx tj )()( dtdethx tj )()( ddtethx tj )()( dtdethx tj)()( )( jHe j djHex j )()( dexjH j)()( )()( jXjH两个信号的卷积的频谱等于这两个信号的频谱的乘积 )()()()( jXjHthtx F )(tx )(th )(*)()( thtxty dteththFjH tj )()()( )()( jXjH)( jH)( jX可以将频率响应理解为由频率来决定系统的响应，或者说不同的频率产生不同的响应。 由此可见，在频域里面，LTI系统的输出信号的频谱等于其输

17、入信号频谱乘以该系统的频率响应。显然，乘法比卷积更加容易实现，因此，LTI系统的分析将更加地简单。频 率 响 应 卷积性质是频率滤波器的理论基础。对于一个滤波器)( jH可以认为是滤波器系统对于输入信号的不同频率分量的放大倍数。下面是高通、低通、带通滤波器的性质， )( jX, 00 在这里，我们进一步来理解频谱我们将一个信号除以外的频率分量“滤掉” )(tx )(0 tx带通滤波器 的含义。 )(0 tx 00 2|)(|21 djX20 |)(| jX )(tx 0 2|)(| jX 的能量就等于可以说， 表示了信号在从这个意义上来说，与随机变量的概率密度函数的含义类似。处的能量密度。 从

18、频域的观点来看，)( jH也可以看成是对LTI系统的刻画和描述。 )(2 jH)(1 jH )( 1 jH )(2 jH )(1 jH)(2 jH)( 2 jH )(1 jH )( jH dtth |)(|根据傅里叶变换的收敛性讨论，1.系统稳定，2.单位冲激响应在有限的区间内只有有限个极值；3.单位冲激响应在有限的区间内只有有限个不连续点。 收敛的充分条件为， )()( Sts F )()( Ptp F可以利用对偶性证明信号相乘在频域里面的情况4.5 相乘性质)(*)(21)()( SPtstp F两个信号的乘积的频谱正比于这两个信号的频谱的卷积 时 域乘 积卷 积 频 域乘 积卷 积 )()()( tptxtr ttp 0cos)( 例 题 4.12 考 虑 的 频 谱 ， 其 中 解 ： )()(cos 000 Ft )()(21)( 00 jXjXjR )()(*)(21)( 00 jXjR )()(*)( 00 jXjX )( jX )( 0 )()(*)( 00 jXjX 0 0 )( jX )( jP )( jR ttrts 0cos)()( ttxtr 0cos)()( 例题4.13 考虑的频谱，其中解： )()(21 00 jRjR )()(*)(21)( 00 jRjS 0)( jR 0 00 02 )( jR )( jS )( jP