6、
＝25＋8－2×5×2×
＝25.
所以BC＝5.
5．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
[解] (1)由题设得acsin B＝，即csin B＝.
由正弦定理得sin Csin B＝.
故sin Bsin C＝.
(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，
即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.
由题设得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝
7、9，
即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝.
故△ABC的周长为3＋.
1．(2020·四省八校联盟高三联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A＝，tan B＝，a＝5.
(1)求tan C；
(2)求△ABC的最长边．
[解] (1)由题意知，tan C＝－tan(A＋B)＝－＝－＝－3.
(2)由(1)知C为钝角，所以C为最大角，
因为tan A＝，所以sin A＝，又tan C＝－3，所以sin C＝.
由正弦定理得＝，所以c＝，即△ABC的最长边为.
2．(2020·江西红色七校第一次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
8、b，c，已知acos C＋c＝b.
(1)求角A的值；
(2)若b＝4，c＝6，求cos B的值．
[解] (1)由条件acos C＋c＝b，得sin Acos C＋sin C＝sin B，
又由sin B＝sin(A＋C)，得sin Acos C＋sin C＝sin Acos C＋cos Asin C．
由sin C≠0，得cos A＝，故A＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A及b＝4，c＝6，A＝，得a2＝28，故a＝2，
法一：cos B＝＝.
法二：由＝得sin B＝，因为b＜a，所以B＜A，B∈，故cos B＝＝.
3．(2020·
9、贵阳模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcos B＝acos C＋ccos A．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
[解] (1)∵2bcos B＝acos C＋ccos A，
∴由正弦定理得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A，
∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)，又sin B≠0，sin(A＋C)＝sin B，∴2cos B＝1.
∴cos B＝，
又B∈(0，π)，∴B＝.
(2)∵b＝2，B＝，
∴由余弦定理得4＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝
10、ac，即ac≤4(当且仅当a＝c＝2时“＝”成立)，
∴S△ABC＝acsin B＝ac≤×4＝，
∴当且仅当a＝c＝2时，△ABC的面积取得最大值.
4．(2020·济宁模拟)在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC．
(1)若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC；
(2)若∠ABC＝45°，且BD＝3CD，求cos∠CFB．
[解] (1)因为D是BC的中点，所以CD＝BC．
由题设知，DF＝AC，×CD×DF＝×AB×AC，因此CD＝AB．
所以AB＝BC，因此∠ABC＝60°.
(2)不妨设AB
11、＝1，由题设知BC＝.由BD＝3CD得BD＝，CD＝.
由勾股定理得CF＝，BF＝.
由余弦定理得cos∠CFB＝＝.
5．(2020·烟台模拟)在①f (x)的图象关于直线x＝对称，②f (x)的图象关于点对称，③f (x)在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由．
已知函数f (x)＝4sin＋a(ω∈N*)的最小正周期不小于，且________，是否存在正实数a，使得函数f (x)在上有最大值3?
[解] 由于函数f (x)的最小正周期不小于，所以≥，所以1≤ω≤6，ω∈N*.
若选择①，即f (x)的图象
12、关于直线x＝对称，则有ω＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝k＋(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝3，ω＝4.
此时，f (x)＝4sin＋a.
由x∈，得4x＋∈，因此当4x＋＝，即x＝时，f (x)取得最大值4＋a，令4＋a＝3，解得a＝－1，不符合题意．
故不存在正实数a，使得函数f (x)在上有最大值3.
若选择②，即f (x)的图象关于点对称，则有ω＋＝kπ(k∈Z)，
解得ω＝k－(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝1，ω＝3.
此时，f (x)＝4sin＋a.
由x∈，得3x＋∈，因此当3x＋＝，即x＝时，f (x)取得最大值4sin
13、＋a＝＋＋a，令＋＋a＝3，解得a＝3－－，不符合题意．
故不存在正实数a，使得函数f (x)在上有最大值3.
若选择③，即f (x)在上单调递增，
则有(k∈Z)，
解得由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以ω＝1.
此时，f (x)＝4sin＋a.
由x∈，得x＋∈，因此当x＋＝，即x＝时，f (x)取得最大值2＋a，令2＋a＝3，解得a＝3－2，符合题意．
故存在正实数a＝3－2，使得函数f (x)在上有最大值3.
6．(2020·青岛模拟)在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，bcos C＋ccos B＝4，B＝.
请在下列三个条件①(a＋b＋c)(s
14、in A＋sin B－sin C)＝3asin B，②b＝4，③csin B＝bcos C中任意选择一个，添加到题目的条件中，求△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解] 因为bcos C＋ccos B＝4，所以由余弦定理得b·＋c·＝4，解得a＝4.
若选择条件①，即(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B，
在△ABC中，由正弦定理得(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，整理得a2＋b2－c2＝ab，
所以由余弦定理得cos C＝，又C∈(0，π)，故C＝.
又B＝，所以A＝π－－＝.
15、
由＝，得b＝＝＝4(－1)，
故△ABC的面积S＝absin C＝×4×4(－1)×sin＝4(3－)．
若选择条件②，即b＝4，
因为B＝，所以由＝，得sin A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝或A＝.
由于b＞a，所以B＞A，因此A＝不合题意，舍去，故A＝，
则C＝π－－＝，
故△ABC的面积S＝absin C＝×4×4×sin＝4(＋1)．
若选择条件③，即csin B＝bcos C，
在△ABC中，由正弦定理可得sin Csin B＝sin Bcos C，易知sin B≠0，
所以tan C＝.因为C∈(0，π)，所以C＝，
又B＝，所以A＝π－－＝，
16、由＝，得b＝＝＝4(－1)，
故△ABC的面积S＝absin C＝×4×4(－1)×sin＝4(－1)．
7．(2020·滨州模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且其面积为S.
①＝，②||2＝·，③S＝.
(1)请从以上三个条件中任选2个，并求角B；
(2)在(1)的基础上，点D在AB边上，若sin∠CAD＝sin∠ACD，求sin∠CDB．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解] 对于条件①，由正弦定理得＝，则tan A＝tan B，可得A＝B．
对于条件②，由||2＝·可得||2－·＝0，即·(＋)＝·＝0，则C＝.
对于条件③，
17、易得×bcsin A＝，
即4×sin A×＝，
即sin A＝cos A，得tan A＝，故A＝.
若选①②，
(1)易得△ABC是以角C为直角的等腰直角三角形，所以B＝.
(2)由sin∠CAD＝sin∠ACD，可得CD＝AD，
不妨设AD＝1，则CD＝，设AC＝x，由余弦定理可得＝，
得x＝，所以BC＝AC＝.
在△BCD中，＝，所以sin∠CDB＝.
若选②③，
(1)易得△ABC是以角C为直角的直角三角形，又A＝，所以B＝.
(2)由sin∠CAD＝sin∠ACD，可得CD＝AD，
不妨设AD＝1，则CD＝，设AC＝x，由余弦定理可得cos＝，得x＝2.
故
18、由勾股定理的逆定理可得CD⊥AD，所以sin∠CDB＝1.
若选①③，
(1)则易知△ABC为正三角形，可得B＝.
(2)因为△ABC为正三角形，所以A＝，
又sin∠CAD＝sin∠ACD，所以sin∠ACD＝，所以∠ACD＝，
所以CD⊥AB，所以sin∠CDB＝1.
8．(2020·威海模拟)在①(2a＋b)sin A＋(2b＋a)sin B＝2csin C，②a＝csin A－acos C，③△ABC的面积S△ABC＝(a2＋b2－c2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，作为问题的条件，再解答这个问题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝，且
19、________，探究△ABC的周长l是否存在最大值？若存在，求出l的最大值；若不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解] 若选①，因为(2a＋b)sin A＋(2b＋a)sin B＝2csin C，
所以由正弦定理可得(2a＋b)a＋(2b＋a)b＝2c2，
即a2＋b2－c2＝－ab，所以cos C＝＝－，
因为C∈(0，π)，所以C＝.
又c＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，所以a＝2sin A，b＝2sin B，
则l＝a＋b＋c＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋＝sin A＋cos A＋＝2sin＋，
因为0＜A＜
20、，所以2＜2sin＋≤2＋.
即△ABC的周长l存在最大值，且最大值为2＋.
若选②，因为a＝csin A－acos C，
所以由正弦定理可得sin A＝sin Csin A－sin Acos C，
因为sin A≠0，所以sin C－cos C＝1，
所以sin＝，又0＜C＜π，故C＝，
又c＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，
所以a＝2sin A，b＝2sin B，
则l＝a＋b＋c＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋＝3sin A＋cos A＋＝2sin＋，
因为0＜A＜，所以2＜2sin＋≤3，
即△ABC的周长l存在最大值，且最大值为3.
若选③，因为△ABC的面积S△ABC＝(a2＋b2－c2)，
所以absin C＝(a2＋b2－c2)，
所以sin C＝×，
由余弦定理可得sin C＝cos C，即tan C＝，
又因为0＜C＜π，故C＝，
又c＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，
所以a＝2sin A，b＝2sin B，
则l＝a＋b＋c＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋＝2sin＋，
因为0＜A＜，所以2＜2sin＋≤3，
即△ABC的周长l存在最大值，且最大值为3.
新高考数学二轮复习 专题限时集训9 三角函数和解三角形（含解析）-人教版高三数学试题
