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1、题型练9 大题综合练(一)
1.(2019天津,文16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.
(1)求cos B的值;
(2)求sin(2B+π6)的值.
2.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损
2、零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.
(1)若n=19,求y与x的函数解析式;
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?
3.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=π2,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2, PD=PC=4
3、,点F在线段AB上,且EF∥BC.
(1)证明:AB⊥平面PFE;
(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);
②求p的取值范围.
5.已知曲线f(x)=lnx+kex在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,F(x)=xexf'
4、(x).
(1)求k的值和F(x)的单调区间;
(2)已知函数g(x)=-x2+2ax(a为正实数),若对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞)使得g(x2)
5、s2B=154,从而sin2B=2sinBcosB=-158,cos2B=cos2B-sin2B=-78,故sin2B+π6=sin2Bcosπ6+cos2Bsinπ6=-158×32−78×12=-35+716.
2.解(1)当x≤19时,y=3800;
当x>19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700.
所以y与x的函数解析式为
y=3800,x≤19,500x-5700,x>19,(x∈N).
(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100
6、台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000.
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000,10台的费用为4500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4000×90+4500×10)=4050.
比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
3.(1)证明由DE=EC,PD=PC知,E为等腰△PDC中DC边的中点
7、,故PE⊥AC.
又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⊂平面PAC,PE⊥AC,所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.
因∠ABC=π2,EF∥BC,故AB⊥EF.
从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.
(2)解设BC=x,则在Rt△ABC中,
AB=AC2-BC2=36-x2,
从而S△ABC=12AB·BC=12x36-x2.
由EF∥BC知,AFAB=AEAC=23,得△AFE∽△ABC,故S△AFES△ABC=232=49,即S△AFE=49S△ABC.
由AD=12AE,S△AFD=12S△AFE=12·4
8、9S△ABC=29S△ABC=19x36-x2,从而四边形DFBC的面积为S四边形DFBC=S△ABC-S△AFD=12x36-x2−19x36-x2=718x36-x2.
由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角△PEC中,PE=PC2-EC2=42-22=23.体积VP-DFBC=13·S四边形DFBC·PE=13·718x36-x2·23=7,
故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=33.
所以,BC=3或BC=33.
4.解(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为p2,0,
由点p2,0在直线
9、l:x-y-2=0上,
得p2-0-2=0,即p=4.
所以抛物线C的方程为y2=8x.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).
因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,
于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.
①证明:由y2=2px,y=-x+b消去x得y2+2py-2pb=0.(*)
因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2,
从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.
方程(*)的两根为y1,2=-p±p2+2pb,
从而y0=y1+y22=-p.
因为M(x0,y0)
10、在直线l上,所以x0=2-p.
因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).
②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,
所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.
由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,
所以p<43.因此,p的取值范围是0,43.
5.解(1)f'(x)=1x-lnx-kex,f'(1)=1-ke=0,∴k=1.
∴F(x)=xexf'(x)=1-xlnx-x,
∴F'(x)=-lnx-2.
由F'(x)=-lnx-2>0⇒01e2,
∴F(x)的单调增区间为0,1e2,单调减区间为1e2,+∞.
(2)∵对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)1时,g(x)max=g(1)=2a-1,
∴2a-1<1+1e2.
从而1
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