（江苏专用）高考数学总复习 第八章第3课时 圆的方程随堂检测（含解析）

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1、 1．(2012·徐州质检)经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于的圆的标准方程是________． 答案：(x＋)2＋y2＝3 2．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上的任意一点，则△ABC的面积最小值为________． 解析：直线AB方程为x－y＋2＝0，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1， 圆心为(1,0)，圆心到AB距离d＝＝. ∴C到AB距离最小值为－1.又AB＝2， ∴△ABC面积最小值为×2×＝3－. 答案：3－ 3．已知点Q(2,0)，圆C：x2＋y2＝1，若动点M到圆C的切线长与MQ的比等于2.求点M的轨迹方程． 解

2、：设M(x，y)，则M到圆C的切线长为，又MQ＝， ∴＝2，化简为x2＋y2－x＋＝0. 4．已知平面区域被圆C及其内部所覆盖． (1)当圆C的面积最小时，求圆C的方程； (2)若斜率为1的直线l与(1)中的圆C交于不同的两点A，B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程． 解：(1)由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形， ∵覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆， ∴圆心是(2,1)，半径是， ∴圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5. (2)设直线l的方程是：y＝x＋b. ∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l

3、的距离是， 即＝. 解之得，b＝－1±. ∴直线l的方程是：y＝x－1±. 5．如果实数x，y满足x2＋y2－4x＋1＝0，求： (1)的最大值； (2)y－x的最小值； (3)x2＋y2的最值． 解： (1)设＝k，得y＝kx，所以k为过原点的直线的斜率， 又x2＋y2－4x＋1＝0表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，如图所示． 当直线y＝kx与已知圆相切且切点在第一象限时k最大．此时：|CP|＝，|OC|＝2. ∴Rt△POC中，∠POC＝60°，k＝tan60°＝. ∴的最大值为. (2)设y－x＝b，即为直线y＝x＋b，b为直线在y轴上的截距，当直线y＝

4、x＋b与圆有公共点时，当且仅当直线与圆相切，且切点在第四象限，b最小．此时，圆心(2,0)到直线的距离为，即＝， 解得b＝－－2或b＝－2(舍)． ∴y－x最小值为－－. (3)法一：　表示圆上一点到原点距离，其最大值为2＋，最小值为2－. ∴(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4. 法二：　由x2＋y2－4x＋1＝0得(x－2)2＋y2＝3， 设(θ为参数)， 则x2＋y2＝(2＋cosθ)2＋(sinθ)2＝7＋4cosθ. ∴当cosθ＝－1时，(x2＋y2)min＝7－4. ∴当cosθ＝1时，(x2＋y2)max＝7＋4.

5、 [A级　双基巩固] 一、填空题 1．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是________． 解析：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r. ∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a. ∵2＝2，∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，∴a＝1，b＝1，∴r＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 答案：(x－1)2＋(y－1)2＝4 2．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________． 解析：圆心坐标为(0,0)， 半径r＝＝， ∴圆的方程为x

6、2＋y2＝2. 答案：x2＋y2＝2 3．若不同四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)在同一圆上，则实数a的值为________． 解析：设经过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，由题意可得 解得 ∴A，B，C三点确定的圆的方程为x2＋y2－4x－y－5＝0. ∵D(a,3)也在此圆上，∴a2＋9－4a－25－5＝0. ∴a＝7或a＝－3(舍去)． 答案：7 4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________． 解析：圆C1：(x

7、＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)． 圆C2的圆心设为(a，b)，∵圆C1与圆C2关于直线x－y－1＝0对称， ∴解得又圆C2的半径为1， ∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1. 答案：(x－2)2＋(y＋2)2＝1 5．(2012·南京质检)已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点那么过点M的最短弦所在直线的方程是________． 解析：过点M的最短的弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0. 答案：x＋y－1＝0 6．圆x2

8、＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是________． 解析：所给圆的圆心坐标为(2,2)，半径r＝3， 圆心到直线x＋y－14＝0的距离d＝＝5. ∴所求的最大距离与最小距离的差(d＋r)－(d－r)＝2r＝6. 答案：6 7．点P(0,2)到圆C：(x＋1)2＋y2＝1的圆心的距离为________，如果A是圆C上一个动点，＝3，那么点B的轨迹方程为________． 解析：P(0,2)到圆C：(x＋1)2＋y2＝1的圆心的距离d＝，设B(x，y)，A(x0，y0)， ∴＝(x－x0，y－y0)，＝(－x0,2－y0)． ∵＝3

9、，∴∴ ∴2＋2＝1， 即(x－2)2＋(y－6)2＝4. 答案：　(x－2)2＋(y－6)2＝4 8．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的倾斜角的取值范围是________． 解析：圆方程即(x－2)2＋(y－2)2＝18，它的圆心为(2,2)，半径r＝3. 由条件得圆心到直线l的距离d＝≤3－2， 得 2－≤－≤2＋. ∵tan＝2－，tan＝2＋， ∴直线l倾斜角的取值范围是. 答案： 二、解答题 9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)的图形是圆． (

10、1)求t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的半径； (3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围． 解：(1)方程即(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9， ∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0， ∴－＜t＜1. 故t的取值范围是. (2)∵r＝＝ ， ∴当t＝∈时，rmax＝. (3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9＜0时，点P在圆内， ∴8t2－6t＜0，即0＜t＜. 故t的取值范围是. 10．设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R

11、)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)求圆C的方程； (3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论． 解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)， 令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ＞0， 解得b＜1且b≠0.故b的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)． (2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b， 令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入E＝－b－1， 所以圆

12、C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0. (3)圆C必过定点(0,1)，(－2,1)． 证明如下：将(0,1)代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点(0,1)；同理可证圆C必过定点(－2,1)． [B级　能力提升] 一、填空题 1．已知在函数f(x)＝sin图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为________． 解析：∵x2＋y2＝R2，∴x∈[－R，R]． ∵函数f(x)的最小正周期为2R， ∴最大值点为，相邻的最小值点为，代入圆方程，得R＝2，∴T＝4.

13、 答案：4 2．如果点P在平面区域 上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1，那么|PQ|的最小值为________． 解析： 由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P到Q的距离最小为到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ|min＝－1＝－1. 答案：－1 3．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为________． 解析： 如图，取AC中点F，BD中点E， 则OE⊥BD，OF⊥AC，又AC⊥BD，设|OF|＝d1，|OE|＝d2， ∴四边形OEMF为矩形， ∴d＋d＝OM2＝

14、3. 又|AC|＝2， |BD|＝2， ∴S四边形ABCD＝|AC||BD|＝2·＝2 ＝2　 又0≤d≤3，∴当d＝时，S四边形ABCD有最大值5 答案：5 4．点P是圆x2＋y2－8x－2y＋13＝0上的动点，O是坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程是________． 解析：圆的方程可化为(x－4)2＋(y－1)2＝4， 设P(x0，y0)，Q(x，y)，则x＝，y＝，∴x0＝2x，y0＝2y. ∵(x0，y0)是圆上的动点，∴(x0－4)2＋(y0－1)2＝4， ∴(2x－4)2＋(2y－1)2＝4，即(x－2)2＋2＝1. 答案：(x－2)2＋2＝1 二、

15、解答题 5. (2011·高考陕西卷)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的正投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|. (1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度． 解：(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)， 由已知得，又点P在圆上，∴x2＋2＝25. 即轨迹C的方程为＋＝1. (2)经过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)， 由得x2－3x－8＝0， 解之得x1＝，x2＝. ∴线段AB长度为|AB|＝＝＝. 6．已知椭圆E：＋＝1的左焦点为F，左准线l与

16、x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点． (1)求圆C的方程； (2)若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长； (3)在平面上是否存在一点P，使得＝？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由椭圆E：＋＝1， 得l：x＝－4，C(－4,0)，F(－2,0)． 又圆C过原点，所以圆C的方程为(x＋4)2＋y2＝16. (2)由题意，得G(－3，yG)，代入(x＋4)2＋y2＝16，得yG＝±，所以FG的斜率为k＝±，FG的方程为y＝±(x＋2)， 所以C(－4,0)到FG的距离为d＝，直线FG被圆C截得弦长为2＝7. 故直线FG被圆C截得的弦长为7. (3)设P(s，t)，G(x0，y0)，则由＝， 得＝， 整理得3(x＋y)＋(16＋2s)x0＋2ty0＋16－s2－t2＝0，① 又G(x0，y0)在圆C：(x＋4)2＋y2＝16上，所以x＋y＋8x0＝0，② ②代入①得(2s－8)x0＋2ty0＋16－s2－t2＝0. 又由G(x0，y0)为圆C上任意一点可知 解得 所以在平面上存在一点P，其坐标为(4,0)．