（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十章 第57课 直线与圆的位置关系要点导学-人教版高三全册数学试题

《（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十章 第57课 直线与圆的位置关系要点导学-人教版高三全册数学试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十章 第57课 直线与圆的位置关系要点导学-人教版高三全册数学试题（7页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 要点导学　各个击破 直线与圆的位置关系 　(2014·重庆七校联考)已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,直线l的方程为3x+4y+m=0.若圆与直线相切,则实数m=　　　　. [答案]2或-8 [解析]因为直线与圆相切,所以=1Þm=-8或2. [精要点评]圆与直线的位置关系的判定方法主要两种:(1) 利用圆心到直线的距离d与圆的半径R的关系;(2) 利用一元二次方程根的判别式的符号. 　(2014·重庆卷)已知直线ax+y-2=0与圆C:(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,那么实数a=　　　　. [答案]4± [解析]由题设知

2、圆心C到直线ax+y-2=0的距离为,所以=,解得a=4±. 圆的切线问题 　(2014·张家港模拟)已知圆C:(x-2)2+y2=1. (1) 求过点P(3,m)与圆C相切的切线方程; (2) 若点Q是直线x+y-6=0上的动点,过点Q作圆C的切线QA,QB,其中A,B为切点,求四边形QACB面积的最小值及此时点Q的坐标. [解答](1) ①当m=0时,切线方程为x=3. ②当m≠0时,设切线方程为y-m=k(x-3), 所以=1,k=. 故切线方程为x=3或y-m=(x-3). (2) S四边形QACB=2S△QAC=AC·AQ=, 故当CQ最小即CQ垂直于直线x+

3、y-6=0时,四边形QACB的面积最小, CQmin==2,所以S四边形QACB的最小值为, 此时CQ的方程为y=x-2,故Q(4,2). 　若过点P(3,1)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为点A,B,则直线AB的方程为　　　　. [答案]2x+y-3=0 [解析]方法一:由点P(3,1),圆心C(1,0)可设过点P的圆C的切线方程为y-1=k(x-3),由题意得=1,解得k=0或,即切线方程为y=1或4x-3y-9=0. 联立得一切点为(1,1), 又因为kPC==,所以kAB=-=-2, 即直线AB的方程为y-1=-2(x-1),整理得2x+y-3=

4、0. 方法二:点P(3,1),圆心C(1,0),则以PC为直径的圆的方程为(x-3)(x-1)+y(y-1)=0,整理得x2-4x+y2-y+3=0, 联立 ①-②得AB的方程为2x+y-3=0. 圆的弦长、弦心距和半径关系问题 　(2014·衡水中学模拟)已知圆M:x2+y2-2x-4y-11=0被过点N(-1,1)的直线截得的弦长为4,求该直线的方程. [解答]圆M方程转化为(x-1)2+(y-2)2=16,则M(1,2),r=4. 设过点N(-1,1)的所求直线为l. 当直线l的斜率k不存在时,l为x=-1,则交点A(-1,2-2),B(-1,2+2),满足AB=4.

5、 当直线l的斜率k存在时,设l的方程为y-1=k(x+1),即kx-y+k+1=0,则d==,则d2+=16,即d2==16-12=4,则k=-,此时,直线l的方程为y-1=-(x+1),即3x+4y-1=0. 综上所述,直线l的方程为x=-1或3x+4y-1=0. 【题组强化·重点突破】 1. 在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长为　　　　. [答案]2 [解析]圆心到直线的距离d==1,所以R2-d2=,即AB2=4(R2-d2)=12,所以AB=2. 2. 已知圆(x-4)2+(y-1)2=5内一点P(3,

6、0),那么过点P的最短弦所在直线的方程为　　　　. [答案]x+y-3=0 [解析]设圆心为C,因为过点P(3,0)的最短弦垂直于PC,直线PC的斜率k=1,所以所求直线的斜率为-1,从而直线方程为x+y-3=0. 3. (2014·安徽示范高中联考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2=-2y+3,直线l经过点(1,0)且与直线x-y+1=0垂直.若直线l与圆C交于A,B两点,则△OAB的面积为　　　　. [答案]1 [解析]圆C的标准方程为x2+(y+1)2=4,圆心C为(0,-1),半径为2,直线l的斜率为-1,则方程为x+y-1=0,圆心C到直线l的距离d==

7、,弦长AB=2=2,又坐标原点O到弦长AB的距离为,所以△OAB的面积为×2×=1. 4. 设点O为坐标原点,点C为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足·=0,则=　　　　. [答案]± [解析]因为·=0,所以OM⊥CM,所以OM是圆的切线,设OM的方程为y=kx,由=,得k=±,即=±. 含参数的圆的问题 　已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为坐标原点. (1) 求证:△AOB的面积为定值; (2) 设直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程. [思维引导](1) 将

8、△AOB的面积表示为t的函数即可;(2) 将OM=ON转化为原点O在MN的中垂线上,即设MN的中点为H,则CH⊥MN,然后求出t,再求出圆C的方程. [解答](1) 由题设知,圆C的方程为(x-t)2+=t2+,化简得x2-2tx+y2-y=0,当y=0时,x=0或2t,则点A(2t,0).当x=0时,y=0或,则点B. 所以S△AOB=OA·OB=|2t|·=4为定值. (2) 因为OM=ON,所以原点O在MN的中垂线上.设MN的中点为H,则CH⊥MN,所以C,H,O三点共线, 则直线OC的斜率k===,所以t=2或t=-2, 则圆心C(2,1)或C(-2,-1),所以圆C的方程为

9、(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.由于当圆C的方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,此时不满足直线与圆相交,故舍去. 所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 已知圆M的圆心M在y轴上,半径为1,直线l:y=2x+2被圆M所截得的弦长为,且圆心M在直线l的下方. (1) 求圆M的方程; (2) 设点A(t,0),B(t+5,0)(-4≤t≤-1).若AC,BC是圆M的切线,求△ABC面积的最小值. [规范答题](1) 设M(0,b),由题设知,点M到直线l的距离是 =. (2分) 所以=,解得b

10、=1或b=3. (4分) 因为圆心M在直线l的下方,所以b=1, 即所求圆M的方程为x2+(y-1)2=1.(6分) (2) 当直线AC,BC的斜率都存在,即-4

11、个不存在时, 即t=-4或t=-1时,易求得△ABC的面积为. 综上,当t=-时,△ABC的面积取最小值. (16分) 1. “m=”是“直线y=x+m与圆x2+y2=1相切”的　　　　　　条件. [答案]充分不必要 [解析]因为直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径,得d==1Þm=±,所以“m=”是“直线y=x+m与圆x2+y2=1相切”的充分不必要条件. 2. (2014·黄冈中学模拟)已知曲线C:x2+y2-2x+2y=0,直线l:y+2=k(x-2),那么曲线C与直线l有　　　　个公共点. [答案]至少1个 [解析]曲线C表示圆,圆心C(1,-1

12、)到直线l的距离d==≤=r,所以C与l至少有1个公共点. 3. 已知直线ax-2by=2(a>0,b>0)过圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心,那么ab的最大值为　　　　. [答案] 4. (2014·浙江六校联考)若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k=　　　　,b=　　　　. [答案]　-4 [解析]由题意可知2x+y+b=0过圆心(2,0),所以b=-4.又y=kx与2x+y+b=0互相垂直,所以k=. [温馨提醒] 趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第113-114页).