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1、一 、 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 差 分 方 程 的 求 解二 、 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 差 分 方 程 的 求 解 第 八 节 二 阶 常 系 数 线 性 差 分 方 程三 、 小 结 1.定 义 )(12 xfbyayy xxx 形 如 )(0,( 为 已 知 函 数均 为 常 数 ，其 中 xfba 常 系 数 线 性 差 分 方 程 的 差 分 方 程 ， 称 为 二 阶 称 为 齐 次 的 时 称 为 非 齐 次 的 ， 否 则0)( xf 称 为 相 应 的 齐 次 方 程 0 12 xxx byayy2.解 的 结 构 定 理 二 阶 常 系 数 线
2、性 差 分 方 程 的 通 解等 于 对 应 齐 次 方 程 的 通 解 加 上 非 齐 次 方 程 的 一 个特 解 .即 . xxx yyy 一 、 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 差 分 方 程 的 求 解， 代 入 得为 对 应 齐 次 方 程 一 个 解设 )0( xxY 012 xxx ba 02 ba即 其 根程 的 特 征 方 程此 方 程 称 为 对 应 齐 次 方 , 2 4,2 4 2221 baabaa .称 为 相 应 方 程 的 特 征 根 .42 式的 符 号 来 确 定 其 通 解 形现 根 据 ba 如 下 形 式 ： ， 此 时 的 通 解 具 有与有
3、两 个 相 异 的 实 特 征 根 21 ),( 212211 为 任 意 常 数AAAAy xxx (2)第 二 种 情 形 时ba 42 的 通 解 具 有 如 下 形 式 ： ， 此 时征 根方 程 有 两 个 相 等 的 实 特 221 a ),()2)( 2121 为 任 意 常 数AAaxAAy xx (1)第 一 种 情 形 时ba 42 (3)第 三 种 情 形 时ba 42 ,征 根方 程 有 一 对 共 轭 的 复 特 iabia iabia 22 21 421 421 ：把 它 们 化 为 三 角 表 示 式 a abbr 222 4tan, sin,cos rr 则 )
4、sin(cos),sin(cos 21 irir )sin(cos )sin(cos2)2( 1)1( iry iry xxx xxx 解 可 以 证 明都 是 对 应 齐 次 方 程 的 特 )(21)(21 )2()1()2()1( xxxx yyiyy 及 有 以 下 形 式 的 通 解 ：也 都 是 特 解 故 可 得 具 ),( )sincos(21 21是 任 意 常 数AA xAxAry xx 二 、 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 差 分 方 程 的 求 解. xx Yy分 方 程 的 通 解另 一 项 是 对 应 的 齐 次 差 ，解一 项 是 该 方 程 的 一 个
5、 特的 和 组 成 ： 差 分 方 程 的 通 解 由 两 项二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 .2 xxx yYy） 的 通 解 为即 差 分 方 程 （ 即 方 程 为为 常 数 ),()()1( ccxf cbyayy xxx 12 .sx kxy 可 设 其 特 解 形 式 为 代 入 原 方 程 得， 即时 ， 取当 ,001) kysbai x back 1 bacyx 1所 求 特 解 ack 2 acxyx 2此 时 有 特 解 ， 即时 ， 取且当 22201) kxysabaiii x 221 cxyx ，即取时且当 kxysabaii x ,1,201)代 入 原
6、方 程 得 此 时 有 特 解 解 022 0)1)(2( 即 1,2 21 解 得 21 )2( AAy xx ,21,02111 aba 但 xxy x 42112 21 )2(4 AAxy xx 所 给 方 程 通 解 为 42,24 0, 21211 21210 AAAAy AAAAy 即即由 34,34 21 AA可 得 34)2(344 xx xy故 此 时 特 解 为 ， 即 方 程 为都 是 常 数 )1,()()2( qccqxf x xxxx cqbyayy 12 .的 特 解设 其 具 有 形 式 为 xsx qkxy ， 得 其 特 解 为取时当 0,0) 2 sbaq
7、qi baqq cqy xx 2 得 其 特 解 为时 ， 取但当 1020) 2 saqbaqqii aqcxy qx x 2 1 得 其 特 解 为时 ， 取但当 2020) 2 saqbaqqiii aqcxy qxx 4 1 ， 即 方 程 为为 常 数 )()()3( ccxxf n nxxx cxbyayy 12 ).,( )(10 10为 待 定 系 数其 中的 特 解设 其 具 有 形 式 为 n nnsx BBB xBxBBxy ;001) sbai 时 ， 取当 ;1201) sabaii 时 ， 取且当 .2201) sabaiii 时 ， 取， 且当 . ,其 特 解
8、可 确 定定 特 解 代 入 原 方 程分 别 就 以 上 情 形 ， 将 设 例 1 求 差 分 方 程 xyyy xxx 45 12 的 特 解 解 0104511 ba xBByx 10 可 设 xxBBxBBxBB 101010 44)1(55)2(代 入 方 程比 较 两 端 同 次 项 系 数 有 110 0710 1 10B BB 101,1007 10 BB xyx 1011007 则 xxx AAxy )4()1(1011007 21 故 通 解 为 例 2 求 差 分 方 程 243 12 xxx yyy 的 通 解 解 23,04311 aba 且)( 10 xBBxyx
9、 :代 入 方 程 得 xxBxB xBxBxBxB 210 210210 44 )1(3)1(3)2()2( 101,507 10 BB可 得 ,)4( ),101507( 21 AAy xxy xxx 又通 解 为 21 )4()101507( AAxxy xx 三 、 小 结1.二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 差 分 方 程 求 通 解2.二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 差 分 方 程 求 通 解 练 习 题 )2,2(,022)2( )1,1(,0164)1(1 1012 1012 yyyyy yyyyy xxx xxx 解 及 特 解 、 求 下 列 差 分 方 程 的 通 ;3sin)321(4 ),4sin3cos(4)1.(1 xy xBxAy xx xx 14cos2)2( ),4sin4cos()2()2( xy xBxAy xx xx 练 习 题 答 案
高数第七章(13)二阶差分方程
