（课标通用版）高考数学大一轮复习 第六章 数列 第5讲 数列的综合应用检测 文-人教版高三全册数学试题

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1、第5讲 数列的综合应用 [基础题组练] 1．已知数列{an}是等差数列，若a2＋2，a4＋4，a6＋6构成等比数列，则数列{an}的公差d等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：选B.因为a2＋2，a4＋4，a6＋6构成等比数列，所以(a4＋4)2＝(a2＋2)(a6＋6)，化简得d2＋2d＋1＝0，所以d＝－1. 2．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　) A．n(2n＋3) B．n(n＋4) C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4) 解析：选

2、A.由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝n(2n＋3)． 3．(2019·河南郑州一中入学测试)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S5＝5a4－10，则数列{an}的公差为________． 解析：依题意得S5＝＝5a3＝5a4－10，即有a4－a3＝2，所以等差数列{an}的公差为2. 答案：2 4．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于______

3、__． 解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102，由于26＝64，27＝128，则n＋1≥7，即n≥6. 答案：6 5．(2019·武汉市部分学校调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3. (1)若a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式； (2)若T3＝13，求Sn. 解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q， 则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1. 由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，① 由a3＋b3

4、＝7，得2d＋q2＝8，② 联立①②，解得q＝2或q＝0(舍去)，因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1. (2)因为T3＝b1(1＋q＋q2)， 所以1＋q＋q2＝13， 解得q＝3或q＝－4， 由a2＋b2＝3得d＝4－q， 所以d＝1或d＝8. 由Sn＝na1＋n(n－1)d，得Sn＝n2－n或Sn＝4n2－5n. 6．(2019·辽宁五校联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，bn＋1＝(n－λ)，n∈N*，b1＝－λ. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列{bn}是递增数列，求实数λ的取值范围． 解：(1)证明：因为数列{an}满足an＋1＝，

5、所以＝＋1， 即＋1＝2， 又a1＝1，所以＋1＝2， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)可得＋1＝2n， 所以bn＝(n－1－λ)＝(n－1－λ)·2n－1(n≥2)， 因为b1＝－λ符合上式，所以bn＝(n－1－λ)·2n－1(n∈N*)． 因为数列{bn}是递增数列，所以bn＋1>bn， 即(n－λ)·2n>(n－1－λ)·2n－1， 即λ0，则其前n项和取最小值时n的值为(　

6、　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选C.由d>0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，则a8＝－<0，a9＝>0，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C. 2．数列{an}的通项an＝n，其前n项和为Sn，则S40为(　　) A．10 B．15 C．20 D．25 解析：选C.由题意得，an＝n＝ncos， 则a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，…， 于是a2n－1＝0，a2n＝(－1)n·2n， 则S40＝(a1＋a3＋…＋a3

7、9)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a40)＝－2＋4－…＋40＝20. 3．(应用型)(2019·山东实验中学诊断测试)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是(　　) A．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且a

8、＝ B．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且c＝ C．a，b，c依次成公比为的等比数列，且a＝ D．a，b，c依次成公比为的等比数列，且c＝ 解析：选D.由题意可知b＝a，c＝b，所以＝，＝.所以a，b，c成等比数列且公比为.因为1斗＝10升，所以5斗＝50升，所以a＋b＋c＝50，又易知a＝4c，b＝2c，所以4c＋2c＋c＝50，所以7c＝50，所以c＝，故选D. 4．已知一列非零向量an满足a1＝(x1，y1)，an＝(xn，yn)＝(xn－1－yn－1，xn－1＋yn－1)(n≥2，n∈N*)，则下列命题正确的是(　　) A．{|an|}是等比数列，且公比为 B．{|a

9、n|}是等比数列，且公比为 C．{|an|}是等差数列，且公差为 D．{|an|}是等差数列，且公差为 解析：选A.因为|an|＝·＝·＝|an－1|(n≥2，n∈N*)，|a1|＝≠0，＝为常数，所以{|an|}是等比数列，且公比为，选A. 5．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝________. 解析：由－＝0可得an＋1＝an，故{an}是公比为的等比数列，故{}是公比为的等比数列，则{bn}是公比为2的等比数列，b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)25＝32. 答案：32 6

10、．(2019·浙江镇海中学摸底)已知数列{an}中，a1＝a，a2＝2－a，an＋2－an＝2，若数列{an}单调递增，则实数a的取值范围为________． 解析：因为an＋2－an＝2，所以数列{an}的奇数项为公差为2的等差数列，偶数项也为公差为2的等差数列，所以若使数列{an}单调递增，只需a1

11、bn}的前n项和Tn. 解：(1)因为数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以＝1＋2(n－1)＝2n－1， 所以Sn＝2n2－n. 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n)－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3. 当n＝1时，a1＝1也符合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3. (2)当n＝1时，＝，所以b1＝2a1＝2. 当n≥2时，由＋＋…＋＝5－(4n＋5)，① 得＋＋…＋＝5－(4n＋1).② ①－②，得＝(4n－3). 因为an＝4n－3，所以bn＝＝2n(当n＝1时也符合)． 所以＝＝2， 所以

12、数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以Tn＝＝2n＋1－2. 8．(2019·安徽淮南二中、宿城一中联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有4an＝3Sn＋2成立，记bn＝log2an. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜. 解：(1)在4an＝3Sn＋2中，令n＝1得a1＝2. 因为对任意正整数n，都有4an＝3Sn＋2成立， 所以当n≥2时，4an－1＝3Sn－1＋2， 两式作差得，4an－4an－1＝3an， 所以an＝4an－1， 又a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列， 所以an＝2×4n－1＝22n－1， 所以bn＝log2an＝log222n－1＝2n－1. (2)证明：因为bn＝2n－1， 所以cn＝＝＝＝×， 所以Tn＝＋＋＋…＋＋ ＝ ＝－， 所以对任意的n∈N*，Tn<. 又cn>0，所以Tn为关于n的增函数， 所以Tn≥T1＝c1＝. 综上，≤Tn＜.