（课标通用）高考数学一轮复习 课时跟踪检测30 理-人教版高三全册数学试题

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1、课时跟踪检测(三十) [高考基础题型得分练] 1．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案：D　 解析：＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)， ∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6. 2．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：C　 解析：由(＋)·＝||2，得 ·(＋－)＝0， 即·(＋＋)＝0，即2·＝0， ∴⊥，∴A＝90°. 又根据已知条

2、件不能得到||＝||， 故△ABC一定是直角三角形． 3．[2017·广东深圳调研]在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，则·＝(　　) A．2 B．2 C．－2 D．－2 答案：D　 解析：由余弦定理，得 cos A＝＝＝－， 所以·＝||·||cos A＝2×2×＝－2，故选D. 4．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是(　　) A．－ B．－ C. D． 答案：D　 解析：由已知，可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0， 即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，∴cos θ＝－.

3、 又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 5．[2017·浙江杭州质量检测]设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)，若＝＋，则∠BAC＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：C　 解析：取BC的中点D，连接AD，则＋＝2. 由题意，得3＝2，∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°，故选C. 6．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是(　　) A. B． C. D． 答案：C　 解析：设a与b的夹角为θ. ∵f(x)＝x3＋|a

4、|x2＋a·bx， ∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b， ∵函数f(x)在R上有极值， ∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根， 即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜. 又∵|a|＝2|b|≠0， ∴cos θ＝＜＝，即cos θ＜. 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈，故选C. 7．若非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC为(　　) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰非等边三角形 答案：C　 解析：由·＝0知， 角A的平分线与BC垂直，∴||＝||； 由·＝知，cos A＝，∴A＝60°. ∴△ABC为等边三角形．

5、 8．在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围为(　　) A. B．[2,4] C．[3,6] D．[4,6] 答案：D　 解析：设MN的中点为E，则有＋＝2， ·＝[(＋)2－(－)2] ＝2－2＝2－. 又||的最小值等于点C到AB的距离，即， 故·的最小值为2－＝4. 当点M与点A(或B)重合时，||达到最大，易知||的最大值为＝， 故·的最大值为6， 因此·的取值范围是[4,6]． 9．[2017·广东广州综合测试]在△ABC中，若·＝·＝2，则边AB的长等于________． 答案：2　 解析：由题意知，·＋

6、·＝4，即·(＋)＝4，即·＝4，∴||＝2. 10．[2017·天津十二区县重点中学联考]在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的最大值为________． 答案：　 解析：以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则C(1,1)，M， 设E(x,0)，x∈[0,1]， 则·＝(1－x,1)·＝(1－x)2＋， 当x∈[0,1]时，(1－x)2＋单调递减， 当x＝0时，·取得最大值. 11．[2017·山西太原模拟]已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为_

7、_______． 答案：4　 解析：由题意，可得 a·b＝cos θ－sin θ＝2cos， 则|2a－b|＝＝＝∈[0,4]， 所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4. 12．在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－2，则λ＝________. 答案：　 解析：∵＝－＝(1－λ)－， ＝－＝λ－， 由·＝－2，可得 [(1－λ)－]·(λ－)＝－2. 化简，得(1－λ)λ·－(1－λ)2－λ2＋· ＝－2， 又·＝0，2＝4，2＝1， ∴－(1－λ)×4－λ×1＝－2，解得λ＝. [冲刺名校能力提升练]

8、 1．[2017·湖南衡阳八中高三月考]已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：B　 解析：因为AB⊥BC，点A，B，C在圆x2＋y2＝1上， 故AC过圆心O，＋＝2， |＋＋|＝|2＋|＝|3＋|. 当与同向共线时，即B(－1,0)时，|＋＋|取得最大值7.故选B. 2．若函数f(x)＝2sin(－2

9、 解析：函数f(x)＝2sin(－2

10、 即b2－c2＋2a2＝0. 又由||＝||可得a＝b，则c2＝3a2， 由余弦定理可得， cos C＝＝＝－， 所以△ABC的内角C＝. 4．已知A，B，C是圆x2＋y2＝1上的三点，且＋＝，其中O为坐标原点，则▱OACB的面积等于________． 答案：　 解析：如图所示， 由||＝||＝||＝1知，▱OACB是边长为1的菱形，且∠AOB＝120°. ∴S▱OACB＝||||sin 120°＝1×1×＝. 5.[2017·江西五校联考]已知向量m＝，n＝. (1)若m·n＝1，求cos的值； (2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，

11、b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围． 解：m·n＝sin cos ＋cos2 ＝sin ＋cos ＋＝sin＋. (1)∵m·n＝1，∴sin＝， cos＝1－2sin2＝， ∴cos＝－cos＝－. (2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理，得 (2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C， ∴2sin Acos B＝sin(B＋C)． ∵A＋B＋C＝π， ∴sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0， ∴cos B＝，

12、B＝，∴0＜A＜， ∴＜＋＜，＜sin＜1. 又∵f(x)＝m·n＝sin＋， ∴f(A)＝sin＋，故1＜f(A)＜. 故函数f(A)的取值范围是. 6．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，||＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点． (1)若x＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值； (2)若x∈，向量m＝，n＝(1－cos x，sin x－2cos x)，求m·n的最小值及对应的x值． 解：(1)设D(t,0)(0≤t≤1)， 由题意知，C， 所以＋＝， 所以|＋|2＝－t＋t2＋＝t2－t＋1 ＝2＋(0≤t≤1)， 所以当t＝时，|＋|的最小值为. (2)由题意得C(cos x，sin x)，m＝＝(cos x＋1，sin x)， 则m·n＝1－cos2x＋sin2x－2sin xcos x ＝1－cos 2x－sin 2x＝1－sin. 因为x∈，所以≤2x＋≤， 所以当2x＋＝，即x＝时， sin取得最大值1. 所以m·n的最小值为1－，此时x＝.