（课标通用）高考数学一轮复习 课时跟踪检测35 理-人教版高三全册数学试题

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1、课时跟踪检测(三十五) [高考基础题型得分练] 1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝n. (1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列； (2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式． (1)证明：由a1＋S1＝1及a1＝S1，得a1＝. 又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1， 得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1. ∴2(an＋1－1)＝an－1，即2bn＋1＝bn. ∴数列{bn}是首项b1＝a1－1＝－，公比为的等比数列． (2)解：由(1)知，2an＋1＝an＋1，∴

2、2an＝an－1＋1(n≥2)， ∴2an＋1－2an＝an－an－1(n≥2)， 即2cn＋1＝cn(n≥2)， 又c1＝a1＝，2a2＝a1＋1，∴a2＝. ∴c2＝－＝，即c2＝c1. ∴数列{cn}是首项为，公比为的等比数列． ∴cn＝·n－1＝. 2．已知数列{an}与{bn}，若a1＝3且对任意正整数n满足an＋1－an＝2，数列{bn}的前n项和Sn＝n2＋an. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 解：(1)因为对任意正整数n满足an＋1－an＝2， 所以{an}是公差为2的等差数列． 又因为a1＝3，所以an＝2n

3、＋1. 当n＝1时，b1＝S1＝4； 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝(n2＋2n＋1)－[(n－1)2＋2(n－1)＋1]＝2n＋1，对b1＝4不成立． 所以数列{bn}的通项公式为bn＝ (2)由(1)知，当n＝1时，T1＝＝. 当n≥2时，＝ ＝， 所以Tn＝＋ ＝＋＝＋. 当n＝1时仍成立， 所以Tn＝＋. 3．[2017·山东青岛模拟]已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10＝28，S8＝92；数列{bn}对任意n∈N*，总有b1b2b3·…·bn－1bn＝3n＋1成立． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记cn＝，求

4、数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a10＝a1＋9d＝28，S8＝8a1＋×d＝92， 解得a1＝1，d＝3，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2. 因为b1b2b3·…·bn－1bn＝3n＋1， 所以b1b2b3·…·bn－1＝3n－2(n≥2)， 两式相除，得bn＝(n≥2)． 因为当n＝1时，b1＝4适合上式， 所以bn＝(n∈N*)． (2)由(1)知，cn＝＝， 则Tn＝＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋＋…＋＋，② ①－②，得Tn＝2＋－， 从而Tn＝2＋3×－ ＝－，即Tn＝7－. 4．数列{an}满足a1＝1，an＋

5、1＝2an(n∈N*)，Sn为其前n项和．数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<. (1)解：由题意知，{an}是首项为1，公比为2的等比数列， ∴an＝a1·2n－1＝2n－1.∴Sn＝2n－1. 设等差数列{bn}的公差为d， 则b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，∴d＝2， ∴bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)证明：∵log2a2n＋2＝log222n＋1＝2n＋1， ∴cn＝＝ ＝， ∴Tn＝ ＝＝. ∵n∈N*，∴Tn<， 当

6、n≥2时， Tn－Tn－1＝－＝>0， ∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1＝. 综上知，≤Tn<. [冲刺名校能力提升练] 1．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋2an＝3(n∈N*)，设数列{bn}满足b1＝a1，bn＝(n≥2)． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)∵Sn＋2an＝3(n∈N*)，∴当n≥2时，Sn－1＋2an－1＝3，两式相减，得3an＝2an－1，即＝. 又当n＝1时，a1＋2a1＝3，∴a1＝1， ∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列， 则an＝n－1.

7、 ∵当n≥2时，bn＝， 两边取倒数，得＝＋， ∴－＝，b1＝a1＝1， ∴数列是首项为1，公差为的等差数列， 则＝1＋(n－1)×＝， ∴bn＝. (2)由(1)可知，cn＝＝nn－1， Tn＝1＋2×＋3×2＋4×3＋…＋(n－1)×n－2＋n×n－1，① Tn＝＋2×2＋3×3＋…＋(n－1)×n－1＋n×n.② ①－②，得－Tn＝1＋＋2＋…＋n－1－n×n＝－2＋(2－n)×n， ∴Tn＝4＋2(n－2)×n. 2．[2017·山东临沂八校联考]已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；

8、 (2)若{bn－(－1)nan}是等比数列，且b2＝7，b5＝71，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)， 因为a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列， 所以(3d＋2)2＝(d＋2)(7d＋2)，解得d＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. (2)令cn＝bn－(－1)nan，设数列{cn}的公比为q， 因为b2＝7，b5＝71，an＝2n， 所以c2＝b2－a2＝7－4＝3，c5＝b5＋a5＝71＋10＝81， 所以q3＝＝＝27，故q＝3， 所以cn＝c2·qn－2＝3×3n－2＝3n－1， 即bn－(

9、－1)nan＝3n－1， 所以bn＝3n－1＋(－1)n·2n. 故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(30＋31＋…＋3n－1)＋[－2＋4－6＋…＋(－1)n·2n]． 当n为偶数时，Tn＝＋2×＝； 当n为奇数时，Tn＝＋2×－2n＝. 所以Tn＝ 3．函数f(x)对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝. (1)数列{an}满足：an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)，数列{an}是等差数列吗？若是，给予证明；若不是，请说明理由； (2)令bn＝，Tn＝b＋b＋b＋…＋b，Sn＝32－，试比较Tn与Sn的大小． 解：(1)数列{an}是等差数列，证明如下： 令x＝

10、，得f＋f＝， 即f＋f＝. an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)， 又an＝f(1)＋f＋…＋f＋f(0)， 两式相加，得2an＝[f(0)＋f(1)]＋ ＋…＋[f(1)＋f(0)]＝. 所以an＝，n∈N*. 又an＋1－an＝－＝， 故数列{an}是等差数列． (2)bn＝＝， Tn＝b＋b＋…＋b＝16 ≤16 ＝16 ＝16＝32－＝Sn， 所以Tn≤Sn. 4．[2017·江苏南通模拟]设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，an＋1＝9Sn＋10. (1)求证：{lg an}是等差数列； (2)设Tn是数列的前n项和，求Tn； (3)求使

11、Tn>(m2－5m)对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合． (1)证明：依题意，当n＝1时，a2＝9a1＋10＝100， 故＝10. 当n≥2时，an＋1＝9Sn＋10，an＝9Sn－1＋10， 两式相减，得an＋1－an＝9an，即an＋1＝10an，＝10， 故{an}为等比数列，且an＝a1qn－1＝10n(n∈N*)， ∴lg an＝n.∴lg an＋1－lg an＝(n＋1)－n＝1， 即{lg an}是等差数列． (2)解：由(1)知， Tn＝3 ＝3 ＝3－. (3)解：∵Tn＝3－， ∴当n＝1时，Tn取最小值. 依题意有>(m2－5m)，解得－1