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1、专题限时集训(二十三)A
[第23讲 几何证明选讲]
(时间：30分钟)
1．如图23－1，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作AP垂直于直线OM，垂足为P.
(1)证明：OM·OP＝OA2；
(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆O于B点，过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.
图23－1
2．如图23－2，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.
(1)求证：PM2＝PA·PC；
(2
2、)若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN的长．
图23－2
3．如图23－3，AB是⊙O的一条切线，切点为B，C为圆外一点，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，AC＝AB.
(1)证明：AC2＝AD·AE；
(2)证明：FG∥AC.
图23－3
4．如图23－4，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．
求证：(1)PA·PD＝PE·PC；
(2)AD＝AE.
图23－4
专题限时
3、集训(二十三)A
1．证明：(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.
又因为AP⊥OM，
在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP.
(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK.
同(1)，有OB2＝ON·OK，
又OB＝OA，
所以OP·OM＝ON·OK，即＝.
又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，
故∠OKM＝∠OPN＝90°.
2．解：(1)证明：连接ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，
则∠OBN＝∠ONB，
∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，∠PNM＝90°－∠ONB，
∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN.
由条件，根据切
4、割线定理，有PN2＝PA·PC，
所以PM2＝PA·PC.
(2)∵OA＝2，OA＝OM，∴OM＝2，在Rt△BOM中，BM＝＝4.
延长BO交⊙O于点D，连接DN，由条件易知，
△BOM∽△BND，于是＝，
即＝，得BN＝6.
∴MN＝BN－BM＝6－4＝2.
3．证明：(1)∵AB是⊙O的一条切线，
∴AB2＝AD·AE.又∵AC＝AB，∴AC2＝AD·AE，
(2)∵AC2＝AD·AE，∴＝，又∵∠DAC＝∠CAE，
∴△CAD∽△EAC，∴∠ACD＝∠AEC.
又∵四边形DEGF是⊙O的内接四边形，
∴∠CFG＝∠AEC，∴∠ACD＝∠CFG，∴FG∥AC.
4．证明：(1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB，①
又∵PA，PB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB，②
由①②得PA·PD＝PE·PC.
(2)连接AC，ED，
设DE与AB相交于点F，
∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°，
∴AC是⊙O2的切线．
由(1)知＝，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD＝∠ADE.
又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD＝∠AED，
∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE.
（课程标准卷地区专用）高考数学二轮复习 专题限时集训(二十三)A 几何证明选讲配套作业 理（解析版）
