（课标通用版）高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数与函数的单调性检测 文-人教版高三全册数学试题

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1、第2讲 导数与函数的单调性 [基础题组练] 1．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0，2π)上的单调情况是(　　) A．增函数　　　　　　　　 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 解析：选A.在(0，2π)上有f′(x)＝1－cos x＞0恒成立，所以f(x)在(0，2π)上单调递增． 2．函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 解析：选D.由题意知，f′(x)＝ex－e，令f′(x)>0，解得x>1，故选D. 3．(2019·四川乐山一中期末)f(x)＝x2－al

2、n x在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．a<1 B．a≤1 C．a<2 D．a≤2 解析：选D.由f(x)＝x2－aln x，得f′(x)＝2x－， 因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以2x－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤2x2在(1，＋∞)上恒成立， 因为x∈(1，＋∞)时，2x2＞2，所以a≤2故选D. 4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．则下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　) 解析：选C.由条件可知当0

3、． 当x＞1时，xf′(x)＞0， 所以f′(x)＞0，函数递增，所以当x＝1时，函数取得极小值． 当x<－1时，xf′(x)<0，所以f′(x)＞0，函数递增． 当－1

4、的大小关系为________(用“<”连接)． 解析：由题意知，函数f(x)为偶函数， 因此f(－3)＝f(3)． 又f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x， 当x∈时，f′(x)<0.所以f(x)在区间上是减函数，所以f＞f(2)＞f(3)＝f(－3)． 答案：f(－3)

5、(x－a)(a＞0)， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0； 当x∈(0，a)时，f′(x)＜0； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)． 8．已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x，当a＜0时，讨论函数f(x)的单调性． 解：函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＋a－2＝. ①当－a＝2，即a＝－2时，f′(x)＝≥0，f(x)在(0，＋∞)内单调递增． ②当0＜－a＜2，即－2＜a＜0时，因为0＜x＜－a或x＞2时，f′(x)＞0；－a＜x＜2时，f′(x)＜0，

6、 所以f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)内单调递增，在(－a，2)内单调递减． ③当－a＞2，即a＜－2时， 因为0＜x＜2或x＞－a时，f′(x)＞0；2＜x＜－a时，f′(x)＜0， 所以f(x)在(0，2)，(－a，＋∞)内单调递增，在(2，－a)内单调递减． 综上所述，当a＝－2时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增；当－2＜a＜0时，f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)内单调递增，在(－a，2)内单调递减；当a＜－2时，f(x)在(0，2)，(－a，＋∞)内单调递增，在(2，－a)内单调递减． [综合题组练] 1．若函数f(x)＝x2＋ln x－ax在(1，2)上不单调，

7、则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，3)∪ B. C. D．(－∞，3]∪ 解析：选C.若f(x)在(1，2)上单调递增，则f′(x)＝2x＋－a≥0恒成立，即a≤2x＋恒成立，因为2x＋＞3，所以a≤3；若f(x)在(1，2)上单调递减，同理可得a≥.取补集得a的取值范围是. 2．(创新型)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)＜xf′(x)，则下列关系成立的是(　　) A．2f(1)＜f(2) B．2f(1)＞f(2) C．2f(1)＝f(2) D．f(1)＝f(2) 解析：选A.设g(x)＝，则g′(x)＝.因为f(x)＜xf′(x)，所以g′(x)

8、＞0，所以函数g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以＜，即2f(1)＜f(2)．故选A. 3．设函数f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a＞1，则f(x)的单调减区间为____________． 解析：f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)， 由a＞1知，2a＞2， 所以当2＜x＜2a时，f′(x)＜0， 故f(x)在区间(2，2a)上单调递减． 答案：(2，2a) 4．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知f′(x)＝3ax2＋6x－1，由函数f(x)恰好有三

9、个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点，所以3ax2＋6x－1＝0需满足a≠0，且Δ＝36＋12a>0，解得a>－3，所以实数a的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)． 答案：(－3，0)∪(0，＋∞) 5．已知函数g(x)＝x3－x2＋2x＋5. (1)若函数g(x)在(－2，－1)内为减函数，求a的取值范围； (2)若函数g(x)在(－2，－1)内存在单调递减区间，求a的取值范围． 解：因为g(x)＝x3－x2＋2x＋5， 所以g′(x)＝x2－ax＋2. (1)法一：因为g(x)在(－2，－1)内为减函数，所以g′(x)＝x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立．

10、所以 即 解得a≤－3. 即实数a的取值范围为(－∞，－3]． 法二：由题意知x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立， 所以a≤x＋在(－2，－1)内恒成立， 记h(x)＝x＋， 则x∈(－2，－1)时，－3

11、x＋2y－1＝0垂直． (1)求实数a的值； (2)求证：f(x)>x2＋2. 解：(1)因为f′(x)＝(x＋1)ex＋2＋， 所以曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝2e＋2＋a. 而直线x＋2y－1＝0的斜率为－， 由题意可得(2e＋2＋a)×(－)＝－1， 解得a＝－2e. (2)证明：由(1)知，f(x)＝xex＋2x－2eln x. 不等式f(x)>x2＋2可转化为xex＋2x－2eln x－x2－2>0. 设g(x)＝xex＋2x－2eln x－x2－2， 则g′(x)＝(x＋1)ex＋2－－2x. 记h(x)＝(x＋1)ex

12、＋2－－2x(x>0)，则h′(x)＝(x＋2)ex＋－2， 因为x>0，所以x＋2>2，ex>1，故(x＋2)ex>2， 又>0，所以h′(x)＝(x＋2)ex＋－2>0， 所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又h(1)＝2e＋2－2e－2＝0， 所以当x∈(0，1)时，h(x)<0，即g′(x)<0，函数g(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0，即g′(x)>0，函数g(x)单调递增； 所以g(x)≥g(1)＝e＋2－2eln 1－1－2＝e－1， 显然e－1>0， 所以g(x)>0，即xex＋2x－2eln x>x2＋2，也就是f(x)>x2＋2.