（课标通用）高考数学一轮复习 课时跟踪检测13 理-人教版高三全册数学试题

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1、课时跟踪检测(十三) [高考基础题型得分练] 1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　) A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2) 答案：C 解析：∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3， ∴f′(x)＝3(x2－a2)． 2．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是(　　) A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0 C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0 答案：C 解析：∵y＝sin x＋ex，∴y′＝cos x＋ex， ∴y′|x＝0＝cos 0＋

2、e0＝2，∴曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0. 3．[2017·山东师大附中月考]曲线y＝ax在x＝0处的切线方程是xln 2＋y－1＝0，则a＝(　　) A. B．2 C．ln 2 D．ln 答案：A 解析：由题知y′＝axln a，y′|x＝0＝ln a，又切点为(0,1)，故切线方程为xln a－y＋1＝0，∴a＝. 4．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 答案：D 解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f

3、′(0)＝2f′(1)＝－4. 5．[2017·河北保定调研]已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　) A．e B．－e C． D．－ 答案：C 解析：y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝，切线方程为y－ln x0＝(x－x0)．因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为. 6．[2017·广东湛江调研]曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　) A. B． C． D．1 答案：A 解析：y′|x＝0＝(－2

4、e－2x)|x＝0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋2，易得切线与直线y＝0和y＝x的交点分别为(1,0)，，故围成的三角形的面积为×1×＝. 7．[2017·河南郑州质检]已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　) A．－1 B．0 C．2 D．4 答案：B 解析：由题图可知，曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－， ∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)

5、＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×＝0. 8．[2017·江西南昌二中模拟]设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，点P处切线倾斜角α的取值范围为(　　) A.∪ B. C．∪ D. 答案：C 解析：因为y′＝3x2－≥－，故切线斜率k≥－，所以切线倾斜角α的取值范围是∪. 9．已知函数f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________. 答案：e 解析：f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e. 10．若直线l与幂函数y＝xn的图象相切于点A(2,8)，则直线l的方程为

6、________． 答案：12x－y－16＝0 解析：由题意知，A(2,8)在y＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3， ∴y′＝3x2，直线l的斜率k＝3×22＝12，又直线l过点(2,8)．∴y－8＝12(x－2)，即直线l的方程为12x－y－16＝0. 11．[2017·辽宁沈阳模拟]在平面直角坐标系xOy中，点M在曲线C：y＝x3－x上，且在第二象限内，已知曲线C在点M处的切线的斜率为2，则点M的坐标为________． 答案：(－1,0) 解析：∵y′＝3x2－1，曲线C在点M处的切线的斜率为2，∴3x2－1＝2，x＝±1.又∵点M在第二象限，∴x＝－1，∴y＝(－1)3－(－1

7、)＝0，∴点M的坐标为(－1,0)． 12．设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a，b，c是两两不等的常数)，则＋＋＝________. 答案：0 解析：∵f(x)＝x3－(a＋b＋c)x2＋(ab＋bc＋ca)x－abc，∴f′(x)＝3x2－2(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca， f′(a)＝(a－b)(a－c)， f′(b)＝(b－a)(b－c)， f′(c)＝(c－a)(c－b)． ∴＋＋ ＝＋＋ ＝＝0. [冲刺名校能力提升练] 1．[2017·广东惠州模拟]已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝(　　) A．－ B．－ C．－ D

8、．－ 答案：C 解析：∵f′(x)＝－cos x＋(－sin x)， ∴f(π)＋f′＝－＋·(－1)＝－. 2．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于(　　) A．－1 B． C．－2 D．2 答案：A 解析：∵y′＝， ∴y′x＝＝－1，由条件知＝－1，∴a＝－1. 3．[2017·江西上饶模拟]若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为(　　) A．1 B． C． D． 答案：B 解析：因为定义域为(0，＋∞)，所以y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1,1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间

9、的距离为d＝＝. 4.已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为________． 答案：y＝x＋ 解析：f′(x)＝，g′(x)＝(x＞0)，由已知得 解得 ∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝f′(e2)＝，∴切线的方程为y－e＝(x－e2)，即y＝x＋. 5．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程． 解：(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5， ∴f′(

10、2)＝1，又f(2)＝－2， ∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0. (2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)， ∵f′(x0)＝3x－8x0＋5， ∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)， 又切线过点(x0，x－4x＋5x0－4)， ∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)， 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0， 解得x0＝2或x0＝1， ∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0. 6．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处

11、的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3， 当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－. (2)设P(x0，y0)为曲线上任一点， 由y′＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.