（课标专用 5年高考3年模拟A版）高考数学 专题九 平面解析几何 1 直线方程与圆的方程试题 理-人教版高三数学试题

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1、专题九　平面解析几何 【真题典例】 9.1　直线方程与圆的方程 挖命题 【考情探究】 考点 内容解读 5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 1.直线 方程 ①在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线的几何要素;②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式; ③掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系 2015课标Ⅰ,20,12分 直线方程 抛物线的 几何性质 ★★☆ 2.圆的 方程 ①掌握圆的几何要素; ②掌握圆的标准方程与一般方程 2018课标Ⅱ,

2、19,12分 直线方程与圆的方程 抛物线的几何性质 ★☆☆ 2017课标Ⅲ,20,12分 直线方程与圆的方程 两直线垂直与 其斜率的关系 2016课标Ⅱ,4,5分 圆的方程 点到直线距离公式 2015课标Ⅰ,14,5分 圆的方程 椭圆的几何性质 分析解读　　从近5年高考情况来看,对本节主要考查直线方程和圆的方程的求法,常以选择题、填空题的形式出现,难度中等,解答时应充分利用分类讨论、数形结合的思想.在解决有关圆的问题时应充分利用圆的几何性质简化运算. 破考点 【考点集训】 考点一　直线方程 1.(2017吉林梅河口校级二模,4)已知角α是第二象限角,直线2x

3、+ytanα+1=0的斜率为83,则cosα等于(　　) A.35　　　　B.-35　　　　C.45　　　　D.-45 答案　D　 2.(2018江西九江月考,5)经过点A(1,2)且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为(　　) A.y=2x或x-y+1=0 B.y=2x或x+y-3=0 C.x+y-3=0或x-y+1=0 D.y=2x或x+y-3=0或x-y+1=0 答案　D　 考点二　圆的方程 1.(2018广东珠海四校4月联考,8)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的标准方程为(　　) A.(x+1)2+(y-1)

4、2=2　　　　B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2　　　　D.(x+1)2+(y+1)2=2 答案　B　 2.(2017河南豫北名校4月联考,4)与圆(x-2)2+y2=4关于直线y=33x对称的圆的方程是(　　) A.(x-3)2+(y-1)2=4　　　　B.(x-2)2+(y-2)2=4 C.x2+(y-2)2=4　　　　D.(x-1)2+(y-3)2=4 答案　D　 3.(2018甘肃兰州模拟,7)已知点A是直角三角形ABC的直角顶点,且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2),则△ABC的外接圆的方程是(　　)　　　　　　　　　

5、　　　　　　　　　 A.x2+(y-3)2=5　　　　B.x2+(y+3)2=5 C.(x-3)2+y2=5　　　　D.(x+3)2+y2=5 答案　D　 炼技法 【方法集训】 方法1　直线的倾斜角与斜率的求解方法　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2018陕西延安期中,5)直线a2x-b2y=1(其中a,b∈R,且ab≠0)的倾斜角的取值范围为(　　) A.0,π2　　　　B.π4,3π4 C.π2,3π4　　　　D.π2,π 答案　A　 2.(2018湖北黄冈模拟,4)直线x-ysinθ+1=0的倾斜角的取值范围是(　　) A.π4,3π4　　　

6、　B.0,π4∪3π4,π C.0,π4　　　　D.π4,π2∪π2,3π4 答案　A　 3.(2017河南豫南九校联考,5)若θ是直线l的倾斜角,且sinθ+cosθ=55,则l的斜率为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-12　　　　B.-12或-2　　　　C.12或2　　　　D.-2 答案　D　 方法2　解与圆有关的最值问题的方法 1.(2017湖南长沙二模,5)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2距离的最大值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1+2　　　　B.2　　　　C.1+22　　　　D.2+22 答案　A　 2

7、.(2018河南洛阳期末)已知正数x,y满足x2+y2=1,则3x+y的取值范围是(　　) A.(1,3]　　　　B.(1,2]　　　　C.(3,2]　　　　D.(2,23) 答案　B　 3.(2018福建长汀模拟,10)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻且系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M与两定点A95,0、B(5,0)的距离之比为35时的阿波罗尼斯圆为x2+y

8、2=9.下面,我们来研究与此相关的一个问题:已知圆O:x2+y2=1上的动点M和定点A-12,0,已知点B(1,1),则2|MA|+|MB|的最小值为(　　) A.6　　　　B.7　　　　C.10　　　　D.11 答案　C　 过专题 【五年高考】 A组　统一命题·课标卷题组 考点一　直线方程 　(2015课标Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点. (1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程; (2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. 解析　(1)由题设可得M(2a,

9、a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a). 又y'=x2,故y=x24在x=2a处的导数值为a,C在点(2a,a)处的切线方程为y-a=a(x-2a),即ax-y-a=0. y=x24在x=-2a处的导数值为-a,C在点(-2a,a)处的切线方程为y-a=-a(x+2a),即ax+y+a=0. 故所求切线方程为ax-y-a=0和ax+y+a=0.(5分) (2)存在符合题意的点,证明如下: 设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2. 将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0. 故x1+x2=4

10、k,x1x2=-4a. 从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a. 当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分) 疑难突破　要使∠OPM=∠OPN,只需直线PM与直线PN的斜率互为相反数. 考点二　圆的方程 1.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-43　　　　B.-34　　　　C.3　　　　D.2 答案

11、　A　 2.(2015课标Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为　　　　　　　　.  答案　x-322+y2=254 3.(2018课标Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 解析　(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0), 设A(x1,y1),B(x2,y2). 由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=1

12、6k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2. 由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),或k=1, 因此l的方程为y=x-1. (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6. 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 方法总结

13、　有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解. 4.(2017课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上; (2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程. 解析　本题考查直线与圆锥曲线的位置关系. (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2. 由x=my+2,y2=2x可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4. 又x1=y122,x2=y22

14、2,故x1x2=(y1y2)24=4. 因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1·y2x2=-44=-1,所以OA⊥OB. 故坐标原点O在圆M上. (2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4. 故圆心M的坐标为(m2+2,m), 圆M的半径r=(m2+2)2+m2. 由于圆M过点P(4,-2),因此 AP·BP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4. 所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12.

15、当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10. 当m=-12时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为94,-12,圆M的半径为854,圆M的方程为x-942+y+122=8516. 解后反思　直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. B组　自主命题·省(区、市)卷题组 1.(2014陕西,12,5分)

16、若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为　　　　　　　　.  答案　x2+(y-1)2=1 2.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4). (1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程; (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程; (3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围. 解析　圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2

17、=25,所以圆心M(6,7),半径为5. (1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0). 因为圆N与x轴相切,与圆M外切, 所以0

18、线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设P(x1,y1),Q(x2,y2). 因为A(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ, 所以x2=x1+2-t,y2=y1+4.① 因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.② 将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25. 于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点, 所以5-5≤[(t+4)-6]2+(3-7)2≤5+5, 解得2-221≤t≤2+

19、221. 因此,实数t的取值范围是[2-221,2+221]. 【三年模拟】 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.(2019届湖南衡阳八中10月月考,3)已知直线l的倾斜角为θ且过点(3,1),其中sinθ-π2=12,则直线l的方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3x-y-2=0　　　　B.3x+y-4=0 C.x-3y=0　　　　D.3x-3y-6=0 答案　B　 2.(2019届重庆綦江中学模拟,9)已知圆C:x2+y2=1,点P为直线x+2y-4=0上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB且A,B分别为切点,则直线AB经过定点(　　) A.1

20、2,14　　　　B.14,12　　　　C.34,0　　　　D.0,34 答案　B　 3.(2019届辽宁丹东模拟,3)圆心为(2,0)的圆C与圆x2+y2+4x-6y+4=0外切,则C的方程为(　　) A.x2+y2+4x+2=0　　　　B.x2+y2-4x+2=0 C.x2+y2+4x=0　　　　D.x2+y2-4x=0 答案　D　 4.(2017福建厦门4月联考,5)若a∈-2,0,34,1,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 答案　B　 5.(2

21、018湖北四地七校联考,6)已知函数f(x)=asinx-bcosx(a≠0,b≠0),若fπ4-x=fπ4+x,则直线ax-by+c=0的倾斜角为(　　) A.π4　　　　B.π3　　　　 C.2π3　　　　D.3π4 答案　D　 6.(2018河南豫西五校联考,7)在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线x-by+2b+1=0相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为(　　) A.x2+(y-1)2=4　　　　B.x2+(y-1)2=2 C.x2+(y-1)2=8　　　　D.x2+(y-1)2=16 答案　B　 7.(2018海南海口模拟,7)已知圆M与直线3x

22、-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(x+3)2+(y-1)2=1　　　　B.(x-3)2+(y+1)2=1 C.(x+3)2+(y+1)2=1　　　　D.(x-3)2+(y-1)2=1 答案　C　 8.(2018江西新余五校4月联考,8)已知圆O:x2+y2=9,过点C(2,1)的直线l与圆O交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,直线l的方程为(　　) A.x-y-3=0或7x-y-15=0　　　　B.x+y+3=0或7x+y-15=0 C.x+y-3=0或7x-y+15=0　　　　D

23、.x+y-3=0或7x+y-15=0 答案　D　 二、填空题(每小题5分,共10分) 9.(2019届四川眉山仁寿一中一调,15)已知实数m,n满足2m-n=1,则直线mx-3y+n=0必过点　　　　.  答案　-2,-13 10.(2018河南新乡二模,15)若圆C:x2+y+12m2=n的圆心为椭圆M:x2+my2=1的一个焦点,且圆C经过M的另一个焦点,则圆C的标准方程为　　　　　　　　.  答案　x2+(y+1)2=4 三、解答题(共25分) 11.(2019届江西抚州七校联考,21)已知圆M与直线3x-7y+4=0相切于点(1,7),圆心M在x轴上. (1)求圆M的

24、方程; (2)过点M且不与x轴重合的直线l与圆M相交于A,B两点,O为坐标原点,直线OA,OB分别与直线x=8相交于C,D两点,记△OAB,△OCD的面积分别是S1,S2,求S1S2的取值范围. 解析　(1)由题意设圆M的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0,r>0),则有(1-a)2+(7)2=r2,71-a·37=-1,解得a=4,r=4, 所以圆M的方程为(x-4)2+y2=16. (2)由题意知∠AOB=π2, 设直线OA的斜率为k(k≠0),则直线OB的斜率为-1k,直线OA的方程为y=kx, 直线OB的方程为y=-1kx. 由y=kx,x2+y2-8x=0,得(1+

25、k2)x2-8x=0, 解得x=0,y=0或x=81+k2,y=8k1+k2,则点A的坐标为81+k2,8k1+k2. 同理可得点B的坐标为8k21+k2,-8k1+k2. 又由题意知,C(8,8k),D8,-8k,因此,S1S2=OA·OBOC·OD, 又OAOC=xAxC=81+k28=11+k2,同理OBOD=xBxD=k21+k2, 所以S1S2=k2k4+2k2+1=1k2+1k2+2≤14,当且仅当|k|=1时取等号,又S1S2>0,所以S1S2的取值范围是0,14. 12.(2018广东深圳3月联考,19)如图,直角三角形ABC的顶点A的坐标为(-2,0),直角顶点B

26、的坐标为(0,-22),顶点C在x轴上,点P为线段OA的中点. (1)求BC边所在直线方程; (2)若M为直角三角形ABC外接圆的圆心,求圆M的方程; (3)在(2)的条件下,若动圆N过点P且与圆M内切,求动圆N的圆心的轨迹方程. 解析　(1)易知kAB=-2,AB⊥BC,∴kCB=22, ∴BC边所在直线方程为y=22x-22. (2)由(1)及题意得C(4,0),∴M(1,0), 又∵AM=3,∴外接圆M的方程为(x-1)2+y2=9. (3)∵圆N过点P(-1,0),∴PN是动圆的半径, 又∵动圆N与圆M内切, ∴MN=3-PN,即MN+PN=3, ∴点N的轨迹是以M,P为焦点,长轴长为3的椭圆. ∵P(-1,0),M(1,0),∴a=32,c=1,b=a2-c2=54, ∴所求轨迹方程为x294+y254=1,即4x29+4y25=1. 思路分析　(1)由kAB=-2,AB⊥BC,知kBC=22,由此求BC边所在直线的方程;(2)由(1)中的方程,令y=0,得C(4,0),从而得圆心与半径,进而得出圆M的方程;(3)利用两圆内切得MN+PN=3,利用椭圆定义得点N的轨迹,从而得轨迹方程.