解三角形 测试练习题

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1、1.解三角形 1.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且asinA＋csinC－bsinB＝asinC. (1)求角B的大小； (2)设向量m＝(cosA,cos2A),n＝(12,－5),边长a＝4,当m·n取最大值时,求b的值. 解：(1)由题意得,asinA＋csinC－bsinB＝asinC, ∴a2＋c2－b2＝ac, ∴cosB＝＝＝, ∵B∈(0,π), ∴B＝. (2)∵m·n＝12cosA－5cos2A＝－102＋, ∴当cosA＝时,m·n取最大值,此时sinA＝. 由正弦定理得,b＝＝. 2.已知△ABC中,AC＝2,A＝,cos

2、C＝3sinB. (1)求AB； (2)若D为BC边上一点,且△ACD的面积为,求∠ADC的正弦值. 解：(1)因为A＝,所以B＝－C, 由cosC＝3sinB得,cosC＝sin, 所以cosC＝＝cosC－sinC, 所以cosC＝sinC, 即tanC＝. 又因为C∈(0,π), 所以C＝,从而得B＝－C＝,所以AB＝AC＝2. (2)由已知得·AC·CDsin＝,所以CD＝, 在△ACD中,由余弦定理得,AD2＝AC2＋CD2－2AC· CDcosC＝,即AD＝, 由正弦定理得,＝, 故sin∠ADC＝＝. 3.已知函数f(x)＝1＋2sincos－2co

3、s2,△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)求f(A)的取值范围； (2)若A为锐角且f(A)＝,2sinA＝sinB＋sinC,△ABC的面积为,求b的值. 解：(1)f(x)＝sinx－cosx＝2sin,∴f(A)＝2sin,由题意知,0

4、函数f(x)的解析式及其在[0,π]上的单调递增区间； (2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若f ＋cosA＝,求角A的大小. 解： (1)由相邻两条对称轴的距离为,可得其周期为T＝＝π,所以ω＝2,由图象过点,且ω>0,0<φ<,得φ＝,所以f(x)＝sin. 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋,k∈Z,得 kπ－≤x≤kπ＋,k∈Z. 所以函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间为和. (2)由f ＋cosA＝, 可得sin＋cosA＝, 则sinA＋cosA＝,得sin＝, 因为0

5、在等差数列{an}中,a1＝－2,a12＝20. (1)求数列{an}的通项an； (2)若bn＝,求数列{3bn}的前n项和Sn. 解：(1)因为an＝－2＋(n－1)d,所以a12＝－2＋11d＝20,于是d＝2,所以an＝2n－4(n∈N*). (2)因为an＝2n－4,所以a1＋a2＋…＋an＝＝n(n－3),于是 bn＝＝n－3,令cn＝3bn,则cn＝3n－3, 显然数列{cn}是等比数列,且c1＝3－2,公比q＝3, 所以数列{3bn}的前n项和Sn＝＝(n∈N*). 2.(2018·巩义模拟)已知数列{an}满足a1＝,＝＋2(n∈N*). (1)求数列{an

6、}的通项公式； (2)证明：a＋a＋a＋…＋a<. (1)解：由条件可知数列为等差数列,且首项为2,公差为2,所以＝2＋(n－1)×2＝2n, 故an＝(n∈N*). (2)证明　依题意可知a＝2＝·<··＝,n≥2,n∈N*. 又因为a＝, 所以a＋a＋a＋…＋a< ＝ <×2＝. 故a＋a＋a＋…＋a<. 3.(2018·衡水金卷模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1＝5,3a5＋a9＝S6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋1an,且b1＝a6,求数列的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d,

7、 由a1＝5,3a5＋a9＝S6, 得3(5＋4d)＋(5＋8d)＝6×5＋d, 解得d＝2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝5＋2(n－1)＝2n＋3(n∈N*). (2)由(1)得,b1＝a6＝2×6＋3＝15. 又因为bn＋1＝an＋1an, 所以当n≥2时,bn＝anan－1＝(2n＋3)(2n＋1), 当n＝1时,b1＝5×3＝15,符合上式, 所以bn＝(2n＋3)(2n＋1)(n∈N*). 所以＝＝. 所以Tn＝＝＝(n∈N*). 4.(2018·大庆模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1＝1,S9＝81.记bn＝[log5an],其中[x]表示

8、不超过x的最大整数,如[0.9]＝0,[log516]＝1. (1)求b1,b14,b61； (2)求数列{bn}的前200项和. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d, 由已知S9＝81,根据等差数列的性质可知,S9＝9a5＝9(a1＋4d)＝81, ∴a1＋4d＝9. ∵a1＝1,∴d＝2, ∴an＝2n－1, ∴b1＝[log51]＝0,b14＝[log527]＝2,b61＝[log5121]＝2. (2)当1≤n≤2时,1≤an≤3(an∈N*),bn＝[log5an]＝0,共2项； 当3≤n≤12时,5≤an≤23,bn＝[log5an]＝1,共10项； 当1

9、3≤n≤62时,25≤an≤123,bn＝[log5an]＝2,共50项； 当63≤n≤200时,125≤an≤399,bn＝[log5an]＝3,共138项. ∴数列{bn}的前200项和为2×0＋10×1＋50×2＋138×3＝524. 3.立体几何 1.如图,在三棱柱ABF－DCE中,∠ABC＝120°,BC＝2CD, AD＝AF, AF⊥平面ABCD. (1)求证：BD⊥EC； (2)若AB＝1,求四棱锥B－ADEF的体积. (1)证明　已知ABF－DCE为三棱柱,且AF⊥平面ABCD, ∴DE∥AF,ED⊥平面ABCD. ∵BD⊂平面ABCD,∴ED⊥BD,

10、又ABCD为平行四边形,∠ABC＝120°,故∠BCD＝60°, 又BC＝2CD,故∠BDC＝90°,故BD⊥CD, ∵ED∩CD＝D,ED,CD⊂平面ECD,∴BD⊥平面ECD,∵EC⊂平面ECD,故BD⊥EC. (2)解：由BC＝2CD得AD＝2AB,∵AB＝1,故AD＝2,作BH⊥AD于点H, ∵AF⊥平面ABCD,BH⊂平面ABCD, ∴AF⊥BH,又AD∩AF＝A,AD,AF⊂平面ADEF, ∴BH⊥平面ADEF,又∠ABC＝120°, ∴在△ABH中,∠BAH＝60°,又AB＝1, ∴BH＝, ∴VB－ADEF＝×(2×2)×＝. 2.如图,在△BCD中,∠

11、BCD＝90°,BC＝CD＝1,AB⊥平面BCD,∠ADB＝60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且＝＝λ(0<λ<1). (1)求证：无论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC； (2)是否存在实数λ,使得平面BEF⊥平面ACD. (1)证明　∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD, ∴AB⊥CD. ∵CD⊥BC,AB∩BC＝B,AB,BC⊂平面ABC, ∴CD⊥平面ABC. 又∵＝＝λ(0<λ<1), ∴无论λ为何值,恒有EF∥CD, ∴EF⊥平面ABC. 又∵EF⊂平面BEF, ∴无论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC. (2)解：假设存在λ,使得平面BEF⊥

12、平面ACD. 由(1)知BE⊥EF, ∵平面BEF⊥平面ACD,平面BEF∩平面ACD＝EF,BE⊂平面BEF, ∴BE⊥平面ACD. 又∵AC⊂平面ACD, ∴BE⊥AC. ∵BC＝CD＝1,∠BCD＝∠ABD＝90°,∠ADB＝60°, ∴BD＝,∴AB＝tan60°＝, ∴AC＝＝. 由Rt△AEB∽Rt△ABC, 得AB2＝AE·AC,∴AE＝, ∴λ＝＝. 故当λ＝时,平面BEF⊥平面ACD. 3.如图,在四棱锥P—ABCD中,PC＝AD＝CD＝AB＝2,AB∥DC,AD⊥CD,PC⊥平面ABCD. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若M为线段P

13、A的中点,且过C,D,M三点的平面与线段PB交于点N,确定点N的位置,说明理由；并求三棱锥A—CMN的高. (1)证明　连接AC,在直角梯形ABCD中,AC＝＝2, BC＝＝2, 所以AC2＋BC2＝AB2, 即AC⊥BC.又PC⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD, 所以PC⊥BC,又AC∩PC＝C,AC,PC⊂平面PAC, 故BC⊥平面PAC. (2)解：N为PB的中点,连接MN,CN. 因为M为PA的中点,N为PB的中点,所以MN∥AB, 且MN＝AB＝2. 又因为AB∥CD,所以MN∥CD,所以M,N,C,D四点共面, 所以N为过C,D,M三点的平面与线段P

14、B的交点. 因为BC⊥平面PAC,N为PB的中点, 所以点N到平面PAC的距离d＝BC＝. 又S△ACM＝S△ACP＝××AC×PC＝, 所以V三棱锥N—ACM＝××＝. 由题意可知,在Rt△PCA中, PA＝＝2,CM＝, 在Rt△PCB中,PB＝＝2, CN＝,所以S△CMN＝×2×＝. 设三棱锥A—CMN的高为h, V三棱锥N—ACM＝V三棱锥A—CMN＝××h＝, 解得h＝,故三棱锥A—CMN的高为. 4.(2018·乐山联考)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO＝OB＝1. (1)若D为线段AC的中点,求证

15、：AC⊥平面PDO； (2)求三棱锥P－ABC体积的最大值； (3)若BC＝,点E在线段PB上,求CE＋OE的最小值. (1)证明　在△AOC中,因为OA＝OC, D为AC的中点,所以AC⊥OD. 又PO垂直于圆O所在的平面,所以PO⊥AC. 因为DO∩PO＝O,DO,PO⊂平面PDO,所以AC⊥平面PDO. (2)解：因为点C在圆O上,所以当CO⊥AB时,C到AB的距离最大,且最大值为1. 又AB＝2,所以△ABC面积的最大值为×2×1＝1. 又因为三棱锥P－ABC的高PO＝1, 故三棱锥P－ABC体积的最大值为×1×1＝. (3)解：在△POB中,PO＝OB＝1,∠PO

16、B＝90°, 所以PB＝＝. 同理PC＝,所以PB＝PC＝BC.在三棱锥P－ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面C′PB,使之与平面ABP共面,如图所示. 当O,E,C′共线时,CE＋OE取得最小值. 又因为OP＝OB,C′P＝C′B, 所以OC′垂直平分PB,即E为PB中点. 从而OC′＝OE＋EC′＝＋＝, 即CE＋OE的最小值为. 4.解析几何 1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为,且C过点. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P,Q均在第一象限),且直线OP,l,OQ的斜率成等比数列,证明：直线l的斜率为定值. (1

17、)解：由题意可得解得 故椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明　由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0), 由消去y, 整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0, ∵直线l与椭圆交于两点, ∴Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0. 设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则x1＋x2＝,x1x2＝, ∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2. ∵直线OP,l,OQ的斜率成等比数列, ∴k2＝·＝, 整理得km(x1＋x2)＋m

18、2＝0, ∴＋m2＝0, 又m≠0,∴k2＝, 结合图象(图略)可知k＝－,故直线l的斜率为定值. 2.已知抛物线Γ：x2＝2py(p>0),直线y＝2与抛物线Γ交于A,B(点B在点A的左侧)两点,且|AB|＝4. (1)求抛物线Γ在A,B两点处的切线方程； (2)若直线l与抛物线Γ交于M,N两点,且MN的中点在线段AB上,MN的垂直平分线交y轴于点Q,求△QMN面积的最大值. 解：(1)由x2＝2py,令y＝2,得x＝±2,所以4＝4,解得p＝3,所以x2＝6y,由y＝,得y′＝, 故y′|x＝2＝. 所以在A点的切线方程为y－2＝(x－2),即2x－y－2＝0,同理可得在

19、B点的切线方程为2x＋y＋2＝0. (2)由题意得直线l的斜率存在且不为0, 故设l：y＝kx＋m,M(x1,y1),N(x2,y2),由x2＝6y与y＝kx＋m联立, 得x2－6kx－6m＝0,Δ＝36k2＋24m>0, 所以x1＋x2＝6k,x1x2＝－6m, 故|MN|＝·＝2··. 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝6k2＋2m＝4,所以m＝2－3k2,所以|MN|＝2··, 由Δ＝36k2＋24m>0,得－

20、－y＋2－3k2＝0的距离d＝＝3, 所以S△QMN＝·2·· ·3 ＝3·. 令1＋k2＝u,则k2＝u－1,则10,得1b>0)的左顶点、右焦点,点P为椭圆C上一动点,当PF⊥x轴时,|AF|＝2|PF|. (1)求椭圆C的离心率； (2)若椭圆C上存在点Q,使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限),求直线AP与

21、OQ的斜率之积； (3)记圆O：x2＋y2＝为椭圆C的“关联圆”.若b＝,过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线,切点为M,N,直线MN在x轴和y轴上的截距分别为m,n,求证：＋为定值. (1)解：由PF⊥x轴,知xP＝c,代入椭圆C的方程, 得＋＝1,解得yP＝±. 又|AF|＝2|PF|,所以a＋c＝,所以a2＋ac＝2b2,即a2－2c2－ac＝0, 所以2e2＋e－1＝0, 由0

22、＝－,yQ＝b, 所以kAPkOQ＝·＝－, 由(1)知e＝＝,得＝,所以kAPkOQ＝－. (3)证明　由(1)知e＝＝,又b＝,解得a＝2, 所以椭圆C的方程为＋＝1, 圆O的方程为x2＋y2＝.① 连接OM,ON(图略),由题意可知,OM⊥PM,ON⊥PN, 所以四边形OMPN的外接圆是以OP为直径的圆, 设P(x0,y0),则四边形OMPN的外接圆方程为2＋2＝(x＋y), 即x2－xx0＋y2－yy0＝0.② ①－②,得直线MN的方程为xx0＋yy0＝, 令y＝0,则m＝,令x＝0,则n＝. 所以＋＝49, 因为点P在椭圆C上, 所以＋＝1,所以＋＝49(

23、为定值). 4.如图,椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(2,0),左、右焦点分别为F1,F2,过点A且斜率为的直线与y轴交于点P,与椭圆交于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为点F1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M,N两点(|PM|>|PN|),若S△PAM∶S△PBN＝λ,求实数λ的取值范围. 解：(1)因为BF1⊥x轴,得到点B, 所以解得 所以椭圆C的标准方程是＋＝1. (2)因为＝＝＝λ,所以＝(λ>2), 所以＝－.由(1)可知P(0,－1), 设MN方程为y＝kx－1,M(x1,y1),N(x2,y2), 联

24、立得(4k2＋3)x2－8kx－8＝0,Δ>0恒成立, 即得(*) 又＝(x1,y1＋1),＝(x2,y2＋1),有x1＝－x2, 将x1＝－x2代入(*)可得,＝. 因为k>,所以＝∈(1,4), 则1<2<4且λ>2,即得4<λ<4＋2. 综上所述,实数λ的取值范围为(4,4＋2). 5.概率与统计 1.(2018·安徽省六安一中适应性考试)全世界越来越关注环境保护问题,某监测站点于2019年1月某日起连续n天监测空气质量指数(AQⅠ),数据统计如下： 空气质量指数 (μg/m3) [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [20

25、0,250] 空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 20 40 m 10 5 (1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n,m的值,并完成频率分布直方图； (2)在空气质量指数分别属于[50,100)和[150,200)的监测数据中,用分层抽样的方法抽取5天,再从中任意选取2天,求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率. 解：(1)∵0.004×50＝, ∴n＝100,∵20＋40＋m＋10＋5＝100, ∴m＝25,＝0.008； ＝0.005； ＝0.002； ＝0.001. (2)在空气质量指数为

26、[50,100)和[150,200)的监测天数中分别抽取4天和1天,在所抽取的5天中,将空气质量指数为[50,100)的4天分别记为a,b,c,d；将空气质量指数为[150,200)的1天记为e,从中任取2天的基本事件分别为：(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种,其中事件A“两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6种,所以事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率是P(A)＝＝. 2.为了丰富退休生活,老王坚持每天健步走,并用

27、计步器记录每天健步走的步数.他从某月中随机抽取20天的健步走步数(老王每天健步走的步数都在[6,14]之间,单位：千步),绘制出频率分布直方图(不完整)如图所示. (1)完成频率分布直方图,并估计该月老王每天健步走的平均步数(每组数据可用区间中点值代替)； (2)某健康组织对健步走步数的评价标准如下表： 每天步数分组(千步) [6,8) [8,10) [10,14] 评价级别 及格 良好 优秀 现从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天,求这2天的健步走结果属于同一评价级别的概率. 解：(1)设落在分组[10,12)中的频率为x,则×2＝1,

28、得x＝0.5, 所以各组中的频数分别为2,3,10,5. 完成的频率分布直方图如图所示： 老王该月每天健步走的平均步数约为 (7×0.05＋9×0.075＋11×0.25＋13×0.125)×2＝10.8(千步). (2)设评价级别是及格的2天分别为a,b,评价级别是良好的3天分别为x,y,z, 则从这5天中任意抽取2天,共有10种不同的结果： ab,ax,ay,az,bx,by,bz,xy,xz,yz, 所抽取的2天属于同一评价级别的结果共4种：ab,xy,xz,yz. 所以,从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天,属于同一评价级别的概率P＝＝.

29、 3.为了解某地区某种农产品的年产量x(单位：吨)对价格y(单位：千元/吨)和利润Z的影响,对近五年该农产品的年产量和价格统计如表： x 1 2 3 4 5 y 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2 (1)求y关于x的线性回归方程＝x＋； (2)若每吨该农产品的成本为2千元,假设该农产品可全部卖出,预测当年产量约为多少时,年利润Z取到最大值？(保留两位小数) 参考公式：＝＝,＝－. 解：(1)＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3,＝(7.0＋6.5＋5.5＋3.8＋2.2)＝5, iyi＝1×7.0＋2×6.5＋3×5.5＋4×3.8＋5×2.2＝62.7,＝1

30、2＋22＋32＋42＋52＝55, ∴＝＝＝－1.23, ＝－＝5－(－1.23)×3＝8.69, ∴y关于x的线性回归方程是＝8.69－1.23x. (2)年利润Z＝x(8.69－1.23x)－2x＝－1.23x2＋6.69x, ∴当年产量约为2.72吨时,年利润Z最大. 4.某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩(满分120分)的频率分布直方图如下,已知分数在100～110的学生有21人. (1)求总人数N和分数在110～115的人数n； (2)现准备从分数在110～115的n名学生中任选2人,求其中恰好有一名女生的概率； (3)为了分析某个学生的学习状态,对其下一阶段的学

31、习提供指导性建议,对他前7次考试的数学成绩x(满分150分),物理成绩y进行分析,下面是该生7次考试的成绩. 数学 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的,若该生的数学成绩达到130分,请你估计他的物理成绩大约是多少？ 附：＝,＝－. 解：(1)分数在100～110内的学生的频率为P1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35, 所以该班总人数N＝＝60, 分数在110～115内的学生的频率为P2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.

32、04＋0.03＋0.01)×5＝0.1, 分数在110～115内的人数n＝60×0.1＝6. (2)由(1)可知,分数在110～115内有6名学生,其中女生有2名,男生有4名, 设男生为A1,A2,A3,A4,女生为B1,B2, 从6名学生中选出2人的基本事件有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15个. 其中恰好有一名女生的基本事件有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1)

33、,(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8个, 所以所求的概率为P＝. (3)＝100＋＝100, ＝100＋＝100. 由于x与y之间具有线性相关关系,根据公式得到＝＝0.5,＝100－0.5×100＝50, 所以线性回归方程为＝0.5x＋50, 所以当x＝130时,＝115. 所以他的物理成绩的估计值是115分. 6.函数与导数 1.已知函数f(x)＝＋lnx. (1)求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)求证：f(x)>0. (1)解：f(x)＝＋lnx的定义域是(0,＋∞),f′(x)＝＋＝,

34、所以f′(1)＝－,又f(1)＝1, 则切线方程为x＋2y－3＝0. (2)证明　令h(x)＝x3＋2x2－3x－2, 则h′(x)＝3x2＋4x－3, 设h′(x)＝0的两根为x1,x2, 由于x1x2＝－1<0, 不妨设x1<0,x2>0, 则h(x)在(0,x2)上是单调递减的,在(x2,＋∞)上是单调递增的. 而h(0)<0,h(1)<0,h(2)>0, 所以h(x)在(0,＋∞)上存在唯一零点x0,且x0∈(1,2), 所以f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,＋∞)上单调递增. 所以f(x)≥f(x0)＝＋lnx0, 因为x0∈(1,2),lnx0>0

35、,f(x)>>0, 所以f(x)>0. 2.已知函数f(x)＝lnx, g(x)＝f(x)＋ax2＋bx,函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴. (1)确定a与b的关系； (2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性. 解：(1)依题意得g(x)＝lnx＋ax2＋bx,x>0, 则g′(x)＝＋2ax＋b, 由函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴得, g′(1)＝1＋2a＋b＝0, ∴b＝－2a－1. (2)由(1)得g′(x)＝ ＝. ∵函数g(x)的定义域为(0,＋∞), ∴当a＝0时,g′(x)＝－, 由g′>0得0

36、1, 由g′<0得x>1； 若0<<1,即a>时, 由g′>0得x>1或01,即00得x>或0时,函数g在上单调递增,在上单调递减；在上单调递增. 3.已知函数f(x)＝xlnx,g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数). (1)当a＝5时,求函数g(x)的图象在x

37、＝1处的切线方程； (2)求f(x)在区间[t,t＋2](t>0)上的最小值； (3)若存在两个不等实数x1,x2∈,使方程g(x)＝2exf(x)成立,求实数a的取值范围. 解：(1)当a＝5时,g(x)＝(－x2＋5x－3)ex,g(1)＝e,g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex,故切线的斜率为g′(1)＝4e, 所以切线方程为y－e＝4e(x－1),即4ex－y－3e＝0. (2)函数f(x)＝xlnx的定义域为(0,＋∞).因为f′(x)＝lnx＋1, 所以在(0,＋∞)上,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表： x f′(x) － 0 ＋

38、 f(x) ↘ 极小值(最小值) ↗ 当t≥时,在区间[t,t＋2]上,f(x)为增函数,所以f(x)min＝f(t)＝tlnt,当00, 则h′(x)＝1＋－＝. 当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表： x 1 (1,e) h′(x) － 0 ＋ h(x) ↘ 极小值(最小值) ↗ 因为h＝＋3e－2,h(

39、e)＝＋e＋2,h(1)＝4, 所以h(e)－h＝4－2e＋<0, 所以h(e)

40、在[1,e]上单调递增. 所以f(x)的最小值为f(1)＝－a－1,所以－1≤a≤2； 当1<0,f(x)在上单调递增, 所以f(x)的最小值为 f ＝－－a＋aln＝a. 因为2,所以f(e)<0, 所以a≥2e,综上,a≥－1. 7.坐标系与参数

41、方程 1.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C：(α为参数),在以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρcos＝－1. (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)过点M(－1,0)且与直线l平行的直线l1交C于A,B两点,求点M到A,B两点的距离之积. 解：(1)曲线C化为普通方程为＋y2＝1, 由ρcos＝－1,得ρcosθ－ρsinθ＝－2, 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0. (2)直线l1的参数方程为(t为参数), 代入＋y2＝1化简得,2t2－t－2＝0, 设A,B两点所对应的参数分别为t1,t2,则t1t2＝

42、－1, 所以|MA|·|MB|＝|t1t2|＝1. 2.在平面直角坐标系xOy中,已知直线C1：(t是参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C2：ρ＝8sinθ. (1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程； (2)判断直线C1与曲线C2的位置关系,若相交,求出弦长. 解：(1)由C1：(t是参数)消去t得x＋y－3＝0, 所以直线C1的普通方程为x＋y－3＝0. 把ρ＝8sinθ的两边同时乘ρ, 得ρ2＝8ρsinθ, 因为x2＋y2＝ρ2,y＝ρsinθ, 所以x2＋y2＝8y, 即x2＋(y－4)2＝16, 所以曲线C2的直角坐标方程为x2

43、＋(y－4)2＝16. (2)由(1)知,曲线C2：x2＋(y－4)2＝16是圆心坐标为(0,4),半径为4的圆, 所以圆心(0,4)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝<4, 所以直线C1与曲线C2相交,其弦长为2＝. 3.(2018·河北省武邑中学期中)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,并使得它与直角坐标系有相同的长度单位,曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ,曲线C3的极坐标方程为θ＝(ρ>0). (1)求曲线C1的极坐标方程和C3的直角坐标方程； (2)设C3分别交C1,C2于点P,Q,求△C1PQ的面

44、积. 解：(1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4,即x2＋y2－4x＝0, 所以C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＝0, 即ρ＝4cosθ. 曲线C3的直角坐标方程为y＝x(x>0). (2)依题意,设点P,Q的坐标分别为,, 将θ＝代入ρ＝4cosθ,得ρ1＝2, 将θ＝代入ρ＝2sinθ,得ρ2＝1, 所以＝＝2－1,依题意得,点C1到曲线θ＝的距离为d＝sin＝1, 所以S△C1PQ＝·d＝＝－. 4.已知曲线C1的参数方程是(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sinθ. (1)求曲线C1与C2交

45、点的平面直角坐标； (2)A,B两点分别在曲线C1与C2上,当|AB|最大时,求△AOB的面积(O为坐标原点). 解：(1)由 得 所以(x＋2)2＋y2＝4, 又由ρ＝4sinθ, 得ρ2＝4ρsinθ, 得x2＋y2＝4y,把两式作差得,y＝－x, 代入x2＋y2＝4y得交点坐标为(0,0),(－2,2). (2)如图, 由平面几何知识可知,当A,C1,C2,B依次排列且共线时,|AB|最大, 此时|AB|＝2＋4,O到AB的距离为, ∴△OAB的面积为S＝(2＋4)·＝2＋2. 8.不等式选讲 1.已知函数f(x)＝|x－2a|＋|x－3a|. (1)若

46、f(x)的最小值为2,求a的值； (2)若对∀x∈R, ∃a∈[－2,2],使得不等式m2－|m|－f(x)<0成立,求实数m的取值范围. 解：(1)|x－2a|＋|x－3a|≥|(x－2a)－(x－3a)|＝|a|, 当且仅当x取介于2a和3a之间的数时,等号成立, 故f(x)的最小值为|a|, ∴a＝±2. (2)由(1)知f(x)的最小值为|a|, 故∃a∈[－2,2], 使m2－|m|<|a|成立, 即m2－|m|<2, ∴(|m|＋1)(|m|－2)<0, ∴－2

47、|＋|x＋1|＞a的解集不是R,求a的取值范围. 解：(1)∵|f(x)|＝||x＋1|－|x－2|| ≤|(x＋1)－(x－2)|＝3, ∴－3≤f(x)≤3, ∴f(x)min＝－3,f(x)max＝3. (2)∵|x－3|＋|x＋1|≥|(x－3)－(x＋1)|＝4, ∴|x－3|＋|x＋1|≥4. ∴当a＜4时,|x－3|＋|x＋1|＞a的解集为R. 又∵|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R, ∴a≥4. ∴a的取值范围是[4,＋∞). 3.已知函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数,a∈R). (1)当a＝1时,求不等式f(x)≥0的解集； (2)

48、若函数f(x)恰有两个不同的零点,求实数a的取值范围. 解：(1)当a＝1时,f(x)＝|2x－1|＋x－5＝ 由f(x)≥0,得 或 解得x≤－4或x≥2, 故不等式f(x)≥0的解集为{x|x≤－4或x≥2}. (2)令f(x)＝0,得|2x－1|＝5－ax, 则函数f(x)恰有两个不同的零点转化为y＝|2x－1|与y＝－ax＋5的图象有两个不同的交点,在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示,结合图象知当－2

49、＝|x－2m|－|x＋m|(m>0). (1)当m＝2时,求不等式f(x)≥1的解集； (2)对于任意实数x,t,不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|恒成立,求m的取值范围. 解：(1)f(x)＝|x－2m|－|x＋m|＝ 当m＝2时,由－2x＋2≥1得－20,∴0