高三数学二轮复习 第1部分 专题3 突破点6 古典概型与几何概型 理-人教高三数学试题

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1、专题三　概率与统计 　　　　　　　　建知识网络　明内在联系　　　 高考点拨]　本专题涉及面广，往往以生活中的热点问题为依托，在高考中的考查方式十分灵活，考查内容强化“用数据说法，用事实说话”，背景容易创新．基于上述分析，本专题按照“用样本估计总体”“古典概型与几何概型”“随机变量及其分布列”“独立性检验与回归分析”四个方面分类进行引导，强化突破． 突破点6　古典概型与几何概型 提炼1 古典概型问题的求解技巧 (1)直接列举：涉及一些常见的古典概型问题时，往往把事件发生的所有结果逐一列举出来，然后进行求解． (2)画树状图：涉及一些特殊古典概型问题时，直接列举容易出

2、错，通过画树状图，列举过程更具有直观性、条理性，使列举结果不重、不漏． (3)逆向思维：对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率． (4)活用对称：对于一些具有一定对称性的古典概型问题，通过列举基本事件个数结合古典概型的概率公式来处理反而比较复杂，利用对称思维，可以快速解决. 提炼2 几何度量法求解几何概型 准确确定度量方式和度量公式是求解几何概型的关键，常见的几何度量涉及的测度主要包括长度、面积、体积、角度等. 提炼3 求概率的两种常用方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解

3、概率． (2)若一个较复杂的事件的对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率． 回访1　古典概型 1．(2014·全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　) A.　　　　 B. C. D. D　4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种， ∴所求概率为1－＝.] 2．(2013·全国卷Ⅱ)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝_

4、_______. 8　由题意知n＞4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1,4和2,3，所以P＝＝，即n2－n－56＝0，解得n＝－7(舍去)或n＝8.] 回访2　几何概型 3．(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　) A.　　　　　　 B. C. D. B　如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为

5、20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝＝.故选B.] 4．(2016·全国甲卷)从区间0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　) A. B． C. D. C　因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括

6、扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得＝，即＝，所以π＝.] 热点题型1　古典概型 题型分析：古典概型是高考考查概率的核心，问题背景大多是取球、选人、组数等，求解的关键是准确列举基本事件，难度较小. 　(1)一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，先从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. (2)已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数的概率是(　　) 【导

7、学号：85952027】 A. B． C. D. (1)B　(2)A　(1)设3个白球分别为a1，a2，a3,2个黑球分别为b1，b2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20种． 其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)

8、，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6种，故所求概率为＝.故选B. (2)记事件A为“函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数”． 因为f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1. 因为函数f(x)在R上为增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立． 又a>0，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥. 所以当b＝1时，有a≥，故a可取1,2,3,4，共4个数； 当b＝2时，有a≥，故a可取2,3,4，共3个数； 当b＝3时，有a≥3，故a可取3,4，共2个数； 当b＝4时，有a≥，故a无可取值．

9、综上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9(种)． 又a，b∈{1,2,3,4}，所以(a，b)共有4×4＝16(种)． 故所求事件A的概率为P(A)＝.故选A.] 利用古典概型求事件概率的关键及注意点 1．关键：正确列举出基本事件的总数和待求事件包括的基本事件数． 2．注意点：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏． (2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率． 变式训练1]　(2016·广州二模)从数字1,2,3,4,5中任取2个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于30的概率是(　　) A. B． C. D. C　从

10、数字1,2,3,4,5中任取2个，组成一个没有重复数字的两位数，共有20种不同结果．其中这个两位数大于30的共有12种不同结果，故所求事件的概率P＝＝.] 热点题型2　几何概型 题型分析：高考试题中几何概型主要考查线段型和面积型.求解几何概型的关键是计算线段的长度、平面图形的面积等，难度较小. 　(1)在区间0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为(　　) A.　　　 B. C. D. (2)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__

11、________．(用数字作答) (1)A　(2)　(1)由－1≤log≤1，得≤x＋≤2，解得0≤x≤，所以事件“－1≤log≤1”发生的概率为＝，故选A. (2)设小张和小王到校的时间分别为x和y，则则满足条件的区域如图中阴影部分所示． 故所求概率P＝＝.] 判断几何概型中的几何度量形式的方法 1．当题干涉及两个变量问题时，一般与面积有关． 2．当题干涉及一个变量问题时，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)． 提醒：数形结合是解决几何概型问题的常用方法，求解时，画图务必准确、直

12、观． 变式训练2]　如图6­1，圆C内切于扇形AOB，∠AOB＝，若向扇形AOB内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为(　　) 图6­1 A．100　　　　　　 B．200 C．400 D．450 C　如图，设OA与圆C相切于点D，连接OC，CD，∠AOB＝，则∠COD＝， 设圆C的半径为1，可得OC＝2，所以扇形的半径为3， 由几何概型可得点在圆C内的概率为P＝＝＝，故向扇形AOB内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计为×600＝400个．] 热点题型3　互斥事件与对立事件的概率 题型分析：互斥事件与对立事件的概率常与古典概型等交汇命题，主要考

13、查学生的分析转化能力，难度中等. 　(2016·南昌一模)现有甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的． (1)求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率； (2)求甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率． 解]　甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的情况如下： 文学社 街舞社 1 甲乙丙丁 2 甲乙丙 丁 3 甲乙丁 丙 4 甲丙丁 乙 5 乙丙丁 甲 6 甲乙 丙丁 7 甲丙 乙丁 8 乙丙 甲丁 9 甲丁 乙丙 10

14、 乙丁 甲丙 11 丙丁 甲乙 12 甲 乙丙丁 13 乙 甲丙丁 14 丙 甲乙丁 15 丁 甲乙丙 16 甲乙丙丁 共有16种情形，即有16个基本事件.6分 (1)文学社或街舞社没有人参加的基本事件有2个， 故所求概率为＝.9分 (2)甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的基本事件有4个，故所求概率为＝.12分 1．直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算． 2．间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求解，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间

15、接求法会较简便． 提醒：应用互斥事件概率的加法公式的前提是确定各个事件是否彼此互斥． 变式训练3]　(名师押题)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． 解]　记事件A为“该车主购买甲种保险”，事件B为“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”，事件C为“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”，事件D为“该车主甲、乙两种保险都不购买”.4分 (1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，6分 又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3 ＝0.8.8分 (2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.12分