高三数学二轮复习 第2部分 必考补充专题 专题限时集训2 专题1 突破点2 解三角形 理-人教高三数学试题

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1、专题限时集训(二)　解三角形 建议A、B组各用时：45分钟] A组　高考达标] 一、选择题 1．(2016·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cos B＝(　　) A．－　　　　　　 B. C．－ D. B　由正弦定理，得＝＝，即sin B＝cos B，∴tan B＝.又0

2、n A－sin Acos B＝0.∵sin A≠0，∴sin B－cos B＝0，∴tan B＝.又0＜B＜π，∴B＝. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，即b2＝(a＋c)2－3ac. 又b2＝ac，∴4b2＝(a＋c)2，解得＝2.故选C.] 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　) A．3 B． C. D．3 C　∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① ∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.② 由①②得－ab＋6＝0

3、，即ab＝6， ∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.] 4．(2016·河北武邑中学期中)在△ABC中，c＝，b＝1，∠B＝，则△ABC的形状为(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 D　根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D.] 图2­1 5．(2016·海口调研)如图2­1，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2，则cos A＝(　　) A.　　　　　 B. C

4、. D. C　∵DE＝2，∴BD＝AD＝＝.∵∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得＝，∴＝×＝，∴cos A＝，故选C.] 二、填空题 6．(2016·石家庄一模)已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，则的值为__________. 【导学号：85952015】 6　在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6或AB＝－2(舍)，则cos ∠ABC＝＝，BD＝AB·cos∠ABC＝6×＝，CD＝BC－BD＝2－＝，所以＝6.] 图2­2 7．(2016·湖北

5、七州联考)如图2­2，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD＝__________m. 10　分析题意可知，设CD＝h，则AD＝，BD＝h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 120°，可得1302＝3h2＋－2·h··，解得h＝10，故塔的高度为10 m．] 8．(2016·合肥二模)如图2­3，△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝∠

6、D＝60°，若△ADC是锐角三角形，则DA＋DC的取值范围是__________． 图2­3 (6,4]　在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝12，即AC＝2.设∠ACD＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC中，由正弦定理得＝＝，则DA＋DC＝4sin θ＋sin(120°－θ)]＝4＝4sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，4sin 60°

7、 A＋(2c＋a)sin C. (1)求B的大小； (2)若b＝，A＝，求△ABC的面积． 解]　(1)∵2bsin B＝(2a＋c)sin A＋(2c＋a)sin C. 由正弦定理得2b2＝(2a＋c)a＋(2c＋a)c，1分 化简得a2＋c2－b2＋ac＝0，2分 ∴cos B＝＝＝－.4分 ∵0

8、)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)求的值； (2)若角A是钝角，且c＝3，求b的取值范围． 解]　(1)由题意及正弦定理得sin Ccos B－2sin Ccos A＝2sin Acos C－sin Bcos C，1分 ∴sin Ccos B＋sin Bcos C＝2(sin Ccos A＋sin A cos C)， ∴sin(B＋C)＝2sin(A＋C).3分 ∵A＋B＋C＝π，4分 ∴sin A＝2sin B，∴＝2.5分 (2)由余弦定理得cos A＝＝＝<0， ∴b>.①8分 ∵b＋c>a，即b＋3>2b，∴b<3，②10分 由①

9、②得b的取值范围是(，3).12分 B组　名校冲刺] 一、选择题 1．(2016·安庆二模)设角A，B，C是△ABC的三个内角，则“A＋B，故三角形ABC为钝角三角形，反之不一定成立．故选A.] 2．(2016·全国丙卷)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　) A. B． C．－ D．－ C　法一：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 则由题意得S△ABC＝a·

10、a＝acsin B，∴c＝a. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a. ∴cos A＝＝＝－.故选C. 法二：同法一得c＝a. 由正弦定理得sin C＝sin A, 又B＝，∴sin C＝sin＝sin A，即cos A＋sin A＝sin A，∴tan A＝－3，∴A为钝角． 又∵1＋tan2A＝，∴cos2A＝， ∴cos A＝－.故选C.] 3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C＝(　　) A．4∶3

11、∶2　　　　 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4 D　∵A>B>C，∴a>b>c. 又∵a，b，c为连续的三个正整数， ∴设a＝n＋1，b＝n，c＝n－1(n≥2，n∈N*)． ∵3b＝20acos A，∴＝cos A， ∴＝， ＝， 即＝， 化简得7n2－27n－40＝0，(n－5)(7n＋8)＝0， ∴n＝5. 又∵＝＝， ∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝6∶5∶4. 故选D.] 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C，则sin A＋sin B的最大值是(　　) A．1 B．

12、 C．3 D. D　∵csin A＝acos C，∴sin Csin A＝sin Acos C. ∵sin A≠0，∴tan C＝， ∵0＜C＜π，∴C＝， ∴sin A＋sin B＝sin A＋sin＝sin A＋cos A＝sin. ∵0＜A＜，∴＜A＋＜， ∴＜sin≤， ∴sin A＋sin B的最大值为.故选D.] 二、填空题 5．(2016·忻州一中联考)已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cos A＝__________. 　由题意可知S△ACD∶S△BCD＝4∶3， ∴AD∶DB＝4∶3，AC∶BC＝4

13、∶3，在△ABC中，由正弦定理得 sin B＝sin A， 又B＝2A，∴sin 2A＝sin A，∴cos A＝.] 6．(2016·太原二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若∠B＝∠C，且7a2＋b2＋c2＝4，则△ABC面积的最大值为__________. 【导学号：85952016】 　法一：由∠B＝∠C得b＝c，代入7a2＋b2＋c2＝4，得7a2＋2b2＝4，则2b2＝4－7a2，由余弦定理得cos C＝＝，所以sin C＝＝＝，则△ABC的面积为S＝absin C＝ab×＝＝≤×＝×4＝，当且仅当a2＝时取等号，则△ABC的面积的最大值为. 法二：由

14、∠B＝∠C得b＝c，所以7a2＋b2＋c2＝4，即为7a2＋2c2＝4，则△ABC面积为a ＝≤×＝，所以最大值为.] 三、解答题 7．已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足＝，函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减． (1)证明：b＋c＝2a； (2)若f＝cos A，证明：△ABC为等边三角形． 证明]　(1)∵ ＝， ∴sin Bcos A＋sin Ccos A＝2sin A－cos Bsin A－cos Csin A，2分 ∴sin Bcos A＋cos Bsin A＋sin Ccos A＋cos Csin A＝2sin A

15、，4分 sin(A＋B)＋sin(A＋C)＝2sin A， sin C＋sin B＝2sin A， ∴b＋c＝2a.6分 (2)由题意知，＝，解得ω＝，7分 ∵f＝sin ＝＝cos A，A∈(0，π)， ∴A＝，8分 由余弦定理知，cos A＝＝， ∴b2＋c2－a2＝bc.∵b＋c＝2a， ∴b2＋c2－2＝bc， 即b2＋c2－2bc＝0，∴b＝c.10分 又A＝，∴△ABC为等边三角形.12分 8．(2016·福州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b－c)cos A＝acos C. (1)求角A的大小； (2)若a＝3，求△AB

16、C周长的最大值． 解]　(1)由(2b－c)cos A＝acos C及正弦定理， 得(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，3分 ∴2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C， ∴2sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B． ∵B∈(0，π)，∴sin B≠0. ∵A∈(0，π)，cos A＝，∴A＝.6分 (2)由(1)得A＝，由正弦定理得＝＝＝＝2， ∴b＝2sin B，c＝2sin C. △ABC的周长l＝3＋2sinB＋2sin9分 ＝3＋2sinB＋2 ＝3＋3sin B＋3cos B ＝3＋6sin. ∵B∈，∴当B＝时，△ABC的周长取得最大值为9.12分