高三数学二轮复习 专题限时集训6 专题3 突破点6 古典概型与几何概型 理-人教高三数学试题

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1、专题限时集训(六)　古典概型与几何概型 建议A、B组各用时：45分钟] A组　高考达标] 一、选择题 1．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. C　∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}， ∴事件总数有15种． ∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.] 2．(2

2、016·福州模拟)在某次全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为(　　) A. B． C. D. D　由题意得从5人中选出2人，有10种不同的选法，其中满足2人编号相连的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种不同的选法，所以所求概率为＝，故选D.] 3．(2016·大连双基检测)在区间0，π]上随机地取一个数x，则事件“sin x≤”发生的概率为(　　) A. B． C. D. D　由正弦函数的图象与性质知，当x∈∪时，sin x≤，所以所求概率为＝，故选D.] 4．现有甲、乙、

3、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少分一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为(　　) A. B． C. D. B　依题意得，甲、乙、丙、丁到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分一名义工的方法数是C·A，其中甲、乙两人被分到同一社区的方法数是C·A，因此甲、乙两人被分到不同社区的概率等于1－＝.] 5．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　　) A. B． C.

4、 D. C　如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x，y，x，y相互独立，由题意可知所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝＝＝＝.] 二、填空题 6．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A＋B)＝__________. 　将事件A＋B分为：事件C“朝上一面的数为1,2”与事件D“朝上一面的数为3,5”，则C，D互斥，且P(C)＝，P(D)＝，∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝.] 7．(2016·

5、河南市联考)已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈，b∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为__________. 【导学号：85952028】 　要使函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2有两个零点，即方程x2－2ax＋b2＝0要有两个实根，则Δ＝4a2－4b2>0.又a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，即a>b，而a，b的取法共有3×3＝9种，其中满足a>b的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为＝.] 图6­2 8．如图6­2，向边长为2的正方形中随机投入一粒黄豆，若圆C的方程为(x－2)2＋(y

6、－2)2＝，则黄豆落入阴影部分的概率为________． 1－　由题意可知黄豆落入阴影部分的概率为＝1－.] 三、解答题 9. 图6­3 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下： 甲商场：顾客转动如图6­3所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖． 乙商场：从装有3个白球，3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外，不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖． 问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？ 解]　如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，

7、面积为πR2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为＝. 所以，在甲商场中奖的概率为 P1＝＝.4分 如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3,3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15种，8分 摸到的2个球都是红球有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3个，所以在乙商场中奖的概率为P2

8、＝＝.10分 由于P10的概率； (2)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率． 解]　(1)用B表示事件“a·b>0”，即x－2y>0.1分 试验的全部结果所构成的区域为{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}，2分 构成事件B的区域为{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x－2y>0}，3分 如图所示．

9、所以所求的概率为P(B)＝＝.6分 (2)设(x，y)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个.9分 用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1. 则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个.11分 ∴P(A)＝＝.12分 B组　名校冲刺] 一、选择题 1．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是(　　) A. B． C. D. A　基本事件的总数为10，其中能构成

10、三角形三边长的数组为(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故其概率为.] 2．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是(　　) 【导学号：85952029】 A. B． C. D. C　如图所示，取边BC上的中点D，由＋＋2＝0，得＋＝2.又＋＝2，故＝，即P为AD的中点，则S△ABC＝2S△PBC，根据几何概率的概率公式知，所求概率P＝＝，故选C.] 3．(2016·济南模拟)已知函数f(x)＝ax3－bx2＋x，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数f′(x)在x＝1处取得最值的概率是(　　

11、) A.　　　　 B. C. D. C　由题意得f′(x)＝ax2－bx＋1，因为f′(x)在x＝1处取得最值，所以＝1，符合的点数(a，b)有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情况．又因为抛掷两颗骰子得到的点数(a，b)共有36种情况，所以所求概率为＝，故选C.] 4．在区间0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则(　　) A．p1

12、事件“x＋y≥”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x－y|≤”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy≤”对应的图形为图③所示的阴影部分． 对三者的面积进行比较，可得p2n，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P(A)＝＝.] 图6­4 6．如图6­4，在边长为e(e为自然对数的

13、底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为__________． 　∵y＝ex与y＝ln x互为反函数，故直线y＝x两侧的阴影部分面积相等，只需计算其中一部分即可． 如图，S1＝∫10exdx＝ex＝e1－e0＝e－1. ∴S总阴影＝2S阴影＝2(e×1－S1)＝2e－(e－1)]＝2， 故所求概率为P＝.] 三、解答题 7．现有8名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1，B2，B3物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀，从中选出数学、物量、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛． (1)求C1被选中的概率； (2)求A1和B1不全

14、被选中的概率． 解]　(1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为 Ω＝{(A1，B1，C1}，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，共18个基本事件组成.4分 由于每一个基本事件被抽取的机会均等．因此这些基本事

15、件的发生是等可能的． 用M表示“C1恰被选中”这一事件，则 M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}.6分 事件M由9个基本事件组成，因而P(M)＝＝.8分 (2)用N表示“A1，B1不全被选中”这一事件， 则其对立事件表示“A1，B1全被选中”这一事件． 由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，事件由2个基本事件组成，所以P()＝＝.11分 由对立事件的概率公式得 P(N)＝1－P()＝1－＝.12分

16、 8．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c. (1)若直线l：x＋y－5＝0，求点P(b，c)恰好在直线l上的概率； (2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率． 解]　(1)因为是投掷两次，因此基本事件(b，c)为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，4分 当b＋c＝5时，(b，c)的所有取值为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，5分 所以所求概率为P1＝＝.6分 (2)①若方程一根为x＝1，则1－b－c＝0，即b＋c＝1，不成立.7分 ②若方程一根为x＝2，则4－2b－c＝0，即2b＋c＝4，所以8分 ③若方程一根为x＝3，则9－3b－c＝0，即3b＋c＝9，所以9分 ④若方程一根为x＝4，则16－4b－c＝0，即4b＋c＝16，所以10分 由①②③④知，(b，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，11分 所以方程为“漂亮方程”的概率为P2＝.12分