高考数学二轮复习 专题检测（二十二）“圆锥曲线”压轴大题的抢分策略 理（普通生含解析）-人教版高三数学试题

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1、专题检测（二十二） “圆锥曲线”压轴大题的抢分策略 1.(2018·济南模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：x2＝4y，直线l与抛物线C1交于A，B两点． (1)若直线OA，OB的斜率之积为－，证明：直线l过定点； (2)若线段AB的中点M在曲线C2：y＝4－x2(－2＜x＜2)上，求|AB|的最大值． 解：(1)证明：由题意可知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－4kx－4m＝0， Δ＝16(k2＋m)＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m， 则kOA·kOB＝＝＝＝－， 由已知kOA·kOB＝

2、－，得m＝1，满足Δ＞0， ∴直线l的方程为y＝kx＋1，∴直线l过定点(0,1)． (2)设M(x0，y0)，由已知及(1)得x0＝＝2k， y0＝kx0＋m＝2k2＋m， 将M(x0，y0)代入y＝4－x2(－2＜x＜2)，得 2k2＋m＝4－×(2k)2，∴m＝4－3k2. ∵－2＜x0＜2，∴－2＜2k＜2，∴－＜k＜， ∵Δ＝16(k2＋m)＝16(k2＋4－3k2)＝32(2－k2)＞0，∴－＜k＜， 故k的取值范围是(－，)． ∴|AB|＝· ＝· ＝4· ≤4·＝6， 当且仅当k2＋1＝2－k2，即k＝±时取等号， ∴|AB|的最大值为6. 2．(

3、2018·石家庄质检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点． (1)若以AF1为直径的动圆内切于圆x2＋y2＝9，求椭圆的长轴的长； (2)当b＝1时，问在x轴上是否存在定点T，使得·为定值？并说明理由． 解：(1)设AF1的中点为M，连接OM，AF2(O为坐标原点)， 在△AF1F2中，O为F1F2的中点， 所以|OM|＝|AF2|＝(2a－|AF1|)＝a－|AF1|. 由题意得|OM|＝3－|AF1|， 所以a＝3，故椭圆的长轴的长为6. (2)由b＝1，＝，a2＝b2＋c2，得c＝2，a＝3， 所以椭圆

4、C的方程为＋y2＝1. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x＋2)， 由得(9k2＋1)x2＋36k2x＋72k2－9＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， y1y2＝k2(x1＋2)(x2＋2)＝. 设T(x0,0)， 则＝(x1－x0，y1)，＝(x2－x0，y2)， ·＝x1x2－(x1＋x2)x0＋x＋y1y2＝， 当9x＋36x0＋71＝9(x－9)，即x0＝－时， ·为定值，定值为x－9＝－. 当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B， 当T时，·＝·＝－. 综上，在x轴上存在定点T，使得·为定值．

5、3．(2019届高三·西安八校联考)已知直线l：x＝my＋1过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F，抛物线x2＝4y的焦点为椭圆C的上顶点，且l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝4上的射影依次为D，K，E. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l交y轴于点M，且＝λ1， ＝λ2，当m变化时，证明：λ1＋λ2为定值； (3)当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由． 解：(1)∵l：x＝my＋1过椭圆C的右焦点F， ∴右焦点F(1,0)，c＝1，即c2＝1. ∵x2＝4y的焦点(0，)为椭圆C的上顶点， ∴b＝，即b2

6、＝3，a2＝b2＋c2＝4， ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：由题意知m≠0，联立 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝－，y1y2＝－. ∵＝ λ1，＝λ2，M， ∴＝λ1(1－x1，－y1)， ＝λ2(1－x2，－y2)， ∴λ1＝－1－，λ2＝－1－， ∴λ1＋λ2＝－2－＝－2－＝－. 综上所述，当m变化时，λ1＋λ2为定值－. (3)当m＝0时，直线l⊥x轴，则四边形ABED为矩形， 易知AE与BD相交于点N， 猜想当m变化时，直线AE与BD相交于定点N，证明如下： 则＝＝， 易知E(4

7、，y2)，则＝. ∵y2－(－y1)＝(y1＋y2)－my1y2＝－m＝0， ∴∥，即A，N，E三点共线． 同理可得B，N，D三点共线． 则猜想成立， 故当m变化时，直线AE与BD相交于定点N. 4．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)． (1)证明：k<－； (2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差． 解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＋＝1，＋＝1. 两式相减，并由＝k得＋·k＝0. 由题设知＝1，＝m，于

8、是k＝－.① 由题设得0