3.2第1课时空间向量与平行关系

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1、单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,No.1 预习学案,,No.2 课堂讲义,,No.3 课后练习,,,工具,第三章 空间向量与立体几何,栏目导引,第1课时　空间向量与平行关系 （1）,1,．,直线的方向向量,,直线的方向向量是指和这条直线,,或,,的向量，一条直线的方向向量有,,个．,,2,．,平面的法向量,,直线,l,⊥,α,，取直线,l,的方向向量,a,，则,a,叫做平面,α,的,．,共线,平行,无数,法,向量,3,．,空间中平行关系的向量表示,线线平行,设直线,l,，,m,的方向向量分别为,a,＝,(,a,1,，,b,1,，,c,1,)，

2、,b,＝,(,a,2,，,b,2,，,c,2,)，则,l,∥,m,⇔,,.,线面平行,设直线,l,的方向向量为,a,＝,(,a,1,，,b,1,，,c,1,)，平面,α,的法向量为,u,＝,(,a,2,，,b,2,，,c,2,)，则,l,∥,α,⇔,,.,面面平行,设,α,，,β,的法向量分别为,u,＝,(,a,1,，,b,1,，,c,1,)，,v,＝,(,a,2,，,b,2,，,c,2,)，则,α,∥,β,⇔,,.,a,＝,λ,b,a,·,u,＝,0,u,∥,v,⇔,u,－,λ,v,1．设直线,l,的方向向量为,a,，平面,α,的法向量为,b,，若,a,·,b,＝0，则(　　),,A．,l,

3、∥,α,B．,l,⊂,α,,C．,l,⊥,α,D．,l,⊂,α,或,l,∥,α,,解析：,,因为,a,·,b,＝0，所以,a,⊥,b,，故选D.,,答案：,,D,2．设平面,α,的法向量为(1,2，－2)，平面,β,的法向量为(－2，－4，,k,)，若,α,∥,β,，则,k,＝(　　),,A．2 B．－4,,C．4 D．－2,,,,答案：,,C,3．已知直线,l,1,的一个方向向量为(－7,3,4)，直线,l,2,的一个方向向量为(,x,，,y,,8)，且,l,1,∥,l,2,，则,x,＝________，,y,＝________.,,,,,答案：,,－14　6,4．已知在长方

4、体,ABCD,－,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,、,M,、,N,分别是,BC,、,AE,、,CD,1,的中点，,AD,＝,AA,1,＝,a,，,AB,＝2,a,.,,求证：,MN,∥平面,ADD,1,A,1,.,,证明：,以,D,为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，,,(1)设,a,，,b,分别是不重合的直线,l,1,，,l,2,的方向向量，根据下列条件判断,l,1,，,l,2,的位置关系：,,①,a,＝(4,6，－2)，,b,＝(－2，－3,1),,②,a,＝(5,0,2)，,b,＝(0,1,0),,③,a,＝(－2，－1，－1)，,b,＝(4，－2，－8),(2)设,u,

5、，,v,分别是不同的平面,α,，,β,的法向量，根据下列条件判断,α,，,β,的位置关系：,,,,,(3)设,u,是平面,α,的法向量，,a,是直线,l,的方向向量，根据下列条件判断,α,与,l,的位置关系：,,①,u,＝(2,2，－1)，,a,＝(－6,8,4),,②,u,＝(2，－3,0)，,a,＝(8，－12,0),,③,u,＝(1,4,5)，,a,＝(－2,4,0),解答本题可先判断直线的方向向量与平面的法向量之间的位置关系，再转化为直线与平面间的位置关系．,,,[规范作答],,(1),①∵,a,＝(4,6，－2)，,b,＝(－2，－3,1)，,,∴,a,＝－2,b,，,∴,a,∥,b

6、,，,∴,l,1,∥,l,2,.1分,,②∵,a,＝(5,0,2)，,b,＝(0,1,0)，,,∴,a,·,b,＝0，,∴,a,⊥,b,，,∴,l,1,⊥,l,2,.2分,,③∵,a,＝(－2，－1，－1)，,b,＝(4，－2，－8)，,,∴,a,与,b,不共线与不垂直．,,∴,l,1,与,l,2,相交或异面.4分,[题后感悟],,利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：,,(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；,,(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在

7、联系；,,(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性．,(3)设,u,是平面,α,的法向量，,a,是直线,l,的方向向量，判断直线,l,与,α,的位置关系．,,①,u,＝(1,1，－1)，,a,＝(－3,4,1)．,,②,u,＝(0,2，－3)，,a,＝(0，－6,9)．,已知平面,α,经过三点,A,(1,2,3)，,B,(2,0，－1)，,C,(3，－2,0)，试求平面,α,的一个法向量．,2.正方体,ABCD,－,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,分别是,BB,1,，,CD,的中点，分别求平面,AED,与平面,A,1,FD,的法向量．,已知正方体,ABCD,－,A,1,B,1

8、,C,1,D,1,的棱长为2，,E,、,F,分别是,BB,1,、,DD,1,的中点，求证：,,(1),FC,1,∥平面,ADE,；,,(2)平面,ADE,∥平面,B,1,C,1,F,.,由题目可获取以下主要信息：,,①,ABCD,－,A,1,B,1,C,1,D,1,为正方体且棱长为2；,,②,E,、,F,分别是,BB,1,、,DD,1,的中点．,,解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用方向向量和法向量间的关系判定线面、面面平行．,,[题后感悟],,利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系

9、；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．,3.在正方体,ABCD,－,A,1,B,1,C,1,D,1,中，求证：平面,A,1,BD,∥平面,CB,1,D,1,.,令,y,2,＝1，得,x,2,＝－1，,z,2,＝1，,,∴,n,2,＝(－1,1,1)，,,∴,n,1,＝,n,2,，即,n,1,∥,n,2,.,,∴,平面,A,1,BD,∥,平面,CB,1,D,1,.,1,．,如何认识直线的方向向量？,,空间中任意一条直线,l,的位置可以由,l,上一个定点,A,以及一个方向确定．在直线,l,上取,A,＝,a,，,a,可以作为,l,的方向向量，借助点,A,和

10、,a,即可确定直线,l,的位置，并能具体表示出直线,l,上的任意一点．,2,．,如何理解平面的法向量？,,(1)平面,α,的一个法向量垂直于与平面,α,共面的所有向量．,,(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．,,3,．,如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作用？,,(1)可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系．,,(2)可以利用它们表示直线与平面所成的线面角．,,(3)可以解决有关线段的长度或点、线、面之间的距离问题．,4,．,用向量方法证明空间中的平行关系,线线平行,设直线,l,1,、,l,2,的方向向量分别是,a,、,b,，则要证明,l

11、,1,∥,l,2,，只需证明,a,∥,b,，即,a,＝,k,b,(,k,∈,R),．,线面平行,①,设直线,l,的方向向量是,a,，平面,α,的法向量是,u,，则要证明,l,∥,α,，只需证明,a,⊥,u,，即,a,·,u,＝,0.,,②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．,,③证明一条直线,l,与一个平面,α,平行，只需证明,l,的方向向量能用平面,α,内两个不共线向量线性表示．,[提醒],,向量法证明线面平行时，注意说明直线不在平面内．,面面平行,①转化为相应的线线平行或线面平行．,,②,求出平面,α,，,β,的法向量,u,，,v,，证明,u,∥,v,，即可说明,α,∥,β,.,◎已知,u,是平面,α,的法向量，,a,是直线,l,的方向向量，若,u,＝(4,1，5)，,a,＝(2，－8,0)，试判断,l,与,α,的位置关系．,,【错解】,,∵,u,·,a,＝8－8＝0，,,∴,u,⊥,a,，,∴,l,∥,α,.,,【错因】,,错解中忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的不同．,,【正解】,,∵,u,·,a,＝8－8＝0，,,∴,u,⊥,a,，,∴,l,∥,α,或,l,⊂,α,.,练考题、验能力、轻巧夺冠,,