复数的几何意义(公开课)

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,教学重难点,,,重点,,难点,对复数几何意义的理解以及复数的向量表示,.,由于理解复数是一对有序实数不习惯，对于复数几何意义理解有一定困难,.,,对于复数向量表示的掌握有一定困难,.,,特别地

2、，,a+bi,=0,,,.,,4.,已知,x,、,y,,R,，,,,(1),若,(2x-1)+,i,=y-(3-y),i,,，则,x,=,,、,,y,=,,；,,,,(2),若,(3,x,-4)+(2,y+,3),i,=0,，则,x,=,,、,y,=,,.,,,想一想,,练一练,,3.1.2,复数的几何意义,,1.,,对,,虚数单位,i,,的规定,,①,i,2,=,-,1；,②,可以与实数一起进行四则运算,.,2.,,复数,z,=,a+bi,(,其中,a,、,b,,R,),中,a,叫,z,的,,、,b,叫,z,的,,.,,实部,虚部,z,为实数,,,、,z,为纯虚数,,,.,b,=0

3、,练习,:,把下列运算的结果都化为,a+bi,（,a,、,b,,R,）的形式,.,,2 -,i,,=,,；,-2,i,,=,,；,5=,,；,0=,,；,,,3.,,a,=0,是,z,=,a+bi,(,a,、,b,,R,),为纯虚数的,,条件,.,必要但不充分,课前复习,,在几何上，我们用什么来表示实,数,?,想一想？,实数的几何意义,类比,实数的表示，可以用什么来表示复数？,实数可以用,数轴,上的点来表示,.,实数,,数轴,上的点,,(,形,),(,数,),一一对应,,回忆,…,复数的一般形式？,Z=,a,+,bi,(,a,,,b,∈,R,),实部,!,虚部,!,一个复数由什么唯一确定？

4、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,４,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,３,,６,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,５,,,,,O,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,２,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,１,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,思考,1,,：,复数与点的对应,X,Y,（１） ２,+,５,i,；,,（２） －３,+,２,i,；,,（３） ２－４,i,；,,（４） －３－５,i,；,,（５） ５；,,（６） －３,i,；,,,,,,,,,,,,

5、,,,,,,,,,G,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,,,,,,,C,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,F,,O,,,,,,E,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D,,,,,B,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,H,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,思考,2,：,点与复数的对应,(,每个小正方格的边长为,1),X,Y,,记住！,,由此可知，复数集,C,和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,.,总结,复数,z=,a+bi,复平面内的点,Z(a,b,),一

6、一对应,结论,复数的几何意义之一是：,,复数,z=a+bi,有序实数对,(a,b),直角坐标系中的点,Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x,轴,------,实轴,y,轴,------,虚轴,（数）,（形）,------,复数平面,,(,简称,复平面,),一一对应,z=a+bi,复数的几何意义（一）,,注意,观 察,,,实轴上的点都表示实数；虚轴上的点都表示纯虚数，,除原点外，因为原点表示实数,0.,,复数,z=,a+bi,用点,Z(a,b,),表示,.,复平面内的点,Z,的坐标是,(,a,b,),,而不是,(a, bi),,即复平面内的纵坐

7、标轴上的单位长度是,1,，而不是,i,.,,(A),在复平面内，对应于实数的点都在实,,轴上；,,(B),在复平面内，对应于纯虚数的点都在,,虚轴上；,,(C),在复平面内，实轴上的点所对应的复,,数都是实数；,,(D),在复平面内，虚轴上的点所对应的复,,数都是纯虚数,.,例,1.,辨,析：,1,．下列命题中的假命题是（ ）,D,,,2,．“,a=0”,是“复数,a+bi (a , b,∈,R),是纯虚数,”,的（,,）,.,,,(A),必要不充分条件,(B),充分不必要条件,,,(C),充要条件,(D),不充分不必要条件,C,,3,．“,a=0”,是“复数,a+bi (a , b,∈,R

8、),所对应的点在虚轴上”的（ ）,.,,,(A),必要不充分条件,(B),充分不必要条件,,,(C),充要条件,(D),不充分不必要条件,A,,练一练,复平面内的原点,(0,0),表示,( );,实轴上的点,(2,0),表示,( ),；,虚轴上的点,(0,-1),表示,( );,点,(-2,3),表示,( ).,实数,0,实数,2,纯虚数,-i,复数,-2+3i,,例,2,,已知复数,z=(m,2,+m-6)+(m,2,+m-2)i,在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数,m,的取值范围,

9、.,,表示复数的点所在象限的问题,复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题,转化,(,几何问题,),(,代数问题,),一种重要的数学思想：,数形结合思想,,变式一：,已知复数,z=(m,2,+m-6)+(m,2,+m-2)i,在复平面内所对应的点在直线,x-2y+4=0,上，求实数,m,的值,.,,解：∵,复数,z=(m,2,+m-6)+(m,2,+m-2)i,在复平面内所对应的点是（,m,2,+m-6,，,m,2,+m-2,），,∴,(m,2,+m-6)-2(m,2,+m-2)+4=0,，,∴,m=1,或,m=-2.,,复数,z=a+bi,直角坐标系中的点,Z(a,b),一一对应,平面向量,一

10、一对应,一一对应,复数的几何意义（二）,x,y,o,b,a,Z(a,b),z=a+bi,小结,,x,O,z,=,a,+,b,i,y,复数的绝对值,(,复数的模,),的,几何意义,:,Z,,(,a,,,b,),对应平面向量 的模,| |,，即,复数,z=,a,+,b,i,在复平面上对应的点,Z(,a,,,b,),到原点的距离,.,|,z,,|,= | |,小结,,实数绝对值的几何意义,:,复数的模其实是实数绝对值概念的推广,x,O,A,a,|,a,| = |,OA,|,实数,a,在数轴上所对应的点,A,到原点,O,的距离,.,x,O,z,=,a,+,bi,y,|

11、,z,|=|,OZ,|,复数的模,,复数,,z,=,a,+,bi,在复平面上对应的点,Z(,a,,,b,),到原点的距离,.,的几何意义,:,Z(,a,,,b,),,注意,,向量 的模,r,叫做复数,z=,a+bi,的模，记作,|z|,或,|,a+bi,|.,如果,b=0,，那么,z=,a+bi,是一个实数,a,,它的模等于,|a|(,就是,a,的绝对值,).,由模的定义可知：,|z|= |,a+bi,|=r= (r 0, ).,,为了方便起见，我们常把,复数,z=,a+bi,说成点,Z,或说成向量,且规定,相等的向量表示同一个复数,.,

12、,,例,3,,,求下列复数的模：,,,(1)z,1,=,-,5i (2)z,2,=,-,3+4i (3)z,3,=5,-,5i,(2),满足,|z|=5(z∈C),的,z,值有几个？,思考：,(1),满足,|z|=5(z∈R),的,z,值有几个？,(4)z,4,=1+mi(m∈R) (5)z,5,=4a,-,3ai(a,<,0),这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？,小结,,x,y,O,设,z=,x+yi(x,y∈R,),满足,|z|=5(z∈C),的,复数,z,对应的点在复平面上将构成怎样的图形？,5,5,–5,–5,以原点为圆心,,,半径为,5,的,圆,.,

13、图形,:,,5,x,y,O,设,z=,x+yi(x,y∈R,),满足,3<|z|<5(z∈C),的,复数,z,对应的点在复平面上将构成怎样的图形？,5,5,–5,–5,3,–3,–3,3,图形,:,以原点为圆心,,,半径,3,至,5,的,圆环内,,(1)|z,－,(1+2i)|,(2)|z+(1+2i)|,例,5,已知复数,z,对应点,A,,说明下列各式所表示的几何意义,.,点,A,到点,(1,2),的距离,点,A,到点,(,－,1,,－,2),的距离,,(3)|z,－,1|,(4)|z+2i|,点,A,到点,(1,0),的距离,点,A,到点,(0,,－,2),的距离,,已知复数,m=2,－,

14、3i,,,若复数,z,满足等式,|,z,－,m,|=1,,则,z,所对应的点的集合是什么图形,?,以点,(2,,－,3),为圆心,,1,为半径的圆,.,,课堂小结,1.,复数的实质是,一对有序实数对,；,2.,用平面直角坐标系表示,复平面,，其中,x,轴叫做,实轴,，,y,轴叫做,虚轴,；,,3.,实轴上的点都表示,实数,；,除了原点外,，虚轴上的点都表示,纯虚数,；,4.,复数,z=,a+bi,用点,Z(a,b,),表示,.,复平面内的点,Z,的坐标是,(,a,b,),,而不是,(a, bi),；,,5.,复数的两个,几何意义,：,复数,z=,a+bi,一一对应,复平面内的点,Z(a,b,),复数,z=,a+bi,一一对应,平面向量,,7.,复数的模,通过,向量的模,来定义；,6.,复平面内任意一点,Z(a,b,),可以与,以原点为起点，点,Z(a,b,),为终点的向量 对应；,,,小结,:,复数的几何意义是什么？,,复数,z=a+bi,直角坐标系中的点,Z(a,b),一一对应,平面向量,一一对应,一一对应,复数的几何意义,比一比？,复数还有哪些特征能和平面向量类比,?,,