MATLAB哈工大讲义第三讲

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1、,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,*,,*,,,,,,,,,,,,,MATLAB及其应用,,第三讲 数据处理,,授课人：鲍文,,,退出,>,,,,从“插入”菜单,,选择图片,,找到徽标文件,,单击“确定”,,,重新设置徽标大小,,,单击徽标内任意位置。徽标外部出现的方框是“调整控点”,,使用这些重新设置对象大小,,如果在使用尺寸调整控点前按下,shift,键，则对象改变大小但维持原比例。,2024/9/13,1,目录,,1,矩阵分析,,2 数据分析函数,,3 多项式处理,,4 曲线拟和与插值,,5 数据分析,,6 微分方程数值解

2、,,,,,,,退出,主菜单,>,<,2024/9/13,2,,1 矩阵分析,,一、特征值分解,,对于方阵,a,特征值问题：,ax=rx，,求取,a,阵的特征值和特征向量使用下面的方法：,,[,v,d]=eig(a),,使用 [,v,d]=eig(a,’nobalance’),,“平衡” 的作用减少计算误差,，,不平衡用于,A,阵大小悬殊的时候。,,广义特征值问题：,ax=rbx，,求解的方式为：,,[,v,d]=eig(a,b),2024/9/13,3,二、三角分解,三角分解把矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵，又称为,LU,分解或者。计算中使用高斯变量消去法。这一分解使用

3、,,[,l,u]=lu(a),实现。,2024/9/13,4,三、奇异值分解,[,u,s,v]=svd(a),,实现奇异值分解。,,分解得到的三个因数有如下关系,,a=u*s*v,,其中,u,矩阵和,v,矩阵是正交矩阵，,s,矩阵是对角矩阵，它的对角元素是,a,矩阵的奇异值。,,奇异值分解的稳定性很好。,2024/9/13,5,2 数据分析函数,,函数名 含义,,max 最大值,,min 最小值,,mean 均值,,std 标准方差,,median 中值,2024/9/13,6,分析函数,,函数名 含义,,sum 元素的总和,,prod 元素的乘积,,cumrod 元素的累积,,cumsum

4、元素的累加和,,diff 差分函数:少了一个元素,,,2024/9/13,7,例题,,求出,y=x*sin(x),在0<,x<100,的每个峰值,,思路：,,1,、数学上峰值就是导数为零的点,,2、导数在,matlab,中可以使用差分代替,,3、差分后怎么求过零点呢？,2024/9/13,8,3 多项式处理,一、多项式表示,多项式在,MATLAB,中使用降幂系数的行向量表示。表示中需要包含零系数的项。poly2str,：control toolbox,中的函数,,使用函数,roots,可找出多项式等于零的根,。,,规定,：,多项式用行向量，根用列向量。,,给出多项式的根，使

5、用,poly,函数也可以构造出相应的多项式,。,2024/9/13,9,二、多项式运算,函数,conv,进行乘法运算，,deconv,进行除法运算。,MATLAB,没有提供特别的多项式加减法运算。,,多项式除法并不一定能够除尽，很多时候需要有余数多项式。,,多项式微分使用,polyder(p),函数，估计值使用,polyval(p,at),函数。,2024/9/13,10,4 曲线拟和与插值,,在分析试验数据中，常常要面临将试验数据作解析描述的任务，这个问题有曲线拟合和插值两种方法。,,在曲线拟合中，假定已知曲线的规律，作曲线的最佳逼近，但不需要经过所有的数据点；在插值中，认为数据是准确的，求

6、取其中描述点之间的数据。,2024/9/13,11,一、曲线拟合,1,、,多项式的最小二乘曲线拟合,,使用,polyfit,，它需要曲线的,x、y,值，以及曲线的阶数。,,曲线的阶数,：,如果曲线的阶数选择的过,小，拟合效果不好；如果曲线的阶数过高，虽然数据点上看到效果好，数据点之间会,出现有数据振荡的问题，阶数不宜过高，小于5阶。,,灵活使用拟合,2024/9/13,12,2,、,直接最小二乘,数据规律并不是多项式形式，直接最小二乘来拟合。,,最小二乘函数为,k=nnls(fx,y),,计算结果将使得|,fx*k-y|2,范数下最小,,在计算中，,fx,可以为,x,的函数。,,例子：拟合,,

7、matlab,2024/9/13,13,二、插值函数,1、曲线插值函数,interp1,,方法,t=interp1(x,y,x0,’method’),,x、y：,原始数据点，,x0,为进行插值的数组，,method,为插值算法,:,线性插值(',linear')，,三次样条插值(',spline'),,三次多项式插值,(‘,cubic’).,,如果,x0,出界，则对应值为,NaN,,,例程：,ex42.m,matlab,2024/9/13,14,2、曲面插值,,插值函数： interp2，基本形式：,,zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method),,method包括,,line

8、ar:线性,,cubic:三次多项式,,nearest：粗略估计数据,,例程：ex43,2024/9/13,15,三、三次样条,,1、使用的原因,,高阶多项式插值出现病态问题，三次样条使用分段多项式，各点上的三次导数相等。它光滑、导数连续。,,2、插值,,yi=spline(x,y,xi);,,pp=spline(x,y); 分段多项式形式,,例程：ex44,2024/9/13,16,三次样条,,pp,形式可以和三次多项式形式转化：,,[,break,coef,np,nc]=unmkpp(pp),,断点、三次多项式、多项式数量、系数数量,,pp=mkpp(break,coef);,,由于转化

9、为了多项式形式，可以方便的进行积分和微分运算。,,2024/9/13,17,四、滤波和平滑,,1、插值和拟合的问题：噪声,,2、滤波: 滞后,filter,,y=filter(b,a,x),,a,b:滤波器的分子分母,x输入,,a(1)*y(n) = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + ... + b(nb+1)*x(n-nb) - a(2)*y(n-1) - ... - a(na+1)*y(n-na),,例程:ex46,2024/9/13,18,3、平滑,,yi=csaps(x,y,P,xi),,yi=csaps(x,y,P),,其中P为平滑因子0~1,,0:

10、 最小二乘 1:平滑近似,,ex46,,ex45,2024/9/13,19,5 数据分析,,1、极小化,,MATLAB,提供了,fmin,和,fmins,两个函数来求极值，它们分别寻找一维和,n,维函数的极值。,它使用的单纯性法搜索。函数计算量大，或搜索区内有多极值，搜索的过程较长，也可能找不到极值。如找不到极值，,将,停止运行并提供解释。,,寻找极大值点，重定义函数为-,f(x),即可。,2024/9/13,20,2、,求零点,函数,fzero,可以寻找一维函数的过零点。,,应用：使用,bode,图判断控制系统稳定性，要看幅频特性过零点和相频特性过180,0,点。,,fzero,函数也

11、可以寻找函数值等于常值点，只要重新定于函数为,f(x)-c,即可,2024/9/13,21,3、,积分,有限区域内积分,函数：,trapz、quad,和,quad8。,,函数,trapz,通过计算梯形面积的和近似函数的积分，函数的分割是人为地。,,quad,使用,Simpson,递归方法，,quad8,使用,Newton-costes,递归方法进行数值积分。为了获得更精确的结果，它们在所需的区间都计算被积函数。,quad8,比,quad,更精确。,2024/9/13,22,4,、,微分,微分描述了函数在一点处的斜率，是函数的微观性质，它对函数的微小变化十分敏感，函数的很小的变化，容易产生相邻点

12、斜率的巨大变化。,,尽量避免使用数值微分，尤其是,试验,数据的微分。如果迫切需要，最好先将试验数据进行最小二乘拟合伙这三次样条拟合，然后对拟合函数进行微分。,2024/9/13,23,5、,FFT,变换,FFT,即快速傅立叶变换，是数据分析的基本方法，是x由基2的快速变换算法来计算。如x长度不是精确的2次幂则后面使用0填充，,ifft(x),是向量,x,的离散傅立叶变换的逆变换。,,在频率轴,上,绘制,FFT,曲线，要明确,FFT,结果与实际频率点的关系。设n个数据点，采样频率为,fs，,则,Nyquist,频率或,n=N/2+1,点与实际频率的关系：,f=(num-1)*fs/n,2024/

13、9/13,24,FFT,,需要注意的是,fft,结果为复数矩阵，为了得到幅频特性，可使用,abs,函数，使用,atan2,得到相角，由于有的系统的相角可能大于180,0,，而相角函数值域在-180,0,~180,0,之间，需要使用,unwrap,函数展开折叠的相角，从而得到相频特性。,2024/9/13,25,6 微分方程数值解,,常微分方程数值解用逐步积分方法实现，,Runge-Kutta,法是应用最多的微分方程数值解的方法。两种,Runge-Kutta,法函数：,,[,t,x]=ode23(‘xfun’,t0,tf,x0,tol,trace),,[t,x]=ode45(‘xfun’, ,t

14、0,tf,x0,tol,trace),,这两种方法格式相同。其中,xfun,为定义的常微分方程函数名，该函数必须以为输出，以,t、x,为输入。,2024/9/13,26,微分方程,,输入变量,t0、tf,为积分的启始和中止时间，单位是秒。,x0,为初始的状态向量。,tol,控制结果的精度，可以缺省。一般来说，,ode45,比,ode23,运算速度快一些。,,Var der Pol,微分方程,,重新定义变量，令,x,1,=x x,2,=dx/dt,,则,dx,1,/dt=x,2,dx,2,/dt=u(1-x,1,2,)x,2,-x,1,2024/9/13,27,应用举例,,一、特性拟合,,title(‘string’) ^上标 _下标,,二、模型辨识的阶数确定,,,三、数值积分：已知加速度求速度，,2024/9/13,28,