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1、,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,*,,*,第五章：矩阵与线性变换,1,,有限维空间的线性变换是简单而常用的数学变换，其实现可以归结为矩阵运算,,y=Ax,,,刚体的运动，物体的线性变形，光线的反射等，都可以归结为线性变换。较复杂的运动，当运动幅度很小时，如物体的小幅振动，也可以利用线性微分方程作近似刻画，其离散解可以归结为一系列线性变换。,2,,对于非线性问题，通常可以利用一系列线性变换来逼近。如非线性方程组,,,,,,,可以利用,Newton,迭代法逐步逼近问题的解,,,,,其中矩阵,,是,F,的,Jacobi,矩阵的逆矩阵。
2、,,3,,刚体的平移、旋转和镜面映射,,刚体的旋转,刚体的旋转可以利用旋转变换实现。例如，围绕,z,轴的旋转的旋转变换矩阵为,如果一个物体同时围绕两个轴转动，（如陀螺的运动），则变换可以由两个矩阵的乘积实现。,4,,例,5.1,：螺线的绕,z,轴旋转。,,考虑,螺线方程,,x=,cost, y=sint, z=at 0t2,,,对给定的节点,0
3、lear,,%forming the parametric curve,,cita=pi/20;,,t=0:pi/10:10*pi;,,x=cos(t);,,y=sin(t);,,z=0.2*t;,,,%rotation operator,,A=[cos(cita) -sin(cita) 0,,sin(cita) cos(cita) 0,,0 0 1];,,6,,%initial figure,,h=line(x,y,z,'EraseMode', 'Xor',... 'LineWidth',8,'Color', [1 0
4、0]);,,view(90,20),,axis off,,axis equal,,xlim([-1.5,1.5]);ylim([-1.5,1.5]);zlim([0,pi]),,,,,% motion figure,,m=length(t);X=[x;y;z]';,,while 1,,X=X*A; set(h,'XData',X(1:m),'YData',...,,X(m+1:2*m),'XData',X(2*m+1:3*m)),,drawnow,,pause(0.1),,end,,7,,注,1,：由于线性变换不能作平移运动，因此，一般刚体的运动不能通过线性变换完成。解决这一问题的做法是引入齐
5、次坐标,,,,,来代换普通坐标,,。齐次坐标的含义是其乘以任意非零常数表示同一坐标。,例如,,,,,8,,利用上述坐标，一般的刚体运动,,,,,,,可以描写为,,,,,,,,9,,注,2,：围绕给定方向单位向量,,,旋转角为,,,的旋转变换矩阵为,,,,,,其中,,,,,,,10,,镜面映射,镜面映射变换为,,,,其中,x,是垂直于镜面的单位向量。,,x,设任意向量,y,分解为平行于,x,的分量,y,1,和垂直于,x,的分量,y,2,，则,,,,,即以垂直于,x,的过原点的平面为映射镜面。,11,,例,5.2,：将上一实验中的旋转螺线沿,x,轴偏移两个单位，然后以,yoz,平面为镜面作镜面映
6、射。,%rotation around z-axis,,clear,,%forming the parametric curve,,cita=pi/20;,,t=[0:pi/10:10*pi]';m=length(t);,,x=cos(t);,,y=sin(t);,,z=0.2*t;,,,,%rotation operator,,A=[cos(cita) -sin(cita) 0,,sin(cita) cos(cita) 0,,0 0 1];,12,,%mirror operator,,d=[1 0 0];,,B=[eye
7、(3)-2*d'*d]';,,,,%initial figure,,h=line(x-2,y,z,'EraseMode', 'Xor',... 'LineWidth',8,'Color', [1 0 0]);,,view(158,26),,axis equal,,xlim([-3,3]),,ylim([-1.5,1.5]),,zlim([0,2*pi]),,,,X1=[x-2,y,z]*B;,,h1=line(X1(1:m),X1(m+1:2*m),X1(2*m+1:end),...,,'EraseMode', 'Xor', 'LineWidth',8,'Color', [0 1 0]);,1
8、3,,% motion figure,,X=[x,y,z];,,while 1,,X=X*A;,,X(:,1)=X(:,1)-2;,,set(h,'XData',X(1:m),'YData',X(m+1:2*m),'ZData',X(2*m+1:3*m)),,X1=X*B;,,set(h1,'XData',X1(1:m),'YData',X1(m+1:2*m),'ZData',X1(2*m+1:3*m)),,pause(0.1) %control the rotation speed,,X(:,1)=X(:,1)+2;,,end,,,,14,,15,,例,5.3,利用镜面映射生成万花
9、筒的几何图案,.,,性质,1,:,以直线,,为镜面的镜面映射为,,,,,,其中向量,P,由,下,式给出,,,,,16,,以,L,1,,为镜面的镜面映射的算法为,,(1),求,,,,,,(2),作映射,,,,,17,,function reflect_test,,[x,y]=mypolygon(7);,,q=0.5*[[x,0];[y,1]];x1=[1,0];y1=[0,1];,,q1=reflect_1(x1,y1,q);,,plot(q(1,:),q(2,:),q1(1,:),q1(2,:)),,end,,,,function q1=reflect_1(x,y,q),,%the progr
10、am returns the figure data which is the,,%reflection of data q by the mirror L. L is a,,%straight line passing (x1,y1) and (x2,y2),,%q is an array of 2 times n which contains n,,%different points.,,P1=((y(2)-y(1))*x(1)-(x(2)-x(1))*y(1))/...,,((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2);,,P=P1*[y(2)-y(1), -(x(2)-x(1))];,,[m,n]=size(q);,18,,PP=repmat(P,1,n);,,PQ=P/norm(P);,,q1=(eye(2)-2*PQ*PQ')*(q-PP)+PP;,,end,,,,function [x,y]=mypolygon(n),,% the program creates a polygon,,cita=linspace(pi/2,2*pi+pi/2,n+1);,,x=cos(cita);,,y=sin(cita);,,if nargout==0,,plot([x,0],[y,1]),,end,,end,19,,20,,
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