MATLAB在高等数学中的应用课件

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,*,电子信息学院,*,第三章,MATLAB在高等数学中的应用,电子信息学院,,9/16/2024,电子信息学院,,3.1矩阵分析3.1.1 对角阵与三角阵1．对角阵只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵。,9/16/2024,电子信息学院,(1) 提取矩阵的对角线元素设A为m×n矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。diag(A)函数还有一种形

2、式diag(A,k)，其功能是提取第k条对角线的元素。(2) 构造对角矩阵设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个m×m对角矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素。diag(V)函数也有另一种形式diag(V,k)，其功能是产生一个n×n(n=m+)对角阵，其第k条对角线的元素即为向量V的元素。,9/16/2024,电子信息学院,例 先建立5×5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;...11,18,25,2,19];,D=diag(1:5

3、);D*A %用D左乘A，对A的每行乘以一个指定常数,9/16/2024,电子信息学院,2．三角阵三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。,9/16/2024,电子信息学院,上三角矩阵求矩阵,A,的上三角阵的,MATLAB,函数是,triu(A,),。,triu(A,),函数也有另一种形式,triu(A,k,),，其功能是求矩阵,A,的第,k,条对角线以上的元素。例如，提取矩阵,A,的第,2,条对角线以上的元素，形成新的矩阵,B,。,,下三角矩阵在,MAT

4、LAB,中，提取矩阵,A,的下三角矩阵的函数是,tril(A,),和,tril(A,k,),，其用法与提取上三角矩阵的函数,triu(A,),和,triu(A,k,),完全相同。,9/16/2024,电子信息学院,,3.1.2 矩阵的转置与旋转1．矩阵的转置转置运算符是单撇号(‘)。2．矩阵的旋转利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90º的k倍，当k为1时可省略。,9/16/2024,电子信息学院,3．矩阵的左右翻转对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，…，依次类推。MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A)。4．矩阵的上

5、下翻转MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。,9/16/2024,电子信息学院,3.1.3 矩阵的逆与伪逆1．矩阵的逆对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得：A·B=B·A=I (I为单位矩阵)则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆矩阵可调用函数inv(A)。例 用求逆矩阵的方法解线性方程组。Ax=b其解为：x=A,-1,b,9/16/2024,电子信息学院,2．矩阵的伪逆如果矩阵A不是一个方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个

6、与A的转置矩阵A‘同型的矩阵B，使得：A·B·A=AB·A·B=B此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。,9/16/2024,电子信息学院,3.1.4 方阵的行列式把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。在MATLAB中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。,9/16/2024,电子信息学院,3.1.5 线性方程组求解,,3.1.5.1 直接解法,,1．利用左除运算符的直接解法,,对于线性方程组,Ax,=,b,，可以利用左除运算符“,\,”求解：,,x=A,\,b

7、,,例 用直接解法求解下列线性方程组。,,命令如下：,,A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];,,b=[13,-9,6,0]';,,x=A\b,9/16/2024,电子信息学院,3.1.5.2利用矩阵的分解求解线性方程组,,矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇异分解等。,9/16/2024,电子信息学院,(1) LU分解,,矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中

8、已经证明，只要方阵A是非奇异的，LU分解总是可以进行的。,,MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格式为：,,[L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，使之满足X=LU。注意，这里的矩阵X必须是方阵。,,[L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须是方阵。,,实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度。,9/16/2024,电子信息学院,例用LU分解求解p79例3-5线性方程组。,,A=[6,3,4;-

9、2,5,7;8,-4,-3];,,b=[3,-4,-7]';,,[L,U]=lu(A);,,x=U\(L\b),,或采用LU分解的第2种格式，命令如下：,,[L,U ,P]=lu(A);,,x=U\(L\P*b),9/16/2024,电子信息学院,(2) QR分解,,对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格式为：,,[Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使之满足X=QR。,,[Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵R以及一

10、个置换矩阵E，使之满足XE=QR。,,实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。,9/16/2024,电子信息学院,例 用QR分解求解线性方程组。,,命令如下：,,A=[6,3,4;-2,5,7;8,-4,-3];,,b=[3,-4,-7]';,,[Q,R]=qr(A);,,x=R\(Q\b),,或采用QR分解的第2种格式，命令如下：,,[Q,R,E]=qr(A);,,x=E*(R\(Q\b)),9/16/2024,电子信息学院,3.1.5.3迭代解法,,迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、Ga

11、uss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和两步迭代法。,,1．Jacobi迭代法,,对于线性方程组Ax=b，如果A为非奇异方阵，则可将A分解为A=D-L-U，其中D为对角阵，其元素为A的对角元素，L与U为A的下三角阵和上三角阵，于是Ax=b化为：,,x=D,-1,(L+U)x+D,-1,b,,与之对应的迭代公式为：,,x(k+1)=D,-1,(L+U)x(k)+D,-1,b,,这就是Jacobi迭代公式。如果序列{x(k+1)}收敛于x，则x必是方程Ax=b的解。,9/16/2024,电子信息学院,Jacobi迭代法的MATLAB函数文件Jacobi.m如下：,,function [y,n]=

12、jacobi(A,b,x0,eps),,if nargin==3,,eps=1.0e-6;,,elseif nargin<3,,error,,return,,end,,D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵,,L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵,,U=-triu(A,1); %求A的上三角阵,,B=D\(L+U);,,f=D\b;,,y=B*x0+f;,,n=1; %迭代次数,,while norm(y-x0)>=eps,,x0=y;,,y=B*x0+f;,,n=n+1;,,end,9/16/2024,电子

13、信息学院,例 用Jacobi迭代法求解线性方程组。设迭代初值为0，迭代精度为10,-6,。,,在命令中调用函数文件Jacobi.m，命令如下：,,A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10];,,b=[9,7,6]';,,[x,n]=jacobi(A,b,[0,0,0]',1.0e-6),,(设x1,x2,x3为0,n为迭代的次数),9/16/2024,电子信息学院,2．Gauss-Serdel迭代法,,将在Jacobi迭代过程中,原来的迭代公式Dx,(k+1),=(L+U)x,(k),+b改进为,,Dx,(k+1),=Lx,(k+1,)+Ux,(k),+b，于是得到：,,x,(k

14、+1),=(D-L),-1,Ux,(k),+(D-L),-1,b,,该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替旧分量，精度会高些。,9/16/2024,电子信息学院,Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函数文件gauseidel.m如下：,,function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps),,if nargin==3,,eps=1.0e-6;,,elseif nargin<3,,error,,return,,end,,D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵,,L=-tril(A,-

15、1); %求A的下三角阵,,U=-triu(A,1); %求A的上三角阵,,G=(D-L)\U;,,f=(D-L)\b;,,y=G*x0+f;,,n=1; %迭代次数,,while norm(y-x0)>=eps,,x0=y;,,y=G*x0+f;,,n=n+1;,,end,9/16/2024,电子信息学院,例 用Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为0，迭代精度为10,-6,。,,在命令中调用函数文件gauseidel.m，命令如下：,,A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10];,,b=[9,7,

16、6]';,,[x,n]=gauseidel(A,b,[0,0,0]',1.0e-6),9/16/2024,电子信息学院,例 分别用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组，看是否收敛。,,命令如下：,,a=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1];,,b=[9;7;6];,,[x,n]=jacobi(a,b,[0;0;0]),,[x,n]=gauseidel(a,b,[0;0;0]),9/16/2024,电子信息学院,3.1.6 矩阵的秩与迹1．矩阵的秩矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在MATLAB中，求矩阵秩的函数是rank(A)。2．矩阵的迹矩阵的

17、迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。在MATLAB中，求矩阵的迹的函数是trace(A)。,9/16/2024,电子信息学院,3.1.7 向量和矩阵的范数矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。,9/16/2024,电子信息学院,1．向量的3种常用范数及其计算函数在MATLAB中，求向量范数的函数为：(1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。(2) norm(V,1)：计算向量V的1—范数。(3) norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。,,2．矩阵的范数及其计算函数MAT

18、LAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。,9/16/2024,电子信息学院,3.1.8 矩阵的条件数在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：(1) cond(A,1) 计算A的1—范数下的条件数。(2) cond(A)或cond(A,2) 计算A的2—范数数下的条件数。(3) cond(A,inf) 计算A的 ∞—范数下的条件数。,9/16/2024,电子信息学院,3.1.9 矩阵的特征值与特征向量在MATLAB中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有2种：(1) E=eig(A)：求矩阵

19、A的全部特征值，构成向量E。(2) [V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。,9/16/2024,电子信息学院,例 用求特征值的方法解方程。3x,5,-7x,4,+5x,2,+2x-18=0p=[3,-7,0,5,2,-18];A=compan(p); %A的伴随矩阵x1=eig(A) %求A的特征值x2=roots(p) %直接求多项式p的零点,,,作业:p120第8、14题,9/16/2024,电子信息学院,3.2 多项式计算,,3.2.1 多项式的四则运算,,1

20、．多项式的加减运算（详见课本p87）,,作业:编写子函数可对任意二个多项式进行加减操作.(自动补零),,2．多项式乘法运算,,函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。这里，P1、P2是两个多项式系数向量。,,作业：求多项式x,4,+8x,3,-10与多项式2x,2,-x+3的乘积。提高:对多项式进行四则运算,输入表达式而不是向量,能输出运算结果.,9/16/2024,电子信息学院,3．多项式除法,,函数[Q,r]=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2作除法运算。其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。,,deco

21、nv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。,,作业： 求多项式x,4,+8x,3,-10除以多项式2x,2,-x+3的结果。,9/16/2024,电子信息学院,3.2.2 多项式的导函数,,对多项式求导数的函数是：,,p=polyder(P)：求多项式P的导函数,,p=polyder(P,Q)：求P·Q的导函数,,[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。,,上述函数中，参数P,Q是多项式的向量表示，结果p,q也是多项式的向量表示。,9/16/2024,电子信息学院,例 求有理分式的导数。,,命令如下：,,P=[1];,,Q

22、=[1,0,5];,,[p,q]=polyder(P,Q),9/16/2024,电子信息学院,3.2.3 多项式的求值,,MATLAB提供了两种求多项式值的函数：polyval与polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量P和自变量x。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。,9/16/2024,电子信息学院,1．代数多项式求值,,polyval函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：,,Y=polyval(P,x),,若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。,,作业：已知多项式x4+8x3-10，分别取x=1

23、.2和一个2×3矩阵为自变量计算该多项式的值。,9/16/2024,电子信息学院,2．矩阵多项式求值,,polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。设A为方阵，P代表多项式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含义是：,,A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A)),,而polyval(P,A)的含义是：,,A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A)),,作业： 仍以多项式x4+8x3-10为例，取一个2×2矩阵为自变量分别用polyval和polyva

24、lm计算该多项式的值。,9/16/2024,电子信息学院,3.2.4 多项式求根,,n次多项式具有n个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。MATLAB提供的roots函数用于求多项式的全部根，其调用格式为：,,x=roots(P),,其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x，即x(1),x(2),…,x(n)分别代表多项式的n个根。,9/16/2024,电子信息学院,例 求多项式x,4,+8x,3,-10的根。,,命令如下：,,A=[1,8,0,0,-10];,,x=roots(A),,若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为：,,P=poly

25、(x),,若x为具有n个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。,9/16/2024,电子信息学院,例 已知 f(x),,(1) 计算f(x)=0 的全部根。,,(2) 由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。,,命令如下：,,P=[3,0,4,-5,-7.2,5];,,X=roots(P) %求方程f(x)=0的根,,G=poly(X) %求多项式g(x),,,作业:p120第4、5题,,9/16/2024,电子信息学院,,,9/16/2024,电子信息学院,3.2.5 数据

26、插值,,3.2.5.1 一维数据插值,,在MATLAB中，实现这些插值的函数是interp1，其调用格式为：,,Y1=interp1(X,Y,X1,'method'),,函数根据X,Y的值，计算函数在X1处的值。X,Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。method是插值方法，允许的取值有‘linear’、‘nearest’、‘cubic’、‘spline’。,9/16/2024,电子信息学院,注意：X1的取值范围不能超出X的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。,,例用不同的插值方法计算在π/2点的值。,,MA

27、TLAB中有一个专门的3次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,‘spline’)完全相同。,9/16/2024,电子信息学院,例某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时的室内外温度(℃)，用3次样条插值分别求得该日室内外6:30至17:30时之间每隔2小时各点的近似温度(℃)。,,设时间变量h为一行向量，温度变量t为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下：,,h =6:2:18;,,t=[18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30]';,,XI

28、 =6.5:2:17.5,,YI=interp1(h,t,XI,‘spline’) %用3次样条插值计算,9/16/2024,电子信息学院,3.2.5.2 二维数据插值,,在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数interp2，其调用格式为：,,Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method'),,其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。 method的取值与一维插值函数相同。X,Y,Z也可以是矩阵形式。,,同样，X1,Y1的取值范围

29、不能超出X,Y的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。,9/16/2024,电子信息学院,例设z=x2+y2，对z函数在[0,1]×[0,2]区域内进行插值。,,例某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。用x表示测量点0:2.5:10(米)，用h表示测量时间0:30:60(秒)，用T表示测试所得各点的温度(℃)。试用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1米处的温度TI。,,命令如下：,,x=0:2.5:10;,,h=[0:30:60]';,,T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];,,xi=[0:10];,,hi=[0:20:6

30、0]';,,TI=interp2(x,h,T,xi,hi),9/16/2024,电子信息学院,3.2.5.3 曲线拟合,,在MATLAB中，用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。,,polyfit函数的调用格式为：,,[P,S]=polyfit(X,Y,m),,函数根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。其中X,Y是两个等长的向量，P是一个长度为m+1的向量，P的元素为多项式系数。,,polyval函数的功能是按多项式的系数计算x点多项式的值，将在6.5.3节中详细介绍。,9/

31、16/2024,电子信息学院,例已知数据表[t,y]，试求2次拟合多项式p(t)，然后求ti=1,1.5,2,2.5,…,9.5,10各点的函数近似值。,9/16/2024,电子信息学院,3.3 数据统计处理,,3.3.1 最大值和最小值,,MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max和min，两个函数的调用格式和操作过程类似。,,1．求向量的最大值和最小值,,求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式，分别是：,,(1) y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。,9/16/2024,电子信息学院,(2) [y,I]=max(X)：返

32、回向量X的最大值存入y，最大值的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。,,求向量X的最小值的函数是min(X)，用法和max(X)完全相同。,,例6-1 求向量x的最大值。,,命令如下：,,x=[-43,72,9,16,23,47];,,y=max(x) %求向量x中的最大值,,[y,l]=max(x) %求向量x中的最大值及其该元素的位置,9/16/2024,电子信息学院,2．求矩阵的最大值和最小值,,求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式，分别是：,,(1) max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。,,

33、(2) [Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。,9/16/2024,电子信息学院,(3) max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取1时，该函数和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。,,求最小值的函数是min，其用法和max完全相同。,,例6-2 分别求3×4矩阵x中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。,9/16/2024,电子信息学院,3．两个向量或矩阵对应元素的比较,,函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：,

34、,(1) U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。,,(2) U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。,,min函数的用法和max完全相同。,,例6-3 求两个2×3矩阵x, y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。,9/16/2024,电子信息学院,3.3.2 求和与求积,,数据序列求和与求积的函数是sum和prod，其使用方法类似。设X是一个向量，A是一个矩阵，函数的调用格式为：,,sum(X)：返回向量X各元素的和。,,prod(

35、X)：返回向量X各元素的乘积。,,sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和。,9/16/2024,电子信息学院,prod(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积。,,sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。,,prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。,,例6-4 求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。,9/16/2024,电子信息学院,3.3.3 平均值和中值

36、,,求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值的函数是median。两个函数的调用格式为：,,mean(X)：返回向量X的算术平均值。,,median(X)：返回向量X的中值。,,mean(A)：,,返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术平均值。,,median(A)：,,返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的中值。,,mean(A,dim)：,,当dim为1时，该函数等同于mean(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的算术平均值。,,median(A,dim)：,,当dim为1时，该函数等同于median(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其

37、第i个元素是A的第i行的中值。,,例6-5 分别求向量x与y的平均值和中值。,9/16/2024,电子信息学院,3.3.4 累加和与累乘积,,在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：,,cumsum(X)：返回向量X累加和向量。,,cumprod(X)：返回向量X累乘积向量。,,cumsum(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量。,,cumprod(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积向量。,,cumsum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumsum(A)；当dim为2时

38、，返回一个矩阵，其第i行是A的第i行的累加和向量。,,cumprod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumprod(A)；当dim为2时，返回一个向量，其第i行是A的第i行的累乘积向量。,,例6-6 求s的值。,9/16/2024,电子信息学院,3.3.5 标准方差与相关系数,,1．求标准方差,,在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。对于向量X，std(X)返回一个标准方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。std函数的一般调用格式为：,,Y=std(A,flag,dim),,其中dim取1或2。当dim=

39、1时，求各列元素的标准方差；当dim=2时，则求各行元素的标准方差。flag取0或1，当flag=0时，按σ1所列公式计算标准方差，当flag=1时，按σ2所列公式计算标准方差。缺省flag=0，dim=1。,,例6-7 对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。,9/16/2024,电子信息学院,2．相关系数,,MATLAB提供了corrcoef函数，可以求出数据的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格式为：,,corrcoef(X)：返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。,,corrcoef(X,Y)

40、：在这里，X,Y是向量，它们与corrcoef([X,Y])的作用一样。,9/16/2024,电子信息学院,例6-8 生成满足正态分布的10000×5随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关系数矩阵。,,命令如下：,,X=randn(10000,5);,,M=mean(X),,D=std(X),,R=corrcoef(X),9/16/2024,电子信息学院,3.3.6 排序,,MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X)，函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。,,sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其调用格式为：,,[Y,I]=sort(A,

41、dim),,其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2，则按行排。Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。,,例6-9 对二维矩阵做各种排序。,9/16/2024,电子信息学院,3.4 函数分析与数值积分,,3.4.1 函数在MATLAB中的表示与函数的绘,,1.函数表示与计算,,a.函数文件,,p105页的humps.m表示,,b.Inline内联函数实现,,2.函数的绘制,,a.单变量函数绘制图形命令,,fplot函数的调用格式为：,,fplot(fname,lims,tol,选项),,其中fname为函数名，以字符串形式出现，lims为x,y的取

42、值范围，tol为相对允许误差，其系统默认值为2e-3。选项定义与plot函数相同。,,例5-9 用fplot函数绘制f(x)=cos(tan(πx))的曲线。,,命令如下：,,fplot('cos(tan(pi*x))',[ 0,1],1e-4),,9/16/2024,电子信息学院,b.简易的函数绘图命令ezplot,,MATLAB提供了一个ezplot函数绘制函数图形，下面介绍其用法。,,(1) 对于函数f = f(x)，ezplot函数的调用格式为：,,ezplot(f)：在默认区间-2π

43、= f(x)的图形。,9/16/2024,电子信息学院,(2) 对于函数f = f(x,y)，ezplot函数的调用格式为：,,ezplot(f)：在默认区间-2π

44、,,ezplot(x,y)：在默认区间0

45、名，x1和x2限定自变量的取值范围。fmins函数用于求多变量函数的最小值点，x0是求解的初始值向量。,9/16/2024,电子信息学院,MATLAB没有专门提供求函数最大值的函数，但只要注意到-f(x)在区间(a,b)上的最小值就是f(x)在(a,b)的最大值，所以fmin(f,x1,x2)返回函数f(x)在区间(x1,x2)上的最大值。,,例 求f(x)=x,3,-2x-5在[0,5]内的最小值点。,,(1) 建立函数文件mymin.m。,,function fx=mymin(x),,fx=x.^3-2*x-5;,,(2) 调用fmin函数求最小值点。,,x=fmin('mymin',0

46、,5),,x=,,0.8165,,9/16/2024,电子信息学院,3.4.2数值积分与微分,,3.4.2.1 数值积分基本原理,,求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[x,i,,x,i+1,]，i=1,2,…,n，其中x,1,=a，x,n+1,=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。,9/16/2024,电子信息学院,3.4.2.2 数值积分的实现方法,,1．变步长辛普生法,,基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定

47、积分。该函数的调用格式为：,,[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace),,其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。,9/16/2024,电子信息学院,例求定积分。,,(1) 建立被积函数文件fesin.m。,,function f=fesin(x),,f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);,,(2) 调用数值积分函数quad求定积分。,,[S,

48、n]=quad('fesin',0,3*pi),,S =,,0.9008,,n =,,77,9/16/2024,电子信息学院,2．牛顿－柯特斯法,,基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为：,,[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace),,其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。,9/16/2024,电子信息学院,例求定积分。,,(1) 被积函数文件fx.m。,,function

49、 f=fx(x),,f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));,,(2) 调用函数quad8求定积分。,,I=quad8('fx',0,pi),,I =,,2.4674,9/16/2024,电子信息学院,例分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。,,调用函数quad求定积分：,,format long;,,fx=inline('exp(-x)');,,[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10),,I =,,0.28579444254766,,n =,,65,9/16/2024,电子信息学院,调用函数quad8

50、求定积分：,,format long;,,fx=inline('exp(-x)');,,[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10),,I =,,0.28579444254754,,n =,,33,9/16/2024,电子信息学院,3．被积函数由一个表格定义,,在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。,,例 用trapz函数计算定积分。,,命令如下：,,X=1:0.01:2.5;,,Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量,,trapz(X,Y),,ans =,,0.2857968

51、2416393,9/16/2024,电子信息学院,3.4.2,二重定积分的数值求解,,3.4.2,使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：,,I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace),,该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。,9/16/2024,电子信息学院,例计算二重定积分,,(1) 建立一个函数文件fxy.m：,,function f=fxy(x,y),,global ki;,,ki=ki+1; %ki用于统计

52、被积函数的调用次数,,f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);,,(2) 调用dblquad函数求解。,,global ki;ki=0;,,I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1),,ki,,I =,,1.57449318974494,,ki =,,1038,9/16/2024,电子信息学院,3.4.3.2数值微分,,1 数值差分与差商,,2 数值微分的实现,,在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为：,,DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。,,

53、DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。,,DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。,9/16/2024,电子信息学院,例 生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩阵，按列进行差分运算。,,命令如下：,,V=vander(1:6),,DV=diff(V) %计算V的一阶差分,9/16/2024,电子信息学院,例 用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f'(x)的图像。,,程序如下：,,f

54、=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2');,,g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5');,,x=-3:0.01:3;,,p=polyfit(x,f(x),5); %用5次多项式p拟合f(x),,dp=polyder(p); %对拟合多项式p求导数dp,,dpx=polyval(dp,x); %求dp在假设点的函数值,,dx=diff(f([x,3.01]))

55、/0.01; %直接对f(x)求数值导数,,gx=g(x); %求函数f的导函数g在假设点的导数,,plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-'); %作图,9/16/2024,电子信息学院,3.4.3 常微分方程初值问题的数值解法,,3.4.3.1 龙格－库塔法简介,,3.4.3.2 龙格－库塔法的实现,,基于龙格－库塔法，MATLAB提供了求常微分方程数值解的函数，一般调用格式为：,,[t,y]=ode23('fname',tspan,y0),,[t,y]=ode45('fname',tspan,y0),,其中fname

56、是定义f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。tspan形式为[t0,tf],表示求解区间。y0是初始状态列向量。t和y分别给出时间向量和相应的状态向量。,9/16/2024,电子信息学院,例设有初值问题，试求其数值解，并与精确解相比较(精确解为y(t)=)。,,(1) 建立函数文件funt.m。,,function yp=funt(t,y),,yp=(y^2-t-2)/4/(t+1);,,(2) 求解微分方程。,,t0=0;tf=10;,,y0=2;,,[t,y]=ode23('funt',[t0,tf],y0); %求数值解,,y1=sqrt(t+1)+1; %求精确解,,t',,y',,y1',,y为数值解，y1为精确值，显然两者近似。,9/16/2024,电子信息学院,例 求解著名的Van der Pol方程。,,,例有Lorenz模型的状态方程，试绘制系统相平面图。,9/16/2024,电子信息学院,