弯曲变形-积分法

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1、第六章,弯曲变形,§6-1 工程中的弯曲问题 挠度和转角,一、度量弯曲变形的物理量,A,B,C,C`,B`,y,P,y,x,1、,挠曲线,：,梁变形后的轴线,2、挠度：,轴线上各点在垂直于变形前轴线方向的线位移,挠曲线方程,θ,3、转角：,各横截面绕着各自的中性轴转动的角度,转角方程,4、挠度和转角的关系：,因为是小变形,挠曲线在某处的一阶导数就等于梁对应截面的转角,5、挠度和转角的符号：,以梁的左端点为原点；,X,轴水平向右为正；,Y,轴竖直向上为正；,坐标系的选取：,挠度：向上为正；向下为负,转角：从变形前到变形后，,,逆时针转动为正；顺时针转动为负,二、梁挠曲线的近似微分方程,（

2、纯弯曲）,（,横力弯曲,）,中性层的曲率半径,若挠曲线作为一条平面曲线已确定，其曲率半径为：,由于轴线就在中性层上，,,所以挠曲线的曲率半径和挠曲线的曲率半径相等,M,M,M > 0,,y’’ > 0,y,x,M < 0,,y’’ < 0,M,M,y,x,挠曲线的近似微分方程,可知,：,M,与 符号相同,积分一次得：,再次积分得：,其中：,C, D,为积分常数，由梁的边界条件和连续条件确定；,§6-3 用积分法求弯曲变形,转角方程,挠曲线方程,若梁的,EI,在整个长度范围内为常量，可以将其提到积分号以外；,积分定解条件,1、边界条件,边界条件是指约束对于挠度和转角的限制：,1）,在

3、固定铰支座和辊轴支座处，,约束条件为挠度等于零：,y=0；,2）,在固定端处，,约束条件为挠度和转角都等于零：,y=0，,θ,＝0；,3）若结构对称,，载荷对称，则变形对称，,于是对称截面的挠度=0；,4）若结构对称,，载荷反对称，则变形反对称，,于是对称截面的转角=0；,例1：悬臂梁,z,y,,y,x,x,边界条件,R,A,R,B,l,a,b,P,A,C,B,例2：简支梁,边界条件,例3：具有弹簧约束的简支,,梁，设弹簧刚度为,k,边界条件,R,A,R,B,l,a,b,P,A,C,B,2、连续条件：,挠曲线是一条光滑连续的曲线；,挠曲线上的任一点，具有唯一确定的挠度和转角；,弯曲刚度条件：,

4、例：,计算图示悬臂梁的最大转角和挠度。梁的抗弯刚度为,EI,z,。,解：,1)梁的弯矩方程,z,y,,y,x,x,2)梁的近似挠曲线微分方程,3)积分计算位移,一次积分：,再次积分：,4)由边界条件确定积分常数：,由：,由：,4）计算最大转角和挠度,q,l,R,A,R,B,例：,计算图示简支梁的最大转角和挠度。梁的抗弯刚度为,EI,z,。,解,：（1）支反力,2)梁的弯矩方程,3)梁的近似挠曲线微分方程,4)积分计算位移,一次积分：,再次积分：,5)由边界条件确定积分常数：,边界条件（,a）,边界条件（,b）,6）计算最大转角和挠度,由于变形对称：,根据挠度和转角的关系：,在转角等于0处，挠度

5、取极值；,解：,R,A,R,B,l,a,P,b,例：,计算图示简支梁的最大转角和挠度。梁的抗弯刚度为,EI,z,。,（1）支反力,2)列梁的弯矩方程,3)梁的近似挠曲线微分方程,AC段,CB段,4)由积分定解条件确定积分常数：,边界条件:,连续条件:,P,a,b,A,B,C,a>b,时，极值点在,AC,段：,a=b,时，极值点在,C,点,注意：可以证明，当载荷,P,向某一支座靠近时，梁内最大挠度的位置趋近于,L/√3,=,0.577L,，,很接近,梁中点位置。,因此，工程中可近似用,梁中点位置的挠度代替最大挠度。,5）计算最大转角和挠度,最大转角,应发生在两端截面；,最大挠度,应发生在转角等于

6、0的截面；,例：具有中间铰链约束的悬臂—简支梁,边界条件,q,a,b,A,C,B,连续条件,分析：需要分成两部分，因此有4个待定的积分常数,l,计算图示悬臂梁自由端截面的挠度和转角。,解：1)梁的弯矩方程,AC,段：,CB,段：,2)梁的近似挠曲线微分方程,AC段,CB段,3)由积分定解条件确定积分常数：,边界条件:,连续条件:,4)计算自由端的挠度转角：,l,解：1)梁的弯矩方程,AC,段：,2)梁的近似挠曲线微分方程,3)由边界条件确定积分常数：,5)计算,C,截面挠度转角：,4）,AC,段：,6)计算自由端的挠度转角：,用这种方法求变形时，先求大小，再判断符号；,积分法求解变形的优点：,

7、对于整个梁，我们可以求解处完整的转角方程和挠曲线方程，利用这两个方程可以求解任一截面的转角和挠度；,积分法求解变形的缺点：,如果梁上的载荷或支座比较复杂，列弯矩方程时就要分若干段，每一段积分出现2个积分常数，则积分常数的确定就是一件非常繁琐的工作；,§7-4 用叠加法求弯曲变形,P,2,A,,B,,P,1,A,,B,,P,1,P,2,A,,B,,=,+,在,小变形,和,材料满足胡克定律,的前提下,挠曲线的近似微分方程是,线性方程,微分方程的解可以,叠加,梁在几种载荷共同作用下引起的总变形就等于,,梁在每种载荷分别单独作用下引起的变形的代数和；,在计算每种载荷单独作用引起的变形时，可以查书,P

8、200,页的表格,解：,例1 求梁的挠度和转角，,y,c,,,,A,。,,a,a,P =,q a,A,B,q,C,,a,a,A,B,,q,C,,,a,a,A,B,,C,,P,=,+,在查书,P200,的表格时，一定要保证题中梁的种类与载荷的种类与表中的对应情况一致，,,而且还要注意必要的符号判断；,作业,：,,6-2（,a）（c）（d）,,6-4,,6-6,在分段的交界处，由于连续性，两段方程在,一截面的挠度和转角相等,。,R,A,R,B,l,a,b,P,A,C,B,连续条件,例4：简支梁,例,7-1 求下列各梁的挠曲线方程及最大挠度和转角,解：,弯矩方程,边界条件,：,,q,l,EI,z,x,小结：,y,x,P,A,B,y,挠曲线，,y= y(x),拉压变形：,,l,扭转变形：,,弯曲变形,截面形心的竖向位移,y,挠度,转角,截面绕中性轴转过的角度,,y,,(,x,),,挠曲线方程,,(,x,),,转角方程,弯曲变形：,1、梁变形的特征,公式应用的条件:,1)材料服从虎克定律；,,2)小变形，忽略剪力对挠度的影响；,小结：,,2、挠曲线近似微分方程,