弯曲内力-M,Q方程(梁的支座和载荷的简化)

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1、第四章,弯曲内力,4-1,弯曲的概念,受力特点：,变形特点：,,把以弯曲为主要变形的杆称为梁。,作用在杆件上的外力一定垂直于杆件的轴线,杆件的轴线由原来的直线变为曲线,作用在杆件上的力偶一定作用在通过轴线的平面内,平面弯曲,垂直于轴线的外载荷都作用在纵向对称平面内，,P,P,P,,梁的横截面具有对称轴：,横截面的对称轴和梁的轴线形成面：,纵向对称平面,圆形截面梁；,矩形截面梁,梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条平面曲线；,载荷作用在同一平面，并使梁的轴线在该平面内弯曲时称为平面弯曲。,悬臂梁,外伸梁,简支梁,集中力,集中力偶,分布力,二、梁的分类:,三、载荷的简化:,梁的支座和载荷的简化,一、

2、支座的简化:,固定铰支座；,活动铰支座；,固定端支座；,静定梁,4-2 剪力和弯矩,取左侧位研究对象,：,1.用截面法求内力：,I,,I,,,,o,I,,I,,取,右侧位研究对象,：,,o,,,o,梁发生弯曲变形时，任一横截面上同时有两种内力：,1、与截面相切：,剪力,2、内力偶：,弯矩,内力符号规定：,剪力符号:,-Q,+,Q,弯矩符号:,+,M,-M,I,,I,,解、1）求约束反力：,2）取左侧：,o,o,3）取右侧：,剪力,弯矩,数值：截面左侧或右侧所有横向外力的代数和；,符号：左上右下，剪力为正,数值：截面左侧或右侧所有横向外力对该截面形心取矩的代数和,符号：左顺右逆，弯矩为正,

3、梁内力的简便求法：,求1-1，2-2截面上的内力,解：,（1）求支反力,R,A,、R,B,R,B,4–2 2 3 –81,=0,R,A,4–83–2 2 1,=0,R,B,=5kN,R,A,=7kN,（2）求1-1截面内力,,Q,1,=,R,A,–8,M,1,=,R,A,1.5–80.5,Q,1,=,–,1kN,M,1,=6.5kN.m,（3）求2-2截面内力,4-3 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图,从数学的角度描述了剪力和弯矩沿着梁轴线的变化规律,弯矩方程,剪力方程,为了能直观地看到剪力和弯矩地变化规律,剪力图,弯矩图,解：（1）支反力,Q(x),M(x),x,n

4、,Q(x’),M(x’),n’,Q(x),M(x),,P,Q,M,(2)列,Q、M,方程,(3)作,Q、M,图,R,A,R,B,P,例4-1:,,在集中力作用截面上,剪力图有突变,突变值就等于集中力的大小;弯矩图有一折角,解：1)支反力,,Q(x),M(x),x,n,Q,,M,,Q(x’),M(x'),n',（2）列,Q、M,方程,3)作,Q、M,图,R,A,R,B,m,结构对称，载荷对称，,Q,图反对称，,M,图对称。,例4-2:,,在集中力偶作用截面上,弯矩图有突变,突变值就等于集中力偶的大小;,规律：,结构对称，载荷反对称，,Q,图对称，,M,图反对称。,例4-3 求梁的剪力弯矩方程并作

5、,Q、M,图。,解：(1)列,Q、M,方程,Q(x),M(x),x,n,q,l,(2)作,Q、M,图,Q,M,解：（1）支反力,Q(x),M(x),x,n,q,l,R,A,R,B,（2）列,Q、M,方程,（3）作,Q、M,图,Q,M,规律：结构、载荷均对称，,,Q,图反对称，,M,图对称。,例4-4:,,叠加法作弯矩图、剪力图,M,B,Y,B,l,P,B,A,q,x,反力：,内力：,两种荷载单独作用效应之和,,叠加原理：,,,若干荷载单独作用效应之和与它们共同作用的效应相同,（前提：小变形）,。,例：,用叠加法作,M,图,M,P,M,图,q,l/2,l/2,l/2,D,C,B,A,M,q,R,,P,N,M,Q,例5-5 求曲杆的内力方程,轴力:,背离截面为正; 指向截面为负;,剪力:,对研究对象任一点取矩,顺时针转向为正,反之为负;,弯矩:,使曲杆曲率增大的弯矩为正;反之 为负;,P,A,一般情况下曲杆发生弯曲变形时,任一横截面上将有三个内力:,轴力;剪力;弯矩,习题,《,材料力学》,4-1-(,a),(f)，4-2-(c),(e),(i),