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1、,,,,,,,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,,,*,数学软件实习,向量与矩阵运算,1,向量与矩阵的生成,向量与矩阵运算,,向量的生成,,直接输入:,a=[1,2,3,4],,冒号,运,算符,a=[1:4],,==>,a=[1, 2, 3, 4],b=[0:pi/3:pi],,==>,,b=[0, 1.0472, 2.0944, 3.1416],c=[6:-2:0],,==>,,c = [6, 4, 2, 0],例,：,,从矩阵中抽取行或列,2,,向量与矩阵的生成（续）,向量与矩阵运算,,矩阵的生成,,直接输入:,A,=[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8,
2、9],,由向量生成,,由函数生成,,通过编写,m,文件生成,例,：,>>,,x=[1,2,3];y=[2,3,4];,>>,,A=[x,y], B=[x;y],例,：,>>,,C=magic(3),3,,常见矩阵生成函数,zeros(m,n),生成一个,m,,行,n,,列的零矩阵，,m=n,,时可简写为,zeros(,n,),ones(m,n),生成一个,m,行,n,列的元素全为 1 的矩阵,,m,=,n,,时可写为,ones(,n,),eye(m,n),生成一个主对角线全为 1 的,m,,行,n,,列矩阵,,m=n,,时可简写为,eye(,n,)，,即为,n,,维单位矩阵,diag(X),若
3、,X,是矩阵，则,diag(X),为,X,的主对角线向量,,若,X,是向量，,diag(X),产生以,X,为主对角线的对角矩阵,tril(A),提取一个矩阵的下三角部分,triu(A),提取一个矩阵的上三角部分,rand(m,n),产生 0～1 间均匀分布的随机矩阵,m,=,n,,时简写为,rand(,n,),randn(m,n),产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵,m,=,n,,时简写为,randn(,n,),4,,矩阵操作,提取矩阵的部分元素： 冒号运算符,,A(:),A,的所有元素,,A(:,:),,二维矩阵,A,的所有元素,,A(:,k),A,的第,k,列，,A(k,:),A
4、,的第,k,行,,A(k:m),A,的第,k,到第,m,个元素,,A(:,k:m),A,的第,k,到第,m,列组成的子矩阵,A(:),与,A(:,:),的区别,?,如何获得由,A,的第一、三行和第一、二列组成的子矩阵？,自己动手,5,,矩阵操作,矩阵的旋转,,fliplr,(A,),,左右旋转,,flipud,(A,),,上下旋转,,rot90(A),,逆时针旋转,90,度；,rot90(A,k),逆时针旋转,k,×,90,,度,例,：,>>,,A=[1 2 3;4 5 6],>>,,B=fliplr(A),>>,,C=flipud(A),>>,,D=rot90(A), E=rot90(A,-
5、1),6,,矩阵操作,矩阵的转置与共轭转置,,’,,共轭转置,,.’,,转置，矩阵元素不取共轭,例,：,>>,,A=[1 2;2i 3i],>>,,B=A’,>>,,C=A.’,点与单引号之间不能有空格,！,7,,矩阵操作,改变矩阵的形状：,reshape,reshape(A,m,n),:,将矩阵元素按,,列方向,,进行重组,重组后得到的新矩阵的元素个数,,必须与原矩阵元素个数相等,！,,8,,矩阵操作,查看矩阵的大小：,size,,size(A),,列出矩阵,A,的,行数和列数,,size(A,1),,返回矩阵,A,的,行数,,size(A,,2,),,返回矩阵,A 的,列,数,例,：,>>
6、,,A=[1 2 3; 4 5 6],>>,,size(A),>>,,size(A,1),>>,,size(A,2),,length(x,),返回,向量,,X,,的,长度,,length(A,),等价于,max(size(A,)),9,,矩阵基本运算,,矩阵的加减,：,对应分量进行运算,要求参与加减运算的矩阵具有 相同的维数,例,：,>>,,A=[1 2 3; 4 5 6]; B=[3 2 1; 6 5 4],>>,,C=A+B; D=A-B;,,矩阵的普通乘法,要求参与运算的矩阵满足线性代数中矩阵相乘,的,原则,例,：,>>,,A=[1 2 3; 4 5 6]; B=[2 1; 3 4];,
7、>>,,C=A*B,10,,矩阵基本运算,,矩阵的,除法,：,/,、,\,右除和左除,,若,A,可逆方阵，则,A\B,,,,A,的逆左乘,B,<,==>,inv(A)*B,B/A,,,,A,的逆右乘,B,,B*inv(A),X=A\B,,,,A*X=B,,X=B/A,,,,X*A=B,,通常，矩阵除法可以理解为,当,A,和,B,行数相等,时即可进行,左除,,当,A,和,B,列数相等,时即可进行,右除,11,,矩阵的乘方,,A,是方阵，,p,是正整数,A^p,,表示,A,,的,p,,次幂，即,p,,个,A,,相乘。,,,若,A,是方阵，,p,不是正整数,,,A^,p,,的计算涉及到,A,的特征值
8、分解，即若,,,,A = V*D*V,-1,,,则,,A^,p=V*(D.^p)/V,12,,矩阵的乘方,若,a,是标量，,A,是方阵，且 [,V,D] =,eig(A,)，,则,a^A,＝,V*(a^D)/V,若,A, P,均是矩阵，则,A^P,,,无定义,若,a,是标量，,则,13,,矩阵的,Kronecker 乘,积,,矩阵,,Kronecker,,乘积,的定义,设,A,是,n,×,m,矩阵，,B,是,p,×,q,矩阵，则,A,与,B,的,kronecker,乘积为：,,Kronecker,,乘积,的性质,是,np×mq,,矩阵；,通常,任何两个矩阵都有,Kronecker,,乘积,,M
9、atlab,,中实现两个矩阵,Kronecker,,相乘的函数为,kron(A,B),Kronecker,乘积有时也称张量积,14,,矩阵的数组运算,,数组运算：,对应元素进行运算,点与算术运算符之间不能有空格！,,数组运算包括：,点乘,、,点除,、,点幂,,相应的数组运算符为：,“.* ”,，,“./ ”,，,“.\ ”,和,“,,.^ ”,参与运算的对象必须具有相同的形状！,例,：,>>,,A=[1 2 3; 4 5 6]; B=[3 2 1; 6 5 4];,>>,,C=A.*B; D=A./B; E=A.\B; F=A.^B;,15,,函数取值,设,x,是变量，,f,,是一个函数,,当
10、,x = a,是标量时，,f,(x) = f(a),也是一个标量,当,x = [a, b, … , c],是向量时，,f,(x)= [f(a), f(b), … , f(c)],函数作用在矩阵上的取值,若,A,是矩阵，则,f,(A),是一个与,A,同形状的矩阵,,f,,作用在,x,的,每个分量上,16,,函数取值,怎样计算,e,A,?,例,：,>>,,x=[0:pi/4:pi]; A=[1 2 3; 4 5 6];,>>,,y1=sin(x); y2=exp(A); y3=sqrt(A);,例,：,17,,矩阵的超越函数,,Matlab,,提供了三种矩阵函数,：,expm、sqrtm、log
11、m,详情参见联机帮助（,help expm / sqrtm / logm ）,,更一般的矩阵函数,：,funm,,funm(,A,,@,fun,),参数,fun,,的可以是,exp,，log，cos，sin，cosh，sinh,,18,,数与数组的点幂,x.^y,,=[1^4,2^5,3^6]=[1,32,729],,x.^2,,=[1^2,2^2,3^2]=[1,4,9],,2 .^x,,=,,?,.^,前面留个空格,例,：,x=[1 2 3]; y=[4 5 6];,2 .^[x;y],=,,?,Matlab中的所有,,标点符号必须在,,英文状态下输入,19,,Matlab,中常见数学函数
12、,sin、cos、tan、cot、sec、csc、…,asin、acos、atan、acot、asec、acsc、…,exp、,log,、log2、log10、sqrt,abs、conj、real、imag、sign,fix、floor、ceil、round、mod、rem,max,、,min,、,sum,、,mean,、,sort,、fft,norm、rank、det、inv、eig、lu、qr、svd,……,log,,是自然对数，即以,,e,,为底数,,mod(x,y,),,结果与,y,,同号，,rem(x,y,),,则与,,x,,同号,,max,,等函数的参数是矩阵时，是作用在矩阵各列上,20,,上机作业,试分别生成,5,阶的单位阵、,8,阶均匀分布的随机矩阵及其 下三角矩阵,,生产列向量,x=[1, 3, 5, 7, 9, … , 29],,生成以,x,的元素为对角线的矩阵,A,，并输出,A,的行数,,生成一个与,A,同阶的正态分布的随机矩阵,B,,输出,A,与,B,的,kronecker,,乘积矩阵,C,,生成由,A,与,B,点乘得到的矩阵,D,,生成一个由,D,的第,8,、,4,、,10,、,13,行和第,7,、,1,、,6,、,9,、,2,列组成的子矩阵,E,,求出矩阵,E,的最大元素,21,,
上课02 向量与矩阵运算
