MATLAB与科学计算

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,MATLAB与科学计算,1,,一、前言,MATLAB：matrix laboratory的缩写，矩阵实验室的意思。一开始它是一种专门用于矩阵数值计算的软件。自MATLAB4.0版本问世以来，该软件成为最具有吸引力，应用最为广泛的科学计算语言。我们这个课就拿MATLAB6.1版本来讲。（6.x版本大同小异）,,2,,学习该软件的必要性：目前，MATLAB软件不仅走入企业、公司和科研机构，而且在高等院校也是从大学生到博士生都必须掌握的一项基本技能，是必不可少的计算工具，。,,MATLAB功能：数

2、值计算、符号运算和图形处理。,3,,学习它的意义：随着计算机科学和计算软件的发展，数学系学生必须掌握一门好的计算软件。这是我们就业、继续身造或做科研工作所要用到的。是当代大学生必备的一项技能。,,4,,其它计算软件：MATHEMATIC（数学分析问题的计算）；IDL（航天、控制），FOETRAN、BASIC（科学计算）。可以说一个人掌握了一门计算软件，再学习其它计算软件很容易。,5,,MATLAB桌面平台：,,(1)主窗口：整个大的窗口（其它几个窗口都包括在其中）,,（2）命令窗口（command window）：》为运算提示符，表示MATLAB在准备状态。当在提示符后输入一段运算式并按回车键

3、后，就给出计算结果,6,,（3）历史窗口(command history)：保留命令历史记录，这方便于使用者查询。双击历史窗口中的某一行命令，即可在命令窗口中执行该命令。,7,,（4）当前目录窗口（current directory）：在当前目录窗口中可显示或改变当前目录，也可以显示当前目录下的文件，并提供搜索功能。,8,,(5)发行说明书窗口（launch pad）:用来说明用户所拥有的Mathworks公司产品的工具包、演示以及帮助信息。,,（6）工作间管理窗口（workspace）:显示目前内存中所有的MATLAB变量的变量名、数学结构、字节数及其类型。,9,,命令窗口查询帮助：help

4、+函数名，当用户知道函数名字，而不知道其用法时，用help命令可以去了解此函数的用法。,,如：help inv,,10,,MATLAB标点的含义：,,（1）分号；……区分行以及取消运行显示等。例：,,A=[1,2;3,4]与A=[1,2;3,4]；的区别。,,(2) 逗号，……区分列及函数参数分隔符等。例：=[1,2;3,4] ，B=[1,4,3;3,2,1;4,5,6],11,,(3)小括号（）：指定运算过程的先后次序等。例：,,x=0.5;,,y=sin(x)/(2+cos(x)),,z= sin(x)/2+cos(x),,(4)方括号[ ]：矩阵定义标志等。见上。,12,,（5）续行号…

5、：例：,,y=sin(x)/(2+cos(x)),,也可写为,,y=sin(x)…,,/(2+cos(x)),,13,,(6)百分号%：注释标记，该行%以后的语句不执行。例,,%线性规划程序,,%a=0.5;,,b=sin(x);%正弦函数,,,14,,（6）等号=：赋值标记。见上。,,（7）单引号’ ’：字符串表示符，单引号里面的内容为字符串。单引号一定在英文状态下输入例：,,,a='xingtai college',,（8）冒号’：’：有多种应用功能，学习过程中注意。如：选取矩阵的所有行、列；矩阵定义,15,,二、数值计算,变量：MATLAB语言不需要对所使用的变量进行事先声明，也不需要指

6、定其类型，它会自动根据所赋予变量的值或所进行的操作来确定变量的类型。如果变量重新赋值将会用新值代替旧值。如：,,a=1,,b=0.5,,c=a*b,,c=3,16,,变量命名的规则：,,（1）变量名区分大小写；,,（2）变量名长度不能超过31位；,,（3）必须以字母开头，变量名中可包含字母、数字、下划线，但不能使用标点。,17,,常量：MATLAB中有些预定义的变量，这些特殊的变量称为常量。常用到的有：,,i,j: 虚数单位；,,pi: π；,,NaN: 表示不定值,比如0/0；,,inf: 无穷大（infinit），比如1/0。,18,,算术操作符：,,+、-：加，减；可以通用。,,*，^,

7、\ , / ：分别为矩阵乘，乘方，左除，右除；,,.*, .^ , .\ , ./ ：分别为数组乘，乘方，左除，右除；此时向量的运算不会满足矩阵的运算法则。注意矩阵的加点运算结果。,19,,如：,,a1=2;,,a2=[1,2,3,4];,,b2=[4,3,2,1];,,a1+a2,,a1-a2,,a2-a1,,a1*a2,20,,a1./a2 %a1/a2是错误的写法,,a1.\a2,,a2-b2,,a2+b2,,a2.*b2 %a2*b2是错误的写法,,a2./b2,,b2./a2,,a2.\b2,21,,例 已知水的黏度随温度的变化公式为 μ=μ,0,/（1+at+bt,2,）其中

8、,μ,0,=1.785×10,-3,，,,,a=0.03368,b=0.000221,,,求水在0，20，40，80℃时的黏度。,,程序如下：,22,,miu0=1.785e-3;,,a=0.03368;,,b=0.000221;,,t=0:20:80,,miu=miu0./(1+a*t+b*t.^2),,运行后的结果为 ：,,miu =,,0.0018 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003,,23,,字符串：,,字符串的约定（1）字符串用单引号括起来；（2）字符串的每个每个字符（包括空格）都是字符数组的一个元素.,,例 s=‘xingtai coll

9、ege’,,f=‘sin(x)’,,是字符串（char array）,24,,向量的生成：,,（1）直接输入：如a=[1,2,5,3],,(2) 利用冒号表达式生成：如：b=[2:2:10],此时[ ]可省略，步长为1时，步长可省略。第一个数为首元素的值，第2个数为步长或差值，第三个数为尾元素的限值，不能超过这个值。如b=2;2:11等价于b=[2:2:10],25,,（3）线性等份向量生成：y=linspace(x1,x2,n),生成n维向量，使得y(1)=x1,y(n)=x2。如：y=linspace(1,100,6)。,,向量的基本运算,,（1）向量的加减：用+、-。同维向量才可以

10、加、减。相应元素加减,,26,,（2）向量与数可以加、减。用+、-。数与向量的每个元素进行作用。,,（3）向量与数可以相乘。用*。,,(4)向量与数可以相除。向量/数，数./向量。,,（5）两个向量点积。必须是同维向量。用dot(a,b)。,27,,（6）两个向量叉积。cross(a,b),a,b必须有是3维且次序不能颠倒,。,,（7）混合积。由以上两个函数实现。dot(a,cross(b,c)),,矩阵的生成：,,(1)直接输入:如:a=[1,3,4;4,3,2].,,28,,(2)创建M文件输入大矩阵:当矩阵很大时,直接输入显得很笨,出错不易修改.我们可以编写一个M文件,M文件的扩展名必须

11、是m.,,例 编写一个名为matrix.m(名字自己随便起)的M文件如下:,,%matrix.m,,‘’’’,,29,,mat=[1,2,3,3;3,4,5,1;3,2,1,4;8,9,7,5],,在命令窗口中输入matrix,就会运行该文件.查看矩阵的结构可用size(mat).,30,,矩阵运算:,,(1) +、-、*：加、减、乘运算。,,（2）矩阵的除法有两种形式:左除“\”和右除‘/’.右除是先计算逆再做乘法;而左除不计算逆直接进行除法运算,这样可避免奇异矩阵无法求逆带来的麻烦.,31,,如:A=[1,2,3,2;3,2, 4,1;3,1,5,6;2,5,3,2], b=[1;3;

12、2;1],求方程组Ax=b的解.由于rank(A)=rank(B)=4(B为增广矩阵),所以有唯一解,x=A\b,或x=inv(A)*b.,,32,,又如: A=[361,625,961,1444,1936;1,1,1,1,1], b=[1;1]‘,求方程组Ax=b的解.由于rank(A)=rank(B)=2(B为增广矩阵),所以有无穷多个解,MATLAB中用除法解方程组时所得到的解是所有解中范数最小的一个x=A\b。,33,,（3）矩阵与常数间的运算:+、-、*运算是数与矩阵的每个元素进行运算，除法运算，只能常数做除数。,,（4）矩阵求逆：inv(A)为A的逆(inverse).,,34,,

13、（5）求转置矩阵:A'.,,（6）求矩阵的行列式:det(A) ,(determinant是行列式)。,,（7）矩阵幂运算：用^.如A^3,表示A*A*A。,,（8）矩阵指数运算：expm(A),A为方阵。,35,,（9）矩阵对数运算:logm(A),A为方阵。,,如：a=rand(3)； %成生一个3阶随机矩阵,,b=expm(a),,c=logm(b),36,,（10）矩阵开方：sqrtm(a).,,(11)求矩阵呢的秩：rank(a).,,特殊矩阵的生成：,,（1）zeros(n):生成 n×n阶0矩阵。,,（2）zeros(m,n):生成 m×n阶0矩阵。,,（3）zeros(siz

14、e(a)):生成与a阶数相同的0矩阵。,37,,（4） eye(n):生成 n阶单位矩阵。,,（5） eye(m,n):生成 m×n阶单位矩阵。,,（6） eye(size(a)):生成与a阶数相同的单位矩阵。,,（7） ones(n):生成 n阶全1矩阵。,,（8） ones(m,n):生成 m×n阶全1矩阵。,38,,（9） ones(size(a)):生成与a阶数相同的全1矩阵。,,（10）rand(n):生成 n×n阶随机矩阵，其元素值在0和1之间。,,（11）rand(m,n):生成 m×n阶随机矩阵。,,（12）rand：生成一个随机数。,39,,（13）rand(size(a))

15、:生成与a阶数相同的随机矩阵。,,矩阵的特殊操作：,,（1）变维操作reshape(a,m,n):把矩阵a变成n×n阶矩阵。如,,a=1:12,reshape(a,2,6), reshape(a,3,4)。注意变维操作要保证元素个数一致。,40,,例,,s=1:12;,,c=zeros(3,4);,,c(:)=s(:); %符号“:”表示变维操作，这两个矩阵必须预先定义维数，结果c取的是s的元素。,41,,（2）对角元素抽取diag(a,k)（注：diagonal为对角线的意思）：抽取矩阵a的第k条对角线的元素作为向量，k=0 时为主对角线，k为正值时为上方第k条对角线， k为负值时为下方第

16、k条对角线。,,diag(a)相当于diag(a,0).例,,a=rand(3); v=diag(a),42,,说明：如果b是一个向量，则diag(b)为对角矩阵，其对角线元素为b的元素。如：b=1:3,diag(b).,,（3）tril(a) (注：triangle low):提取矩a的主下三角。,,（4）tril(a，k):提取矩a的第k条对角线下面部分。 k=0 时为主对角线，k为正值时为上方第k条对角线， k为负值时为下方第k条对角线。,43,,（5）triu(a，k) (注：triangle up) :提取矩a的第k条对角线上面部分。,,逻辑运算符：,,（1）= =：等于。,,（2）

17、~=：不等于。,,（3）〈：小于。,,（4）〉：大于。,44,,（5）〈=：小于等于。,,（6）〉=：大于等于。,,（7）&:逻辑与。,,（8）|：逻辑或。,,（9）~：逻辑非。,45,,说明：,,①在关系比较中，若双方为同维数组（矩阵），则比较的结果也是同维数组（矩阵）。它们的元素有0和1组成。对应位置上的元素满足比较关系时为1，否则为0。当常数与数组（矩阵）比较时，结果与数组（矩阵）同维，其值依次为常数与数组元素依次比较的结果。例：,46,,a=[1:3;4:6;7:9],,x=5,,y=x<=a,,运行结果,,y =,,0 0 0,,0 1 1,,1

18、 1 1,47,,②,逻辑运算的意义是：,,与：当运算双方的对应元素值都为非0时，结果为1，否则为0；,,或：当运算双方的对应元素值有一非0时，结果为1，否则为0；,,非：当运算数组（矩阵）的对应位置上的元素值为0时，结果为1，否则为0。例,48,,a=[1,2;3,2];,,b=[0,1;3,0];,,d=a&b,,e=a|b,,f= ~b,,③算术运算、比较运算、逻辑与或非运算的优先级：先比较运算、再算术运算、最后逻辑与或非运算。,49,,常用的一些函数(直接调用):,,sin(x):正弦函数,(sine);例:,,x=-pi:0.1:pi;y=sin(x);plot(x,y),

19、,asin(x):反正弦函数,(anti-sine);,,cos(x):余弦函数,(cosine);,,acos(x):反,余弦函数,(anti-cosine);,,tan(x):正切函数(tangent);,,50,,atan(x):反正切函数(anti-tangent);,,cot(x):余切函数(cotangent);,,acot(x):,反,余切函数(anti-cotangent);,,sec(x):正割函数(secant);,,asec(x):反正割函数(anti-secant);,,csc (x):余割函数(cosecant);,,acsc (x):反余割函数(anti-cosec

20、ant);,51,,sinh(x):双曲正弦,(hyperbolic sine);,,asinh(x):反双曲正弦,(anti-hyperbolic sine);,,cosh(x):双曲余弦,(hyperbolic cosine);,,acosh(x):反双曲余弦,(anti-hyperbolic cosine);,52,,tanh(x):,双曲正切函数(,hyperbolic,tangent);,,a,tanh(x):,反双曲正切函数(anti-,hyperbolic,tangent);,,coth(x):,双曲余切函数(,hyperbolic,cotangent);,,acoth(x):,

21、反双曲余切函数(anti-,hyperbolic,cotangent);,,exp(x):e指数函数(exponent);,53,,log(x):自然对数函数(logarithm);,,log10(x):以10为底的对数;,,log2(x):以2为底的对数;,,sqrt(x):平方根函数(square root);,,abs(x):求模函数(absolute),,Inline(‘f的表达式’)：自定义函数。函数的自变量为函数中,,出现的变量。自变量顺序安字母表顺序。,,Inline(‘f的表达式’，‘变量1’， ‘变量2’， ‘变量3’，……)：,,与上面的区别是它安变量表的给出的顺序规定函数

22、的变量,,顺序。如：,g = inline(‘sin(2*x*y +z)’),，,,表示：,g(x,y,z) = sin(2*x*y +z),,g = inline(‘sin(2*x*y +z)’, ‘x’, ‘z’,‘y’),,表示：,g(x,z,y) = sin(2*x*y +z)；,,g1(1,2,3)与g2(1,2,3)的意义不同。,,54,,多项式表示方法：,,在MATLAB中多项式p(x)=a,n,x,n,+a,n-1,x,n-1,+…+a,0,是以向量p=[a,n,,a,n-1,,…,a,0,]的形式储存的.,,(1)系数向量直接输入:例输入多项式x^3-5x^2+6x-33.,

23、,p=[1,-5,6,-33];,,poly2sym(p) %polynomial多项式,将系数向量表示成符号多项式,55,,(2)矩阵的特征多项式输入:例,,a=[1,2,3;2,3,4;3,4,5];,,p=poly(a);%求a的特征多项式系数向量,,p1=poly2sym(p); %即为a的特征多项式,56,,(3)由根创建多项式:例,,root=[-5,-3+4i,-3-4i];%是某个多项式的根,,p=poly(root) %求相应的多项式的系数向量,,P1=poly2sym(p) %将多项式系数向量表示成符号多项式,57,,多项式运算:,,(1)求多项式的值:例,,p=[1,1

24、1,55,125];,,a=1.2,,b=[1,2;2,3],,polyval(p,a) %polynomial value 求多项式在1.2的值,,polyvalm(p,b) %多项式在b的值,58,,(2)求多项式的根:例求多项式,,2x^4-5x^3+6x^2-x+9=0的所有根.,,p=[2,-5,6,-1,9],,roots(p) %得到多项式的根,,(3)factor:因式分解。例,,syms x,,factor(x^9-1),,结果：ans =(x-1)*(x^2+x+1)*(x^6+x^3+1),59,,,factor(sym(‘100’))%把整数１００进行素数分解.结果：(

25、2)^2*(5)^2,,（4）expand(s):多项式展开,s可为多,,项式、多项式向量和矩阵。例,,expand(sym('(x+1)^3')),,结果：ans =x^3+3*x^2+3*x+1,,expand(sym('sin(x+y)')),,结果：ans = sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y),60,,（5）collect(s):对默认的变量合并同类项。,,collect(s,v):对变量v合并同类项。,,,s可为符号多项式、多项式向量和矩阵,,例,,,collect(sym('x^2*y+y*x-x^2-2*y*x')),,collect(sym('x^2*y+

26、y*x-x^2-2*y*x'),x),,collect(sym('x^2*y+y*x-x^2-2*y*x'),y),61,,(6)simple(s):符号表达式简化， s可为符号多项式、多项式向量和矩阵。,,例,,f=simple(sym('sin(x)^2+cos(x)^2')),,结果：f =１,,g=simple(sym('x^3+3*x^2+3*x+1')),,结果：,g =(x+1)^3,62,,(7)多项式乘除运算分别用conv和deconv: (convolution,deconvolution),,例,,p1=[2,-5,6,-1,9];,,p2=[3,-90,18];,,p

27、=conv(p1,p2) %为p1和p2所相应的多项式的乘积多项式的系数向量,63,,,p3=deconv(p,p1) %为p2,,p4= deconv(p,p2) %为p1,,poly2sym(p1)；,,poly2sym(p2)；,,poly2sym(p),,poly2sym(p3),,poly2sym(p4) %观看这几个多项式,64,,polyfit(x,y,n) 其中x,y为拟合数据，n为拟合多项式的阶数。例,,用最小二乘法拟合数据,,,x: 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00,,y: 1.75 2.45 3.81

28、,,4.80 8.00 8.60,,x=[0.5,1,1.5,2,2.5,3] y=[1.75,2.45,3.81,4.80,8.00,8.60],,a=polyfit(x,y,2) %用2次多项式拟合上组数据，a为拟合多项式的系数向量,65,,,x1=0.5:0.05:3,,y1=a(1)*x1.^2+a(2)*x1+a(3),,plot(x1,y1) %画出拟合曲线的图形,,hold on %保留上面的图形和坐标，可在该坐标系中继续作图,,plot(x,y,‘*’) %用*号的形式画出被拟合的数据图形,66,,求矩阵的特征值（,eigenvalue,:）,和特征向量,

29、(,eigenvector),,例,,,a=[7,3,-2;3,4,-1;-2,-1,3];,,[x,y]=,eig,(a) %,所得结果,x,为,a,的特征向量矩阵，,y,为特征值矩阵,,说明：,a,必须是方阵，此时,a*x=y*x，,,67,,三、符号运算,MATLAB进行符号运算的主要功能：符号表达式和符号矩阵的基本操作、符号矩阵的基本运算、符号微积分运算、符号线性方程求解、符号微分方程求解、特殊数学符号函数、符号函数图形等。,68,,符号表达式的生成,,创建符号函数：如f='log(x)‘,,创建符号方程：如 g='a*x^2+b*y^2+c=0‘,,创建微分方程：如q='D

30、y-y=x‘,,或者：f=sym(‘log(x)’)、g=sym(‘a*x^2+b*y^2+c=0‘)、,,q=sym('Dy-y=x’),69,,说明：符号函数也可以用另一方法创建(该方法不能创建方程)：,,syms x,%用syms可以定义多个变量，变量间用空格分开,,f=log(x),,w=sin(x)+cos(x),,70,,符号与数值之间的转换,,(1) Vpa函数：如,,digits(25) ％设置有效数字的精度为25位有效数字,,vpa(pi+1) ％显示在上述digits函数设置下的精度的数值,,或者vpa(pi+1,25),,注vpa:variable precision a

31、rithmetic,71,,(2)numeric函数：如,,numeric(pi+2),,(3)double函数:如,,double(pi+2) %与上一个函数结果一样。,,例 求函数f(x)=x-cos(x)在x=2的值。,,解,72,,,syms x,,f=x-cos(x);,,f1=subs(f,’2’,x) %字符替代，在 符号函数f中用2代替x,,f1=subs(f,x,1) %给出f在x=1处的值。,,digits(20),,vpa(f1),,numeric(f1), double(f1),,73,,例求方程3x,2,-e,x,=0的精确解和各种精度的近似解。,,解 s=

32、solve(‘3*x^2-exp(x)=0’),,vpa(s) %显示32位有效数字,,vpa(s,6) ％显示6位有效数字,,syms x,,ezplot(3*x^2-exp(x)),,注：W = LAMBERTW(X) 是w*exp(w) = x的解,74,,符号函数运算,,复合函数运算：设z=g(y),y=f(x),,compose(g,f) %即为g(f(x)),自变量的符号取为f函数的自变量符号。,,compose(g,f,t) %即为g(f(x)),自变量的符号取t。,75,,反函数运算：finverse,,例,,syms x;syms y;syms t;%,或者,syms x y

33、 t,,g=sin(y);f=1/x,,compose(g,f),,compose(g,f,t),,finverse(g),,finverse(f),76,,符号矩阵创立,,,使用sym函数直接创建符号矩阵：例 a=sym(‘[1/sin(x),cos(x)^2;2*x,1+x^2]’),,或,,syms x,,a=[1/sin(x),cos(x)^2;2*x,1+x^2],,用创建子矩阵的办法创建符号矩阵（该方法不推荐）：例,,,a=[‘[,1/,sin(x),cos(x)^2]’;‘[2*x,,,1+x^2 ]’],％,同列元素的位数必须一样，可用空可空格来补。 例b=[a,;'[1

34、 ,x^2 ]'],77,,将数值矩阵转化为符号矩阵,,a=[2/3,sqrt(2);0.222,log(3)] %a为数值矩阵,,b=sym(a) ％把a转化为符号矩阵b。,,符号矩阵索引和修改,,b(2,2) %矩阵的索引,显示矩阵b的第2行第2列元素。,78,,符号矩阵的修改,,,b(2,2)=‘log(9)‘ %矩阵的修改，,,b(2,2)修改为log(9) 。,,符号矩阵的运算,,（1）＋、－、*、\、/运算,,（2）矩阵转置（’）：a’,,(3) 行列式运算：det(a) %determinant的,简写计算符号矩阵的行列式。,79,,（4）求逆inv(a):

35、求矩阵a的逆。,,（5）求矩阵的秩rank(a):求矩阵a的秩。,,符号极限,,limit(f,x,a):求表达式f在x→a时的极限。,,limit(f):求f在x→0时的极限.,,imit(f,x,a,’left’):求表达式f在x→a时的左极限。,,limit(f,x,a,’right’):求表达式f在x→a时的右极限。例,80,,,syms x,,limit(sin(x)/x,x,1),,limit(sin(x)/x),,limit((1+1/x)^(1/x),x,inf),,f=atan(1/(1-x)),,y=limit(f,x,1) %没极限,,y1=limit(f,x,1,’l

36、eft’),,y2= limit(f,x,1,’right’),81,,f=1/x,,,y1=limit(f,x,0,'left'),,y2=limit(f,x,0,'right'),,符号积分(积分：integral),,（1）int(f,x):计算符号表达式f,自由变量为x的不定积分．,,（2）int(f,x,a,b):计算符号表达式f,自由变量为x,从a到b的定积分,82,,说明：符号表达式可以是符号函数，也可是符号矩阵。,,例,,syms x,,int(sin(x),x),,int(sin(x),x,0,1),,int(sin(x),x,0,1）,,说明：变量x省略时默认对x积分。,8

37、3,,,a=sym('[1/sin(x),cos(x)^2;,,2*x,1+x^2]'),,int(a,x),,符号函数求导(微分:differential ),,(1) diff(f,x) %求表达式f,自由变量为x的导数。,,（2）diff(f,x,n) %求表达式f,自由变量为x的n阶导数。,84,,syms x,,f=sin(x)^2,,diff(f,x)％,变量x省略时默认对x求导,diff(f,x,2)％,x省略时默认对x求导,,线性方程组的符号解法（linsolve）,,例a=sym('[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10]'),,b=sym('[9;7;6]'

38、),,x=linsolve(a,b) %x为线性方程ax=b的解。注：这里a,b也可是double型,,，但得到的x为sym型。,85,,,vpa(x) %转化为浮点近似解,32位有效数字。,,非线性方程（组）的符号解法,,（1）,fsolve(‘f’,x,0,):其中f为被求零点的函数，x,0,为初值。注：fsolve对sym型函数无效；可用于有函数文件、字符串、和inline定义的函数。,,（2）,slove(‘方程1’，‘方程2’，…).,86,,例、求解下面非线性方程组,,,x,1,-0.7sinx,1,-0.2cosx,2,=0,,x,2,-0.7cosx,1,＋0.2sinx,2

39、,=0,,解首先编写函数文件f.m如下,,function y=fc(x),,y(1)=x(1)-0.7*sin(x(1))-0.2*cos(x(2));,,y(2)=x(2)-0.7*cos(x(1))+0.2*sin(x(2));,,y=[y(1);y(2)];,,在命令窗口中输入,,x0=[0.502,0.51]; ％x,0,为初始向量,,fsolve(‘fc’,x0),87,,作业：分别用solve和fsolve函数求sinx+cosx+x=0的解，并进行验证。,,作业：,分别用solve和fsolve函数求方程组,,,x^2*y^2 - 2*x - 1 = 0,,,x^2 - y^

40、2 - 1 = 0,,的解,并进行验证。,,两个函数用法的区别是什么？,,88,,％方法,1,,[x,y]=solve(‘x^2*y^2 - 2*x - 1 = 0’,‘x^2 - y^2 - 1 = 0’),；,,％方法,2,,function y=fc(x),,y(1)=x(1)^2*x(2)^2-2*x(1)-1;,,y(2)=x(1)^2-x(2)^2-1;,,y=[y(1),y(2)],,……,,x0=[1.6;1.2],,x=fsolve('fc',x0),,％方法,3,,f='[x(1)^2*x(2)^2-2*x(1)-1;x(1)^2-x(2)^2-1]‘,,x0=[0.6;

41、0],,x=fsolve(f,x0),,％方法,4,,f=inline('[x(1)^2*x(2)^2-2*x(1)-1;x(1)^2-x(2)^2-1]'),,x0=[1.6;1.2],,x=fsolve(f,x0),89,,（4）已知,,x=[x,1,,x,2,,…,x,n,],,f=(f1(x);f2(x);…;f,n,(x)),,试求导数,f'(x)，即f对x的jacobian矩阵。,,提示：利用函数：jacobian(f,v),其中v为自变量向量。,,利用该雅可比函数求下面函数的导数以及在（1,2,3）点的导数值。,90,,F=[3x-cos(xy)-0.5;,,x,2,-80(y+

42、0.1),2,+sinz+1.06;,,e,-xy,+20z+1],,syms x,syms y,syms z,,f=[3*x-cos(x*y)-0.5;x^2-80*(y+0.1)^2+sin(z)+1.06;exp(-x*y)+20*z+1],,df=jacobian(f,[x,y,z]),,b=subs(df,[x,y,z],[1,2,3]);,b='[1;2;3]';,,c=linsolve(a,b);,91,,常微分方程的符号解（dsolve）：,,字符D代表对独立变量导数d/dt,Dn代表对独立变量的n阶导数，,,例 求dy/dt=-ay的解,,解 dsolve(‘Dy=-a*y’

43、) %得到通解。,,dsolve(‘Dy=-a*y’,’y(0)=1’) %给定了初始条件，求特解。方程和 初始条件用逗号分开，都用单引号引起来。,92,,符号函数的二维图形,,（1）ezplot(f):绘制f(x)的图形，x的范围为[-2π，2π]。如,,ezplot(‘sin(x)’) 。,,（2）ezplot(f,a,b):绘制f(x)的图形，x的范围为[a，b]。如,,ezplot(‘sin(x)’,0,9)。,93,,四、图形处理,图形可视化是数学计算人员所喜欢和追求的一项技术。把结果用图形描述出来，便于理解、分析。,94,,二维绘图命令,,(1)plot(y):％若y是向量，就以向

44、量的索引为横坐标，以向量的元素值为纵坐标；,,(2)plot(x,y):一般来说是绘制向量y的图形，横坐标为x的值，纵坐标为y的值。,,(3) plot(x,y,’.’):这里‘.’表示用点线显示。,95,,二维绘图命令,,(1)plot(y):％若y是向量，就以向量的索引,,为横坐标，以向量的元素值为纵坐标；,,(2)plot(x,y):一般来说是绘制向量y的图形，,,横坐标为x的值，纵坐标为y的值。 x,y的维,,数相同,,(3) plot(x,y,’.’):这里‘.’表示用离散点显示。,,(4) plot(x1,y１,x2,y2):x1,y1的维数相同，,,x2，y2的维数相同。,96,

45、,例,,x=-pi:0.1:pi,,y=sin(x),,plot(y),,hold on %保留上一个图形,,plot(x,y),,,plot(x,y+1,':r'),97,,说明：在plot(x,y,’s’)中图形设置选项s的规定,,98,,例,,x=0:0.1*pi:2*pi;,,y=sin(x);,,z=cos(x);,,plot(x,y,‘--k’,x,z,‘-.r’) %分别用虚黑线和点划红线显示两条曲线。,99,,（５）polar(θ，r):画出极坐标函数r=r(θ)的图形,,例,,cita=0:0.1*pi:4*pi;,,r=cita+sin(cita/2),,polar(ci

46、ta,r),,（6）refline(k,b):画平面参考线，k为斜率，b为在y轴的截距,100,,三维图形命令,,（1）plot3(x,y,z):x,y,z为同维向量时画空间曲线，例画出x=sin(t),y=cos(t), x=t，t∈[0，10π]的图形。,,解,101,,t=0:pi/50:10*pi; 　　　z=t,x=sin(t),y=cos(t),plot3(x,y,z)；plot3(x,y,z+1,’--r’),,（2）plot3(x,y,z):当z=f(x,y),(x,y)为xoy平面上的网格节点时，它可以画出空间曲面z=f(x,y) 的图形。,,（3）mesh(x,y,z):画

47、出三维网格图。,102,,（4）meshc(x,y,z):画出三维网格与等高线图,,（5）meshz(x,y,z):增加边界面屏蔽。,,(6) surf(x,y,z) :与mesh函数不同的是把图形着色,surfc与meshc类似。例,103,,,[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2, -2:0.1:2);　 z=x.^2+y.^2;,,plot3(x,y,z),,hold on,,meshc(x,y,z+8)， meshc(x,y,z+16)，,,％mesh(z)与mesh(x,y,z)的区别类似于plot(x)与plot(x,y)的区别。,104,,（,3）坐标轴标注xl

48、able(‘标注’)， 　ylable(‘标注’),,(4),标题标注,title(‘,标题’,),,x=-pi:0.1*pi:pi,，,y=sin(x),,plot(x,y),，,v=[-16,6,-1,2],，,axis(v),,grid on,,xlabel(‘x-axis’)， ylabel(‘y=sinx’),,title(‘正弦函数图像’),105,,（5）图形保持hold on/off: hold on是启动图形保持功能，在已存在的一张图中添加曲线，hold off 是关闭图形保持功能。,,（6）图例标注legend(‘标注1’，‘标注2’，…),,106,,例x=0:0.1*p

49、i:2*pi;,,y=sin(x); z=cos(x);,,plot(x,y,'-*'),,hold on,,plot(x,z,'-o'),,plot(x,y+z,'-h'),,legend('y=sinx','z=cosx','y+z=sinx+cosx,,hold off %关闭图形保持,107,,(7)子图subplot(m,n,p):其功能是把一个图形分成m×n个小图形窗口，通过参数p调用各子窗口进行操作。例,108,,x=0:0.1*pi:2*pi;,,y=sin(x);,,z=cos(x);,,subplot(2,2,1), plot(x,y,'-*'),,subplot(2

50、,2,2), plot(x,z,'-o'),,subplot(2,2,3), plot(x,y+z,'-h'),,subplot(2,2,4), plot(x,y-z,'-x'),109,,图形处理技术,,（1）坐标轴控制函数axis（v）:对二维图形v=[a,b,c,d],其中[a,b]和[c,d]分别为x轴和y轴的范围；对于三维图形v=[a,b,c,d,e,f]分别给出x,y和z轴的范围。例,,(2),平面坐标网格函数,grid on/off:,作用是平面图形带有网格和取消网格。,110,,五、程序设计,MATLAB作为一种高级计算语言，不仅可以做如上所讲的那些工作，还可以像basic ,

51、fortran,c等其它高级计算机语言一样进行程序设计，即编制以m为扩展名的文本文件（简称M文件）。,,111,,M文件的形式,,(1）命令式（script）：命令式文件就是命令行的简单叠加，MATLAB就会自动按顺序执行文件中的命令，这样就可以避免在命令窗口运行许多命令的麻烦和重复行工作，也便于修改。其可在命令窗口直接输入文件名运行,112,,例,,%sinfig.m,,x=-pi:0.1*pi:pi；,,y=sin(x)；,,plot(x,y)；,,hold on;,,plot(y,x),113,,函数式（,function）：,他主要解决参数传递和函数调用问题，它的第一句以,functi

52、on,语句为引导。不能直接运行，只能调用。,,例 ％,f.m,文件名与函数名必须一致,,,function f(x),,f=2*x^2+4*x+6,,在命令窗口中输入：,f(0),f(10),可以看,,出结果。,114,,例、建立一个名字为f的函数文件，该,,函数为,,f=cos,2,(x),,试计算该函数在x=1:10的函数值，,,并给出离散点（x,f(x)）的图形。,,（大家一起讨论）,115,,例、一个函数文件可以定义个函数,,,function [y1,y2,y3] = f(x),,,y1=sin(x);,,,y2=cos(x);,,,y3=tan(x);,,（3）数据文件：用s

53、ave(‘文件名’，‘变量1’，‘变量2’，……)创建，用load(‘文件名’)调入到工作间。,116,,控制语句,,（1）循环语句,,,（a）for循环：例,,s=0;,,for k=1:1:10 %初始值、步长和最大限值,,s=s+k;,,end ％循环结束标志,117,,（b）while循环：例,,s=0;,,k=0;,,while k<=9,,k=k+1;,,s=s+k;,,end,,s,118,,（c）if……else……end选择语句：例,,编写分段函数f(x)=x,(-1=

54、>=-1 & x<0,,y=x;,,else,,y=x^2;,,end,119,,(d) if…end语句：例,,for i=1:10,,if i<8,,a(i)=100,,end,,end,,结果：,a =,,100 100 100 100 100 100 100,120,,(e) if…elseif…elseif…else…end多重选择语句：例编写函数文件：,,function y=f(x),,if x>=-1 elseif,x>=0 else,f=0,,end,,在命令窗口中输入f(1),(3)可以得到结果。,121,,（f）swith 变量,,case 1,

55、,语句,,case 2,,语句,,……,,otherwise,,语句,,end,122,,例、,,for i=1:6,,switch i,,case 1,,a=1,,case 2,,a=2,,case 3,,a=3,,case 4,,a=4,,otherwise,,b=0,,end,,end,123,,例 已知n=自己的真实学号，在xoy平面有点,,A,i,=(i,0),,B,i,=(i,n),,(i=0,1,2,……,n),,现要画连接A,i,B,j,的线段(i,j=0,1,…,,,n)，试给出其MAT LAB程序。,,解 现就学号为6，给出其程序如下：,124,,n=6;x=0:n;y=0

56、:n;,,for i=1:7,,for j=1:7,,if i==j,,plot(x(i)*ones(size(y)),y);,,xlabel('x');ylabel('y');title('AiBj的连线'),,v=[0,n,0,n];axis(v),,hold on;,,else,,a=min(x(i),x(j)); b=max(x(i),x(j));,,X1=a:0.1*(b-a):b;,,Y1=-n/(x(i)-x(j))*(X1-x(i));%连接AiBj的直线,,plot(X1,Y1);,,end,,end,,end,125,,作业：在上题的基础上，再加上点,,,C,i,=(0,i

57、),D,i,=(n,i),(i=0,1,2,……,n),,现要画连接AiBj和CiBj的线段(i,j= 0,1,…,n)，试给出其MAT LAB程序。把运行结果得到的图像，存放到WORD文件，文件名字取为：真实姓名_真实学号，然后发送到信箱:xtxysh,126,,六、主要命令汇总,1、常用信息,,help:,在线帮助（显示在命令窗）。,,helpwin,:,在线帮助（独立窗口显示）。,,ver,:MATLAB,及工具箱的版本信息。,,2,、管理工作区命令,,who:,显示当前变量。,,whos,:,显示当前变量具体信息。,127,,clear:从内存中清楚变量和函数。,,quit:退出MAT

58、LAB。,,3、管理命令和函数,,what:显示当前目录下的MATLAB,,文件。,,edit:编辑M文件。edit(建立编辑新,,文 件);edit＋文件名(编辑已有,,的文件)。,,128,,which:找出函数和文件的位置。,,type:显示M文件内容。Type+文件,,名。,,Inmem:显示内存中的函数。,,4、操作系统命令,,dir:显示目录。,,pwd:显示当前工作目录。,,delete:删除文件。Delete+文件名。,,,129,,web:打开页面浏览器加载文件。,,5、数据类型,,double:双精度类型,,sym:符号型,,Inline:内联对象,,char:字符数组或字

59、符串。,,uint8:无符号8位整数（,unsigned,,integer,）,,6、数据基本操作,,max:最大元素。向量为数，矩阵为向量,130,,min:最小元素。类似max.,,mean:求平均值。mean(a),a为向量,,时得到向量平均值，结果为一,,个数；a为矩阵时，进行每列,,平均，得到一个向量。,,sum:元素和。 sum(a),a为向量时得,,到该向量各元素之和，结果为一,,个数；a为矩阵时，进行每列,,求和，得到一个向量。,131,,prod:元素积。prod(a)当a为向量和,,矩阵时的情况，类似于max(a)。,,cumsum:元素累和。cumsum(a),a,,可为

60、向量，也可为矩阵。,,cumprod:元素累积。a可为向量，,,也可为矩阵。,,7、基本矩阵函数,,zeros:零矩阵函数。,,132,,ones:全1矩阵。,,eye:单位矩阵。,,rand:随机数、向量、矩阵.,,linspace:线性等分向量。,,8、基本数组操作,,size:矩阵大小。,,length:数组长度。,,isempty:判断是不是空矩阵。,,133,,isequal: 判断数组是否相等。,,isequal(a,b)。,,isnumeric:判断是否为数值矩阵。,,reshape:矩阵重置。,,tril:抽取下三角部分。,,triu:抽取上三角部分。,,fliplr:左右方向

61、翻转矩阵（flip:翻转）。,,flipud:上下方向翻转矩阵。,134,,rot90:逆时针把矩阵旋转90度。,,9、专用变量和常量,,ans:最新答案。,,pi:圆周率。,,i,j:复数单位。,,inf:无穷大。,,NaN:不定数。,,isnan:判断不定数。,135,,isinf:判断无穷大元素。,,isfinite:判断有限大元素。,,10、指数、对数函数,,exp:e指数函数。,,pow2:以2为底的幂函数。,,sqrt:平方根函数。,,11、舍入函数和剩余函数,,fix:朝零方向舍入为整数。,136,,floor:朝负方向舍入为整数。,,ceil:朝正方向舍入为整数。,,round

62、:四舍五入为整数。,,sign:符号函数。,,mod:无符号求余函数。mod(3,2)=1,,rem:带符号求余函数。,,12、复数函数,,abs:求模。,137,,conj:求共轭函数（conjugate）。,,angle:相角函数。,,imag:复矩阵虚部。,,real:复矩阵实部。,,isreal:实矩阵判断函数。,,12、矩阵函数,,norm:矩阵或向量范数。,,normest:向量、矩阵2范数。,138,,rank:矩阵的秩。,,det:矩阵行列式的值。,,trace:矩阵的迹(主对角线元素之和)。,,inv:矩阵逆。,,13、特征多项式、特征值,,poly:特征多项式。,,poly

63、2sym:多项式表示。,,eig:特征值和特征向量。,139,,eigs:特征值。,,14、矩阵函数,,expm:矩阵指数。,,logm:矩阵对数。,,sqrtm:矩阵平方根。,,15、坐标转换,,cart2sph:转换直角坐标为球坐标。,,cart2pol:转换直角坐标为极坐标。,140,,pol2cart:转换极坐标为直角坐标。,,sph2cart:转换球坐标为直角坐标。,,16、坐标轴控制,,axis:控制坐标轴范围。,,grid on/off:栅格线保持、取消。,,hold on/off:图形保持/取消。,,box on/off:图形四周都显示/常规坐标轴。,,例1、,141,,[x,

64、y]=meshgrid(0:0.5:10);,,z=y.*sin(x.^2)+cos(y);,,surf(x,y,z),,v=[-20,10,-20,10,-10,50];%,坐标轴范围控制,,axis(v),％注意该语句必须在图形显示语句的后面,,说明：二维图形是类似的。,142,,例2、axis(‘控制字符串’)：可以选择,,不同的字符串完成对坐标轴的操作。,,控制字符串有：,,（1）auto:自动模式，使得图形的坐标范围满足图中一切图元素。,,（2）axis:将当前坐标设置固定，使,,用hold命令后，图形仍以此作为坐标,,界限。,143,,（3）manual:以当前的坐标限定绘,,制。

65、,,（4）tight:将坐标限控制在指定的数,,据范围内。,,（5）equal:使坐标轴分度相等。,,（6）off:取消对坐标轴的一切设置，,,包括系统的自动设置。,,（7）on:恢复对坐标轴的一切设置。,144,,[x,y]=meshgrid(-1:0.1:1,-1:0.1:1);,,z=x.^2+y.^2;,,surf(x,y,z),,box on,,,17、基本二维图形,,plot:线性绘图。,145,,loglog:双对数坐标图。,,semilogx:半对数（x）坐标图。,,semilogy:半对数（y）坐标图。,,polar:极坐标图。,,subplot:分割图窗,,refline(

66、slope,intercept):加参考线,,18、图形注解,,legend:图形标签.,,xlable:x轴标签。,146,,ylable:y轴标签。,,title:图形题目。,,text:文字注解。,,19、特殊二维图形,,bar:条形图。,,barh:水平柱图。,,ezplot:符号函数图。,,fplot:绘制字符串指定的函数名的函数图。如fplot(‘sin(x)’,[2,3])。,147,,pie:饼图。,,plotmatrix:绘矩阵点图。,,stem:2维火柴杆图。,,stem3：3维火柴杆图。,,20、等高线图和向量图,,contour:等高线图。,,contour3:三维等高线图。,,quiver:向量图。,,例,148,,[x,y] = meshgrid(-2:.2:2,-1:.15:1);,,z = x .* exp(-x.^2 - y.^2);,,[px,py] = gradient(z,2);,,contour(x,y,z),,,hold on,,quiver(x,y,px,py),,hold off,,,149,,21、特殊三维图形,,comet3:,三维彗