4.6探索三角形相似的条件 MICROSOFT POWERPOINT 演示文稿

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,4.6 探索 三角形相似的条件,郓城第一初级中学 初二数学组,知识象一艘船,让它载着我们驶向理想的此岸！,,1、什么叫做相似三角形？,三角对应相等、三边对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。,2、什么叫做相似三角形的相似比？,相似三角形对应边的比,叫做相似比(或相似系数).,3、用符号表示三角形相似时注意什么？,对应角顶点的字母写在对应的位置上,相似比是有顺序性的,5、相似三角形有什么性质?如何用数学符号表示?,相似三角形的对应角相等、对应边成比例。,知识,&,回顾,☞,4、求相似比时注意

2、什么？,,∴,∠,A = ∠D,,,∠B = ∠E,,,∠C = ∠F,A,B,C,D,E,F,,∵△,ABC∽△DEF,,知识,&,回顾,☞,用数学符号表示：,,知识,&,回顾,☞,7、全等三角形的判定方法有哪些？,SAS; ASA; AAS; SSS; HL,类比全等三角形的判定方法你能猜测相似三角形的判定方法吗？,6、已学过的相似三角形的判定方法是什么？,,如何用数学符号表示？,三角对应相等、三边对应边成比例的两个三角形是相似三角形。,∵,∠A= ∠,A,',,、∠B= ∠,B',、∠C=,∠,,C,',,∴,△ABC∽△A,',B,',C,',相似比等于1的两个三角形是全等三角形.,,

3、三角形相似的判定方法1：,,两角对应相等的两个三角形相似.,用数学符号表示：,A,B,C,A,',,C,',,B,',,,∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B',∴ ΔABC∽ΔA'B'C',探索,&,新知,☞,,演示,假设△ABC与△A’B’C’满足条件:,,这两个三角形相似吗？,三角形相似的判定方法2：,,三边对应成比例的两个三角形相似.,探索,&,新知,☞,用数学符号表示：,A,B,C,A,',,C,',,B,',,,∵,∴ ΔABC∽ΔA'B'C',,小明和小颖分别画出了下面的△ABC与△A’B’C’,A,B,C,50,0,3.2cm,4cm,2cm,A’,C’,B’,50,0,1.6cm,两

4、边对应成比例,且其中一边的对角对应相等的两个三角形,不一定,相似,探索,&,新知,☞,如果△ABC与△A’B’C’有,一个角,相等,且,两边对应成比例,,那么它们相似吗?,(1) 如果这个角是这两边中其中一条边的对角,由此能得到什么结论?,(2) 如果这个角是这两边的夹角,,演示,如果 与 有两边对应成比例,且这两边的夹角相等,那么这两个三角形相似吗？,探索,&,新知,☞,三角形相似的判定方法3：,,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.,用数学符号表示：,A,B,C,A,',,C,',,B,',,,∴ ΔABC∽ΔA'B'C',两边对应成比例并

5、且必须是夹角对应相等两三角形才一定相似．,∵,∠,∠,﹦,,,积累就是知识,课堂小结,如图:你有哪些方法可以判定,△ABC与△A,',B'C,',相似？,C,A,B,A,’,B,’,C,’,两角对应相等的两个三角形相似;,,三边对应成比例的两个三角形相似.,,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.,,三角形全等判定：,判定方法,角边角,,角角边,,边边边,,边角边,三角对应,相等,, 三边对应,成比例,1. 两角对应相等〔判定１〕,3. 两边对应成比例且夹角相等〔判定３〕,两边对应成比例且其中一边的,对角,相等(,不能判定,),2. 三边对应成比例,(判定２),三角形相似判定：,判

6、定方法,归纳与比照　　三角形全等与相似的判定方法,三角对应,相等,, 三边对应,相等,,例题解析 认识 “A字型〞,例题解析,如图：D 、 E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC.,(2),找出图中的相似三角形，并说明理由。,,(1),图中有哪些相等的角？,(3),写出三组成比例线段。,A,B,C,D,E,∵ DE∥BC,,∴ ∠ADE=∠B, ∠AED=∠C;,解:(1),∵ DE∥BC,,,∴ ∠ADE=∠B, ∠AED= ∠C ,,,∴ △ ADE ∽ △ ABC .,(2),(3),∵ △ ADE ∽ △ AED,∴,,解题后的反思与拓展,,,如图4,-,17,D

7、,E分别是△ABC边AB, AC上的点,,,DE∥BC。,A,B,C,D,E,图4,-,17,例题解析,△ ADE∽△ABC,(2),解:,(1),由上面(3)题可知:,还是在上面例 题的条件下,,,想一想,,,,A,B,C,D,E,图4,-,17,例题解析,△ ADE∽△ABC,解:,(1),由上面(3)题可知:,还是在上面例 题的条件下,,,想一想,求证: AD,∙,AC=AE,∙,AB。,AD,∙,AC=AE,∙,AB。,方法与规律,以后求证,线段成比例,或,线段乘积相等,时，可考虑用两个三角形,相似,。,解题后的反思与拓展,如图4,-,17,D,E分别是△ABC边AB, AC上的点,

8、,,DE∥BC。,,抽象 与 提升,平行于三角形一边直线截其它两边,所截得的三角形与原三角形相似;,如图, 想一想,,如图:,在△ABC中,,,如果DE∥BC，那么△ADE∽,△ABC,;,平行于三角形一边直线截其它两边,,,所得的对应线段成比例.,如图:,在△ABC中, 如果DE∥BC。,A,B,C,D,E,图4,-,17,你能总结出一般的结论吗?,结论1:,结论2:,在 DE ∥ BC 的条件下,,例题解析,,如图，DE∥BC，分别交BA、CA的延长线于点D、E，△ADE与△ABC相似吗？为什么？,A,B,C,D,E,平行于三角形一边的直线与其他两边〔或两边的延长线〕相交，所构成的三角形与

9、原三角形相似。,例题解析,解题后的反思与拓展,X型图,方法与规律,见,平行,想,相似,。,,1、,有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似吗?为什么?,2、,顶角相等的两个等腰三角形是否相似?为什么?,答：相似.,答：相似.,因为有两个角对应相等.,因为顶角相等,两个底角也对应相等.,,随堂练习,P134,,1.如图，在△ABC和△A′B′C′中，,,∠A＝50°,∠B＝∠B′＝60°,,,∠C′＝70°,△ABC与△A′B′C′相似吗？,A,B,C,A′,B′,C′,60°,60°,70°,50°,,,知识技能,P134,,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,,,根据以

10、下各组条件判定这两个三角形是否相似，,(1)∠A=35°，∠B’=55°；,,Rt△ABC,∽Rt△B′A′C′,,(2)AC=4，BC=5，A′C′=8，B′C′=10；,,Rt△ABC,∽Rt△A′B′C′,,(3)AB=5，BC=4，A′C′=6， B′C′=8．,,,Rt△ABC,∽Rt△A′B′C′,快速,&,反应,☞,,根据以下条件判断△ABC和△A’B’C’ 是否相似.,(1)∠B＝∠B’＝75°, ∠C＝50°,∠A’＝55°,(2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm,,∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm,(3) AB=12cm， B

11、C=15cm， AC＝24cm,,A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm,快速,&,反应,☞,相似.根据两角对应相等的两个三角形相似。,相似.根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。,不相似.因为三边不对应成比例。,,,随堂练习,P138,下面两个三角形是否相似?为什么?,,∴△ABC∽△AEF.,A,B,C,E,1,,1,F,3,3,又,∠A= ∠A,,随堂练习,P138,解:,△ABC∽△AEF。理由如下：,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.,,想想,&,议议,☞,解法1,,又,∠A,=,∠A,′=45,0,,,,∴△ABC∽△A′B′C′,,(两边

12、对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.),解法2:如图,设小正方形的边长为1,由勾股定理可得:,,解法3:如图,设小正方形的边长为1,由勾股定理可得:,∴△ABC∽△A′B′C′,(三边对应成比例的两个三角形相似.),,,②,①,④,③,如图,点D，E分别在AB,AC或它们的延长线上,且∠1=∠2,分别指出图中的相似三角形.,△ADE∽ △ACB,△ADE∽ △ABC,△ADC∽ △ACB,△ADE∽ △ACB,想想,&,说说,☞,,将两个全等的等腰直角三角形摆成如下图的样子〔图中的所有点、线都在同一平面内〕，图中有相似三角形吗？如果有，请写出来，并说明理由。,,,A,D,N,M,C,B,E,

13、,,数学理解,P135,△ADE∽△BAE,△ADE∽△CDA,△CDA∽△BAE,△ABC∽△MAN,,,,数学理解,P134,如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,〔1〕图中有哪几对相似三角形？,,〔2〕你能得出AD2=BD·DC吗？,┓,A,B,D,C,(1)△BAC∽△BDA ∽△ADC,(2),∵△BDA ∽△ADC,∴,·,∴,,如图,P是AB上一点,补充以下条件:,,(1) ∠ACP=∠B; (2)∠APC=∠ACB;,其中一定能使,△ ACP∽ △ABC,的是(,,),,(A) (1) (2) (3) (4) (B) (1) (2) (3),,(C

14、) (3)(5) (D) (1) (2) (4)(5),A,B,C,P,D,想想,&,说说,☞,·,,夯实,&,基础,☞,B,A,C,D,O,梯形,ABCD,的两条对角线相交于点,O,,找出图中的相似三角形,,,并说明理由,.,,,,,如果梯形,ABCD,是等腰梯形呢？,△AOB∽△COD,△AOB∽△COD,,△ABD∽△BAC,,△ACD∽△BDC,,,△AOD∽△BOC,,夯实,&,基础,☞,2.如图，四边形ABCD是平行四边形，图中有几对相似三角形？一一写出来。,,A,B,C,E,D,F,O,6对，分别是,,△ABE∽△DFE ∽△CFB,,△AB

15、C∽△CDA,,△AOB∽△COF,,,△AOE∽△COB,,3、如图，AD、BE是△ABC的高，交于点F，那么图中共有相似三角形〔 〕,,A．3对 B．4对,,C．5对 D．6对,D,夯实,&,基础,☞,,过△ABC的边AB上一点D作一条直线与另一边ＡＣ相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？请把它们一一作出来。,能力,&,提升,☞,,C,●,Ａ,Ｂ,D,,B,C,A,D,E,E,B,C,A,D,∴△ ADE∽ △ABC,∴△ AED∽ △ABC,∠AED=∠C(或DE∥BC),∠AＥＤ=∠Ｂ,作DE,使,作DE,使,,,,,又,∠ Ａ＝∠Ａ,又,∠ Ａ＝∠Ａ

16、,能力,&,提升,☞,●,●,,能力,&,提升,☞,,C,●,Ａ,Ｂ,D,过△ABC的边AB上一点D作一条直线,使它截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？请把它们一一作出来。,变式训练,过Rt△ABC的斜边AB上一点D作一条直线,使它截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？请把它们一一作出来。,,如图矩形ABCD是由三个正方ABEG,GEFH,HFCD组成的.图中的△AEF∽△CEA吗?,∴△AEF∽△CEA.,又∠AEF=∠CEA,A,B,C,D,E,F,G,H,能力,&,提升,☞,解：△AEF∽△CEA.理由如下:设小正方形的边长是1,由勾股定理得,,在某建筑工地上，有

17、 一种钢筋三角架，三边分 别是 20cm，50cm，60cm， 因工程需要，现急需做一 个与其相似的三角形钢筋架，而工地里只有两根长为30cm和50cm的钢筋，再去购置原料又来不及,只能是尽可能的使用现有的原料了，这该怎么办呢？,你能来帮帮他们吗？,学以,&,致用,☞,,解:,(1) 当30cm的钢筋作为第二个三角形,最长边,时，设另两边应为x cm，y cm，则应有： ，所以x＝10cm，y＝25cm.,,,(2) 当30cm的钢筋作为第二个三角形,中长边,时，设另两边应为x cm，

18、y cm，则应有： ，所以x＝12cm，y＝36cm.,,,(3) 当30cm的钢筋作为第二个三角形,最短边,时，设另两边应为x cm，y cm，则应有： ，所以x＝75cm，y＝90cm.,,而x＋y＞50这不可能，故,此情况不会发生,.,,,拓展练习,,A,B,C,M,D,E,F,N,相似三角形对应高的比与相似比的关系.,猜一猜:,相似三角形对应高的比等于相似比.,如图∵△ ABC∽ △DEF.,,∴,∠B = ∠E.,,又,∵,∠AMB = ∠DNE =90,0,.,,∴△ AMB∽ △DNE.,相似三角形对应高的比等于相似比,,,,拓展练习,,相似三角形对应角平分线的比与相似比的关系.,猜一猜:,相似三角形对应角平分线的比等于相似比,如图∵△ ABC∽ △DEF.,,∴,∠B = ∠E, ∠BAC= ∠EDF.,,又,∵AM,DN分别是,∠BAC和,,∠EDF的,角平分线,.,,,,,,∴,∠BAM=∠EDN.,,∴△ AMB∽ △DNE.,A,B,C,M,D,E,F,N,,