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1、单击此处编辑母版标题样式,,,*,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,矩阵与线性代数方程组,,线性方程的数值解,,矩阵分解,,矩阵求逆,,,线性方程组的矩阵表示,,n,阶线性方程组：,,,AX = B,,,,克莱姆法则,,Di,为第,i,列换成,B,后所得的行列式值,D,＝,det,（,A,）,运算速度慢,,解线性代数方程组,,消去法,,迭代法,,,一般线性方程的直接解法,,基本思想：用逐次消去未知数的方法把原方程组化为三角形方程组再求解 。,,高斯消去法,,高斯－约当消去法,,,高斯消去法,,消 元,回 代,归一化,,高斯－约当消去法,,消 元,归一化,,高斯
2、消去法的计算量,,消 元,回 代,归一化,,计算中的稳定性问题,,|,a,kk,|,计算时作分母,,当,|,a,kk,|,等于,0,时，运算中断,,当,|,a,kk,|,很接近,0,时，商损失精度或太大产生溢出。,,选主元,,作用：在高斯法和高斯－约当法中消除计算中的不稳定性。,,列选主元,,全选主元,,,列选主元,,当变换到第,k,步时，保证当前的主元素,a,kk,是第,k,列中,a,kk,以下元素中的绝对值最大者,交换列运算,,全选主元,当变换到第,k,步时，从系数矩阵的右下角（,n,－,k,＋,1,）阶子阵中选取绝对值最大的元素，然后通过行变换与列变换将它交换到主元素矩阵的位置上,交换行
3、和列,,程序：,MATLAB,实现,function X=,backsub(A,b,),,%A,是一个,n,阶上三角非奇异阵。,,%b,是一个,n,维向量。,,%X,是线性方程组,AX=b,的解。,,n=,length(b,);,,X=zeros(n,1);,,X(n,)=,b(n)/A(n,n,);,,for k=n-1:-1:1,,X(k,)=(b(k)-A(k,k+1:n)*X(k+1:n))/A(k,k);,,End,,function X=,uptrbk(A,b,),,%A,是一个,n,阶矩阵。,,%b,是一个,n,维向量。,,%X,是线性方程组,AX=b,的解。,,[N N]=,s
4、ize(A,);,,X=zeros(1,N+1);,,Aug=[A b];,,for p=1:N-1,,[,Y,j,]=,max(abs(Aug(p:N,p,)));,,C=,Aug(p,,:);,,,Aug(p,,:)=Aug(j+p-1,:);,,Aug(j+p-1,:)=C;,,程序：,MATLAB,实现,,if,Aug(p,p,)==0,,'A,是奇异阵，方程无惟一解,',,break,,end,,for k=p+1:N,,m=,Aug(k,p)/Aug(p,p,);,,Aug(k,p:N+1)=Aug(k,p:N+1)-m*Aug(p,p:N+1);,,end,,end,,%,这里用
5、到程序,8-1,中定义的函数,backsub,来进行回代。,,X=backsub(Aug(1:N,1:N),，,Aug(1:N,N+1),；,程序：,MATLAB,实现,,利用上面两个函数计算：,,矩阵分解,,矩阵的三角分解,,矩阵的,QR,分解,*,,矩阵求逆,,矩阵的三角分解,,设实矩阵,A,的各阶主子式,|,A,ii,|,不等于,0,，则可以对,A,进行如下分解：,,,A,＝,LU,,,其中：,,,L,－主对角线元素全为,1,的下三角矩阵（单位下三角矩阵）,,,U,－上三角矩阵,,矩阵的三角分解,,,矩阵的三角分解,,,利用三角分解解线性方程组,,,三角分解的要求,,,Matlab,实现,,A = rand(6),,[,l,u,p,] =,lu(A,),,矩阵求逆,,同线性代数书中的作法：原地工作法,,Matlab,语句：,,Inv,（,A,）：手算结果用,matlab,检验,考虑稳定性：全主元法,,公式：,P74,,,
矩阵与线性代数方程组
