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1、,,*,返回,后页,前页,,,,,,,,,,,,,,,,,教学目标：,掌握线性变换的三种运算及,,运算规律、可逆线性变换的逆变换的性质、,,线性变换的多项式,6.2 线性变换的运算,授课题目,：,6.2 线性变换的运算,授课时数：,2,学时,教学重点与难点：,三种运算及算律,,1,,一. 线性变换的三种运算,记号:,L,(,V,) 线性空间,V,的一切线性变换所,,组成的集合.,σ,∈,L,(,V,),σ,是,V,的一个线性变换.,设,σ,,,τ,∈,L,(,V,)，规定它们的和,σ,+,τ,为,,(,σ,+,τ,)(,α,)＝,σ,(,α,)+,τ,(,α,),,α,∈,
2、V,.,1 加法,则,σ,+,τ,也是,V,的一个线性变换.,2,,证,(σ+ τ)(,α,,+β)＝σ(,α,,+β)+ τ(,α,,+β),,＝(σ(,α,)+σ(β))+(τ(,α,)+τ(β)),,＝(σ(,α,)+τ(,α,))+(σ(β)+τ(β)),,＝(σ+τ)(,α,)+(σ+τ)(β)，,(,σ,+,τ,)(,k,α,)=,σ,(,k,α,)+,τ,(,k,α,),,=,kσ,(,α,)+,τ,(,k,α,)=,k,(,σ,(,α,)+,τ,(,α,)),,=,k,(,σ,+,τ,)(,α,).,,其中,α,,,β,是,V,中任意向量，,k,是,F,中的任意数.,3,,设
3、,σ,∈,L,(,V,),,k,∈,F,, 定义,k,与,σ,的数乘积,kσ,为,,(,kσ,)(,α,) =,kσ,(,α,),,α,∈,V,.,2 数乘,容易验证，,kσ,也是,V,的一个线性变换.,L,(,V,)中的加法与数乘运算满足线性空间的八条,,基本规律：,（2）,σ,+,τ,＝,τ,+,σ,；,4,,（3）,σ,+,θ,＝,σ,；,（4）对每个,σ,∈,L,(,V,)，定义它的负变换,-,σ,为,,(,-,σ,)(,α,)＝,-,σ,(,α,)，,α,∈,V,.,,容易证明，,-,σ,也是,V,的线性变换，且有,,,σ,+(,-,σ,)＝,θ,；,(5),k,（,σ,+,τ,）
4、=,kσ,+,k,τ,;,(6) (,k,+,l,),σ,=,kσ,+,lσ,;,(7) (,kl,) =,k,(,lσ,);,5,,其中,,σ,,,τ,,,∈,L,(,V,) ,,θ,是,V,的零变换，,k,,,l,∈,F,.,(8) 1,σ,=,σ,.,这说明,L,(,V,)对上面定义的加法和数乘法构成数,,域,F,上的一个线性空间.,还可规定,L,(,V,) 中的减法：,,σ,-,,τ,＝,σ,+（,-,τ,）．,6,,线性空间的线性变换作为映射的特殊情形可以,,定义乘法（映射的合成）.,则,στ,也是,V,的线性变换.,3 乘法,设,σ,,,τ,∈,L,(,V,)，定义它们的乘积
5、,στ,为,,στ,(,α,)＝,σ,(,τ,(,α,)),,α,∈,V,,7,,(,στ,)(,kα,)＝,σ,(,τ,(,kα,)),,＝,σ,(,kτ,(,α,)) ＝,kσ,(,τ,(,α,)),,＝,k,(,στ,)(,α,),证,对任意的,α,、,β,∈,V,，,k,∈,F,(,στ,)(,α,+,β,)＝,σ,(,τ,(,α,+,β,)),,＝,σ,(,τ,(,α,)+,τ,(,β,)),,＝,σ,(,τ,(,α,))+,σ,(,τ,(,β,)),,＝(,στ,)(,α,)+(,στ,)(,β,);,8,,1）结合律：,σ,（,τ,）,；,＝（,στ,）,2）对于,k,∈,F,，
6、有,,k,（,στ,）＝（,kσ,）,τ,＝,σ,（,kτ,）；,3）左、右分配律成立：,,σ,（,τ,+,）＝,στ,+,σ,（,σ,+,τ,）,＝,σ,+,τ,4）乘法有单位元,ι,，使,σι,＝,ισ,＝,σ,；,,与矩阵的乘法一样，线性变换的乘法满足：,9,,6）乘法有零因子存在，即由,στ,＝,θ,，,,不能断定必有,σ,＝,θ,或,τ,＝,θ,.,,因而，消去律不成立.,5）在一般情况下，,στ,≠,τσ,；,上面的,σ,，,τ,，,是,V,的线性变换，,θ,是,,零变换，,ι,是,V,的单位变换，,k,是,F,中的数.,10,,二,.,线性变换的逆变换,设,V,是数域,F,上的线
7、性空间，如果,σ,是,,V,的可逆线性变换，那么它的逆,σ,-,1,也是,V,,的,线性变换.,证,对任意的,α,，,β,∈,V,和,k,∈,F,，有,σ,-1,(,α,+,β,)=,σ,,-1,((,σ,,σ,,-1,))(,α,)+(,σ,,σ,,-1,(,β,)),,=,σ,,-1,(,σ,(,σ,,-1,(,α,)+,σ,,-1,(,β,))),,=,σ,,-1,σ,(,σ,,-1,(,α,)+,σ,,-1,(,β,))=,σ,,-1,(,α,)+,σ,,-1,(,β,).,11,,σ,-1,(,kα,)=,σ,-1,(,k,(,σσ,-1,)(,α,)),,=,σ,-1,(,σ,(,
8、kσ,-1,(,α,)),,=,σ,-1,σ,(,kσ,-1,(,α,)),,=,kσ,-1,(α).,三、线性变换的多项式,由三个线性变换的乘法的结合律成立，可推得,,n,(≥3)个线性变换乘法的结合律成立.,因此，我们可以合理地定义线性变换的n次幂:,,1,. 线性变换的,幂,12,,其中,,N,表示正整数集,ε为恒等变换.,设,f,(,x,) =,a,0,+,a,1,x,+…+,a,n,x,n,∈,F,[,x,],,σ,∈,L,(,V,),,,以,σ,代替,x,，以,a,0,ε,代替,a,0,，得到,V,的一个线性,,变换：,f,(,σ,)＝,a,0,ε,+,a,1,σ,+…+,a,n,
9、σ,n,,叫做,σ,的多项式.,2,. 线性变换的多项式,13,,如果在,F,［,x,］中，,u,(,x,) =,f,(,x,) +,g,(,x,),,,v,(,x,) =,f,(,x,),g,(,x,). 则,,u,(,σ,) =,f,(,σ,)+,g,(,σ,),,v,(,σ,) =,f,(,σ,),g,(,σ,).,例,对于,R,2,中的线性变换,σ,,,τ,,σ,(,x,,,y,) = ( 0 ,,x,) ,,τ,(,x,,,y,) = (,x,, 0 ),,(,x,,,y,) ∈,R,2,,,,求,στ,，,τσ,，,σ,-,3,τ,，,σ,2,和,τ,2,.,3,. 线性变换多项式
10、的可代入性,14,,τ,2,(,x,,,y,)=,τ,(,τ,(,x,,,y,))=(,x,, 0)=(,x,, 0).,解 对任意的(,x,,,y,) ∈,R,2,.,,στ,(,x,,,y,)=,σ,(,τ,(,x,,,y,))=,σ,(,x,, 0)=(0,,x,);,τσ,(,x,,,y,)=,τ,(,σ,(,x,,,y,))=,τ,(0 ,,x,)=(0 , 0);,(,σ,-,3,τ,)(,x,,,y,)=,σ,(,x,,,y,)+(,-,3,τ,) (,x,,,y,),,=(0 ,,x,),-,(3,x,, 0)=(,-,3,x,,,x,);,σ,2,(,x,,,y,)=,σ,(
11、,σ,(,x,,,y,))=,σ,(0 ,,x,)=(0 , 0);,15,,（3）,τσ,＝,σ,2,，,σ,≠,θ,，但,τ,≠,σ,，,,故线性变换的乘法不满足消去率.,（2）,τσ,＝,θ,，但,σ,≠,θ,，,τ,≠,θ,,，,,即线性变换的乘法有零因子.,（1）,στ,≠,τσ,，,,故线性变换的乘法不满足交换律.,从这个例子中我们可以看出：,16,,最后我们指出，由于在,L,(V)中引入了三种,,运算，,L,(,V,)中一些较复杂的线性变换可以用较,,简单的线性变换表示，正如一些较复杂的函数,,可通过函数的运算用初等函数表示一样.,习题 6.2,,1.设,σ,、,τ,是线性空间,F,［,x,］的线性变换，,,σ,(,f,(,x,))＝,f′,(,x,),,τ,(,f,(,x,))＝,x f,(,x,)，,f,(,x,) ∈,F,［,x,］. 证明：（1）,στ,≠,τσ,，（2）,στ,-,τσ,＝,ε,.,17,,2.设,σ,,,τ,为线性空间V的两个线性变换.证明：,,如果,στ-τσ,=,ι,，则对任意自然数,n,都有,,σ,n,τ-τσ,n,=nσ,n-1,.,,3.设,σ,∈,L,(,V,).如果,σ,k,-1,(,α,) ≠0.但,σk,(,α,)=0.,,证明：,α,,,σ,(,α,), …,,σ,k,-1,(,α,)(,k,>0)线性无关.,18,,
教学目标掌握线性变换的三种运算及
