建模课件代数部分

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,代数部分,交作业邮箱：,,,1,,多项式的表达与计算,多项式的表达,用多项式的系数组成的行向量来表达多项式，如果有缺项，输入时用0作为缺项的系数。,,例 输入多项式,,p=[1 0 2 3 9],,以惯用的方式表示上述多项式,,y=poly2str(p,'x'),2,,多项式的运算,多项式a与b之和、差：a+b, a-b （a, b表示多项式对应的系数向量）,,,多项式a与b乘积：conv(a,b),,,,多项式a除以b：[q,r]=deconv(a,b) 商是q, 余式是r,3,,例

2、 求两个多项式的和、差、乘积和除法运算，并用习惯形式表达,a=[1 7 16 18 8];,,b=[0 0 0 1 3];,,a+b,,y1=poly2str(a+b,'x'),,a-b,,y2=poly2str(a-b,'x'),,conv(a,b),,[q,r]=deconv(a,b),如果改成下述命令呢？,,a=[1 7 16 18 8];,,b=[1 3];,4,,计算多项式a的变量在点x处的值：,polyval(a,x),，x可以是向量，也可以是矩阵，计算结果是与x同维的向量或矩阵。,例 求多项式3*x^2+2*x+1在x=1,4,5,8时的值,,p=[3,2,1];,,x=[1

3、,4,5,8];,,polyval(p,x),5,,对有理分式求导数：,,[num, den]=polyder(p1,p2),,p1,是有理分式的分子，,p2,是有理分式的分母，,num,是导数的分子，,den,是导数的分母。,例 p1=[1 1 -6 2 0 4],,p2=[1 4 1 -7],,[num, den]=polyder(p1,p2);,,d1=poly2str(num,'x'),,d2=poly2str(den,'x'),6,,代数式的符号运算,factor(s):,对s定义的多项式因式分解,,expand(s),对s定义的多项式展开,,collect(s,x),对s定义的

4、多项式中x的同类项合并,,simple(s),对s定义的多项式化简,,subs(s,'old','new'),用变量old替换new后，s的结果,7,,例 对多项式a^3-b^3进行因式分解,,s=sym('a^3-b^3 '),,y=factor(s),例 设多项式s=(1+2*x-y)^2,求其展开的多项式，并按y的幂次合并形式展开多项式,,s=sym('((1+2*x-y)^2)'),,p=expand(s),,collect(p,'y'),8,,例 对多项式x^3-6*x^2+11*x-6进行因式分解，并求x=1时的函数值,,s=sym('x^3-6*x^2+11*x-6'),,y=f

5、actor(s),,z=subs(s,'x','1'),,vpa(z) %给出数值型计算结果,9,,求多项式方程的根,roots(p),求多项式p的所有的根,,solve(s,x),对方程s关于变量x求解,,[x1,x2,…,xn]=solve(s1,s2,…sn,x1,x2,…,xn),,,对n个方程s1,s2,…sn的指定变量x1,x2,…,xn求解，并将结果赋给x1,x2,…,xn。,10,,例 求方程组,的解,syms x y,,s1=x+3*y;,,s2=x^2+y^2-1;,,[x,y]=solve(s1,s2,x,y),11,,例 求方程x^5+x^4-4*x^3+9

6、*x-10的所有根,,p=[1 -4 0 9 -10],,r=roots(p),,或者,,s=sym('x^4-4*x^3+9*x-10=0'),,y=solve(s),,double(y),12,,矩阵的建立,逐个元素输入；编辑器创建；导入到Matlab；,,（其它方法）一维数组,,a=1:0.1:10,,b=linspace(1,10,100)%线性采样法,,c=1:-0.1:0,,d=logspace(0,3,4)%对数采样法,,f=logspace(1,2,5),,x=[] %建立一个空矩阵,13,,生成单位矩阵、零矩阵、元素全为1的矩阵、对角矩阵,,,eye(3); eye(3,4

7、);zeros(3,4);zeros(3);,,ones(3);ones(3,4) ;,a=[1 2 3 4 5],,diag(a),,diag(a,1),,diag(a,2),,diag(a,-2),14,,提取矩阵的对角线元素,设A为m×n矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。diag(A)函数还有一种形式diag(A,k)，其功能是提取第k条对角线的元素。,,15,,例 先建立5×5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,2

8、2;10,12,19,21,3;...11,18,25,2,19];D=diag(1:5);D*A %用D左乘A，对A的每行乘以一个指定常数,16,,产生0～1间均匀分布的随机矩阵,rand(2,4),,产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵,,randn(3,5),,生成随机排列向量,,randpem(6),17,,用于专门学科的特殊矩阵,(1) 魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,…,n,×n,共n,×n,个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数,magic(n),

9、，其功能是生成一个n阶魔方阵。,18,,例 将101-125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。M=100+magic(5),19,,(2) 范得蒙矩阵范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中，函数,vander(V),生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。例如，A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩阵。,20,,,(3) 伴随矩阵MATLAB生成伴随矩阵的函数是,compan(p),，其中p是一个多项

10、式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。,,例 为了求多项式的x3-7x+6的伴随矩阵，可使用命令：p=[1,0,-7,6];compan(p),21,,查询,,a=[2 3 5 0 9 6 7 8],,a(3),,a([1 4]),,a(4:end),,a(3:-1:1)%由前三个元素倒排,,a(find(a>7))%查询大于7的所有元素,,a(2)=16,,a([1 3 6])=[1 34 67],,size(a),22,,b=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12],,b(3, 1),,b(3)%查询第三个元素（以列的顺序）,,b(3,:),,b(:,3),,

11、b(:)%把矩阵的每列以左右为次序，首尾相连成一个列向量,,b([2 4; 5 6]),,b([2 4]),,b(find(b>7)),b(:,1:3),,b(2,1:3),23,,求向量的最大和最小值,y=max(X),,返回向量,X,的最大值存入,y,，,如果,X,中包含复数元素，则按模取最大值。,,[y,I]=max(X),,返回向量,X,的最大值存入,y,，,最大值的序号存入,I,，,如果,X,中包含复数元素，则按模取最大值。,,求向量,X,的最小值的函数是,min(X),，,用法和,max(X),完全相同。,24,,例,已知x=[-43,72,9,16,23,47]， 求向量x

12、的最大值和最小值。,y=max(x) %求向量x中的最大值,,[y,l]=max(x) %求向量x中的最大值及其该元素的位置,,z=min(x) %求向量x中的最小值,,[z,m]=min(x) %求向量x中的最小值及其该元素的位置,25,,,max(A),,,,返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。,,,[Y,U]=max(A),,,,返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。,求矩阵最小值的函数是,min,，其用法和max完全相同。,求矩阵元素的最大值和最小值,26,,矩阵的基本运算,矩阵的加、减、数乘、乘、转置、逆运算

13、、矩阵乘幂分别为,,a+b;a-b;k*a;a*b;a';transpose(a);,,inv(a);a^(-1);a^n,计算方阵的行列式、求矩阵的秩、矩阵行变换化简、矩阵的迹分别为,,det(a); rank(a); rref(a)； trace(a),,它们都符合矩阵的运算规律。,27,,矩阵除法在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：\和/，分别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵，则A\B和B/A运算可以实现。A\B等效于A的逆左乘B矩阵，也就是inv(A)*B，而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵，也就是B*inv(A)。对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，如3/4和4\

14、3有相同的值，都等于0.75。又如，设a=[10.5,25]，则a/5=5\a=[2.1000 5.0000]。对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般A\B≠B/A。,28,,矩阵的伪逆如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A‘同型的矩阵B，使得：A·B·A=AB·A·B=B此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。,29,,例,,a=[1,2,3],,b=[1,2,3],,a+b,,a-b,,a',,试试下列命令,,a*

15、b,,inv(a),,a.*b,,a'*b,,a*b',例,,a=[1,2;3,4],,b=[1,2;1 2],,a*b,,inv(a),,a/b %ab-1,,a\b %a-1b,30,,例,计算行列式,syms a b c d,,D=[a b c d;a a+b a+b+c a+b+c+d;,,a 2*a+b 3*a+b+c 4*a+3*b+2*c+d;,,a 3*a+b 6*a+b+c 10*a+6*b+3*c+d];,,det(D),31,,解线性方程组,求逆法,,对于线性方程组Ax=B，或者xA=B，如果A是可逆方阵，则可直接求出。,例 解下列方程组,A=[1 2 3;1

16、3 5;1 3 6],,b=[2 4 5]',,x=inv(A)*b,,x=A\b,32,,练习,,解方程组,,33,,A=[2 2 -1 1;4 3 -1 2;8 3 -3 4;3 3 -2 -2];,,b=[4 6 12 6]';,,x=inv(A)*b,,执行结果为：,,x =,,0.6429,,0.5000,,-1.5000,,0.2143,,由执行结果可知方程组的解为：,,0.6429 0.5000 -1.5000 0.2143 。,34,,例 求矩阵X，使满足：AXB = C。,A=[1 2 3;2 2 1;3 4 3];,,B=[2,1;5 3];,,C=[1 3;2 0

17、;3 1];,,X=A\C/B,35,,初等变换法,,通过对系数矩阵、增广矩阵进行行初等变换来求解。,例 求非齐次方程的解,A=[2 3 1;1 -2 4;,,3 8 -2; 4 -1 9],,B=[4;-5;13;-6],,b=([A,B]),,rref(b),36,,对于齐次线性方程组，还可以用下述命令求解,null,例 求方程组的解,A=[1 -2 3 -4; 0 1 -1 1; -1 0 -1 2; 1 -3 4 -5],,a=null(A),试试看：,a=null(A,'r'),37,,矩阵的特征值与特征向量,,poly(A),求矩阵A的特征多项式,,d=eig(A),方阵A的

18、全部特征值组成列向量d,,[V,D]=eig(A),得到一个矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D，矩阵V的列是相应的特征向量，满足AV=VD。,,注意：这三条指令求出的是数值解，并不是解析解。,38,,例 求矩阵 的特征多项式，特征值，特征向量,A=[1,-1;2,4],,p=poly(A),,,poly2str(p,'x'),,[V,D]=eig(A),39,,矩阵的对角化,,代数中的结论：如果n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A与对角矩阵相似；如果A是实对称矩阵，则必有可逆矩阵P，使得，其中B是以A的特征值为对角元素的对角矩阵，P可由A的线性无关的特征向量得到，实际上，对于实

19、对称矩阵来说，其n个互异的特征值对应的特征向量组成的是正交矩阵。,40,,例 求矩阵P，将下述矩阵A对角化，并求,A=[4 6 0; -3 -5 0; -3 -6 1],,[p,d]=eig(A),p*d^10*inv(p),41,,例 求正交矩阵P，将下述矩阵A对角化,,A=[2 -2 0; -2 1 -2; 0 -2 0],,[p,d]=eig(A),p*p',p^(-1)*A*p,p‘*A*p的输出结果呢？,42,,例 判断下述二次型 的类型（正定、负定、半正定、半负定），并将其化为标准形，,A=[-5 2 2; 2 -6 0; 2 0 -4],,[p,d]=eig(A),43

20、,,例 用求特征值的方法解方程:3x,5,-7x,4,+5x,2,+2x-18=0,,p=[3,-7,0,5,2,-18];A=compan(p); %A的相伴矩阵(友矩阵)x1=eig(A) %求A的特征值x2=roots(p) %直接求多项式p的零点,44,,同型的向量或矩阵比较,U=max(A,B),,,A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。,U=max(A,n),,,n,是一个标量，结果,U,是与,A,同型的向量或矩阵，,U,的每个元

21、素等于,A,对应元素和,n,中的较大者。,min,函数的用法和,max,完全相同。,,45,,例 分析下列程序的功能。,x=[4 5 6;1 4 8];,,y=[1 7 5;4 5 7];,,p=max(x,y) ;,,p,分析：,取两个2×3的二维数组x和y同一位置上的元素值大者构成一个新矩阵p。,46,,平均值和中值,求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值的函数是median。,mean(X),,,返回向量,X,的算术平均值。,median(X),,,,返回向量,X,的中值。,mean(A),,,,返回一个行向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,列的算术平均值。,47,,med

22、ian(A),,返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的中值。,mean(A,dim),,,,当,dim,为,1,时，该函数等同于,mean(A),；当,dim,为,2,时，返回一个列向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,行的算术平均值。,median(A,dim),,,,当,dim,为,1,时，该函数等同于,median(A),；当,dim,为,2,时，返回一个列向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,行的中值。,48,,例,已知x=[1 8 4 2;9 6 2 5;3 6 7 1]，从不同维方向求出其平均值和中值。,median(x),,median(x,1),,%按列方向，求数组的中

23、值,median(x,2),,%,按行方向，求数组的中值,mean(x),,mean(x,1),,%,按列方向,，,求数组的平均值,mean(x,2),,%,按行方向,，,求数组的平均值,49,,求和与求积,sum(X),,,,返回向量X各元素的和。,prod(X),,,,返回向量,X,各元素的乘积。,设A是一个矩阵，函数的调用格式为：,sum(A),,,返回一个行向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,列的元素和。,prod(A),,,返回一个行向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,列的元素乘积,。,50,,sum(A,dim),,,当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时

24、，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。,prod(A,dim),,,,当,dim,为,1,时，该函数等同于,prod(A),；当,dim,为,2,时，返回一个列向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,行的各元素乘积。,,51,,例,已知,x=[4 5 6;1 4 8]，分析矩阵x的每行、每列元素的乘积和全部元素的乘积。,sum(x),,sum(x,1),,,%求数组各列元素的和,,sum(x,2),,%求数组各行元素的和,,sum(sum(x)),,%求数组所有元素的和,52,,prod(x),,prod(x,1),,%求数组各列元素的乘积,,,prod(x,2),,%求数组

25、各行元素的乘积,,,prod(prod(x)),,%求数组所有元素的乘积,53,,累加和与累乘积,cumsum(X),,,,返回向量X累加和向量。,,cumprod(X),,返回向量X累乘积向量。,,cumsum(A),,,返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量。,54,,cumprod(A),,,,返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积向量。,cumsum(A,dim,),,,,当,dim,为,1,时，该函数等同于,cumsum(A,),；当,dim,为,2,时，返回一个矩阵，其第,i,行是,A,的第,i,行的累加和向量。,cumprod(A,dim,),,,当,dim,为,1,

26、时，该函数等同于,cumprod(A,),；当,dim,为,2,时，返回一个向量，其第,i,行是,A,的第,i,行的累乘积向量。,55,,例 已知a = [1 2 3; 3 9 6; 4 10 8; 4 0 7]，求矩阵a的每行、每列元素的乘积和全部元素的累加和。,cumsum(a),,%求矩阵的各列元素的累加和,,cumsum(a,2),,%求矩阵的各行元素的累加和,,cumprod(a),,cumprod(a,1),,%求矩阵的各列元素的累乘积,,cumprod(a,2),,%求矩阵的各行元素的累乘积,56,,矩阵的分解,1 LU分解,,[L,U]=lu(A),,求上三角矩阵U和交换

27、下三角矩阵L，使LU=A。,,[L,U,P]=lu(A),,求上三角矩阵U、有单位对角线的下三角矩阵L和交换矩阵P，满足LU=PA。,57,,对三阶魔方矩阵作LU分解。,[L,U]=lu(magic(3)),,为验证结果的正确性，用语句：,,L*U,58,,求方程组的一个特解。,59,,qr因式分解,[Q,R]=qr(A),,,,求得m×m的矩阵Q和上三角矩阵R，Q的列形成了一个正交基，Q和R满足A=Q×R。,,[Q,R,P]=qr(A),,,求矩阵Q、上三角矩阵R和交换矩阵P。Q的列形成一个正交基，R的对角线元素按大小降序排列，它们满足A×P=Q×R。,60,,对矩阵作qr因式分解。,a=[2 5 4;5 2 1;4 1 8];,,[Q,R]=qr(a),,[Q,R,P]=qr(A),61,,