第3讲 插值

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,数 学 实 验,,插 值,,1,,实验目的,实验内容,2,、掌握,Matlab,求解插值问题的方法。,1,、了解插值的基本内容。,[1],一维插值,[2],二维插,值,[3],实,验作业,,2,,拉格朗日插值,分段线性插值,三次样条插值,一 维 插 值,一、,插值的定义,二、插值的方法,三、用,Matlab,解插值问题,返回,,3,,返回,二 维 插 值,一、,二维插值定义,二、,网格节点插值法,三、,用,Matlab,解插值问题,最邻近插值,分片线性插值,双线性插值,网格节点数据的

2、插值,散点数据的插值,,4,,一维插值的定义,已知,n+1,个节点,其中,互不相同，不妨设,求任一插值点,处的插值,,,,,,,节点,(x,i,,,y,i,),可视为由,产生，,表达式复杂,，,或无封闭形式,,,或未知。,,,,5,,构造一个,(,相对简单的,),函数,通过全部节点,,,即,再用,计算插值，即,,,,,,,,,返回,,6,,,称为,拉格朗日插值基函数（插值基函数）,。,已知函数,f,(,x,),在,n,+1,个点,x,0,,,x,1,,…,,x,n,处的函数值为,y,0,,,y,1,,…,,y,n,,。,求一,n,次多项式函数,P,n,(,x,),，,使

3、其满足：,,,P,n,(,x,i,)=,y,i,,,i,=0,1,…,,n,.,,解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下,其中,L,i,(,x,),为,n,次多项式：,拉格朗日,(Lagrange),插值,,7,,特别地,:,两点一次,(,线性,),插值多项式,:,,三点二次,(,抛物,),插值多项式,:,用,P,n,(x,),计算插值的方法称为拉格朗日多项式插值。,,8,,拉格朗日多项式插值的,,这种振荡现象叫,Runge,现象,采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数,n,+1,，,其中,n,为插值多项式的次数，当,n,分别取,2,4,6,8,10,时，绘出插值结果图形,.,例,返回,

4、To,Matlab,,lch(larg1),,9,,,10,,分段线性插值,计算量与,n,无关,;,,n,越大，误差越小,.,,,,,,,x,j,x,j-1,x,j+1,x,0,x,n,x,o,y,,11,,To MATLAB,,xch11,，,xch12,，,xch13,，,,xch14,返回,例,用分段线性插值法求插值,,,并观察插值误差,.,1.,在,[-6,6],中平均选取,5,个点作插值,(xch11),4.,在,[-6,6],中平均选取,41,个点作插值,(xch14),2.,在,[-6,6],中平均选取,11,个点作插值,(xch12),3.,在,[-6,6],中平均

5、选取,21,个点作插值,(xch13),,12,,x=linspace(-6,6,100);,,y=1./(x.^2+1);,,x1=linspace(-6,6,5);,,y1=1./(x1.^2+1);,,plot(x,y,x1,y1,x1,y1,'o','LineWidth',,,1.5),,,gtext('n=4'),,,13,,,,,14,,x=linspace(-6,6,100);,,y=1./(x.^2+1);,,x1=linspace(-6,6,11);,,y1=1./(x1.^2+1);,,plot(x,y,x1,y1,x1,y1,'o','LineWidth',1.5),,,

6、gtext('n=10'),,,15,,,,,16,,load xyz,,meshz(x,y,z),rotate3d,,xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z,'),,hold on;,,plot3(2000,2800,1100,'c.',0,800,650,'r.',4000,2000,950,'r.',2000,4000,1320,'r.','MarkerSize',30);,,17,,,,,18,,x=linspace(-6,6,100);,,y=1./(x.^2+1);,,x1=linspace(-6,6,21);,,y1=1./(x1.^2+1);,,pl

7、ot(x,y,x1,y1,x1,y1,'o','LineWidt,,',1.5),,,gtext('n=20'),,,19,,,,,20,,比分段线性插值更光滑。,,,,,,,,,,x,y,x,i-1,x,i,a,b,,在数学上，光滑程度的定量描述是：函数,(,曲线,),的,k,阶导数存在且连续，则称,该曲线具有,k,阶光滑性,。,,光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。,三次样条插值,,21,,三次样条插值,g,(,x,),称为插值函数。,,22,,例,用三次样条插值选取,11,个基点计算插值,(,yc

8、h,),返回,To MATLAB,,ych(larg1),,23,,,,,24,,用,MATLAB,作插值计算,一维插值函数：,y,i,=interp1(x,，,y,，,x,i,，,'method'),插值方法,被插值点,插值节点,x,i,处的插值结果,‘,nearest’,：,最邻近插值,,‘,linear’,：,线性插值；,,‘,spline,’,：,三次样条插值；,,‘,cubic’,：,立方插值。,,缺省时： 分段线性插值。,,注意：所有的插值方法都要求,x,是单调的，并且,x,i,不能够超过,x,的范围。,,25,,例：在,1-12,的,11,小时内，每隔,1,小时测量一次温度，

9、测得的温度依次为：,5,，,8,，,9,，,15,，,25,，,29,，,31,，,30,，,22,，,25,，,27,，,24,。试估计每隔,1/10,小时的温度值。,To MATLAB,,(temp),hours=1:12;,,temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24];,,h=1:0.1:12;,,t=interp1(hours,temps,h,‘spline’); (,直接输出数据将,,是很多的,),,plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:') %,作图,,xlabel('Hour'),ylabel(

10、'Degrees,Celsius’),,26,,,,,27,,,,,,,,,,,x,y,机翼下轮廓线,例 已知飞机下轮廓线上数据如下，求,x,每改变,0.1,时的,y,值。,To MATLAB(plane),返回,,28,,,,,29,,二维插值的定义,,,,,,,,,,,,,,,,x,y,O,第一种（网格节点）：,,30,,,已知,m,,n,个节点,其中,互不相同，不妨设,构造一个二元函数,通过全部已知节点,,,即,再用,计算插值，即,,31,,第二种（散乱节点）：,,,,,,,,,,,,,,,,y,x,0,,3

11、2,,已知,n,个节点,其中,互不相同，,构造一个二元函数,通过全部已知节点,,,即,再用,计算插值，即,返回,,33,,注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值,。,最邻近插值,x,,,,,,,,,,,,,,,,y,(,x,1,,,y,1,),(,x,1,,,y,2,),(,x,2,,,y,1,),(,x,2,,,y,2,),O,二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值即为所求。,返回,,34,,将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：,分片线性插值,x,y,,,,,,,,,,,,,

12、,,,(,x,i,,,y,j,),(,x,i,,,y,j,+1,),(,x,i,+1,,,y,j,),(,x,i,+1,,,y,j,+1,),O,f,(,x,i,,,y,j,)=,f,1,，,f,(,x,i,+1,,,y,j,)=,f,2,，,f,(,x,i,+1,,,y,j,+1,)=,f,3,，,f,(,x,i,,,y,j,+1,)=,f,4,,35,,插值函数为：,第二片,(,上三角形区域,),：,(,x,,,y,),满足,插值函数为：,注意：,(,x,,,y,),当然应该是在插值节点所形成的矩形区域内。显然，分片线性插值函数是连续的；,分两片的函数表达式如下,：,第一片,(,下三

13、角形区域,),：,(,x,,,y,),满足,返回,,36,,双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。,,双线性插值函数的形式如下：,其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正好确定四个系数。,双线性插值,x,,,,,,,,,,,,,,,,y,(,x,1,,,y,1,),(,x,1,,,y,2,),(,x,2,,,y,1,),(,x,2,,,y,2,),O,返回,,37,,要求,x0,y0,单调；,x,，,y,可取,为矩阵，或,x,取行向量，,y,取为列向量，,x,y,的值分别不能超出,x0,y0,的范围。,z=inte

14、rp2(x0,y0,z0,x,y,’method’),被插值点,插值方法,用,MATLAB,作网格节点数据的插值,插值节点,被插值点的函数值,‘,nearest’,最邻近插值,,‘,linear’,双线性插值,,‘,cubic’,双三次插值,,缺省时,,,双线性插值,,38,,例：测得平板表面,3*5,网格点处的温度分别为：,82 81 80 82 84 79 63

15、 61 65 81 84,84,82 85 86,试作出平板表面的温度分布曲面,z=f(x,y),的图形。,输入以下命令：,,x=1:5;,,y=1:3;,,temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86];,,mesh(x,y,temps),1.,先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图,.,2,．,以

16、平滑数据,,,在,x,、,y,方向上每隔,0.2,个单位的地方进行插值,.,,39,,再输入以下命令,:,,xi=1:0.2:5;,,yi,=1:0.2:3;,,zi,=interp2(x,y,temps,xi',yi,'cubic');,,mesh(xi,yi,zi,),,画出插值后的温度分布曲面图,.,To MATLAB,,(,wendu,),,40,,,,,41,,,,,42,,通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插值效果进行比较。,To MATLAB (,moutain,),返回,,43,,,,,44,,,,,45,,,,,46,,,,,47,,,,,48,,,插

17、值函数,griddata,格式为,:,,cz,,=,griddata,（,x,，,y,，,z,，,cx,，,cy,，‘,method’,）,用,MATLAB,作散点数据的插值计算,要求,cx,取行向量，,cy,取为列向量,。,被插值点,插值方法,插值节点,被插值点的函数值,‘,nearest’,最邻近插值,,‘,linear’,双线性插值,,‘,cubic’,双三次插值,,'v4'-,Matlab,提供的插值方法,,缺省时,,,双线性插值,,49,,例 在某海域测得一些点,(x,y),处的水深,z,由,下表给出，船的吃水深度为,5,英尺，在矩形区域（,75,，,200,）*（,-50,，,150,）里的哪些地方船要避免进入。,,50,,,,,,,To MATLAB,hd1,返回,4.,作出水深小于,5,的海域范围,,,即,z=5,的等高线,.,,51,,实验作业,山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表：,(,平面区域,1200<=x<=4000,1200<=y<=3600),，,试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。,返回,,52,,