热点总结与强化训练二

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1、热点总结与强化训练(二),热点1,三角恒等变换,,,,1.本热点在高考中的地位,,三角恒等变换是每年高考必考的一个知识点，是综合考查三角函数的图象性质、三角恒等变换的技巧方法的重要载体，其中利用三角关系式、恒等式化简函数解析式，进一步研究函数性质是高考热点.,2.本热点在高考中的命题方向及命题角度.,,从高考来看，对三角恒等变换的考查，主要有以下几种方式：,,(1)填空题中，利用三角恒等变换化简求值或求角.,,(2)解答题中，利用三角恒等变换化简函数解析式，进而研究函数y=Asin(ωx+,φ,)的有关性质.,,(3)解答题中，与正、余弦定理结合，解三角形.,,(4)解答题中，往往与平面向量相

2、结合.,1.两角和(差)的正弦、余弦、正切公式：,,sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ,,cos(α±β)=cosαcosβ,,sinαsinβ,,tan(α±β)=,2.二倍角公式:,,sin2α=2sinαcosα,,cos2α=cos,2,α,-sin,2,α,=2cos,2,α,-1=1-2sin,2,α,,tan2α=,,3.,公式的逆用和变形用：,,asinα+bcosα=,其中,tan,φ,=,,cos,2,α,=,,sin,2,α,=,本专题中，公式的灵活应用至关重要，在备考时，要加强,,对公式的记忆，弄清各公式之间的联系和区别，注意角的配凑,,技巧，如

3、 等.,1.(2011·北京高考)已知函数f(x)=,,(1)求f(x)的最小正周期；,,(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.,,【解题指南】,(1)先把 展开，再降幂化简；,,(2)求出角的范围是解题的关键.,,【解析】,(1)因为f(x)=,,,,,,,所以f(x)的最小正周期为π.,(2)因为 所以,,于是，当 即x= 时，f(x)取得最大值2；,,当 即x= 时，f(x)取得最小值-1.,2.(2011·江西高考)在△ABC中，角A，B，C

4、的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-,,(1)求sinC的值；,,(2)若a,2,+b,2,=4(a+b)-8,求边c的值.,,【解题指南】,(1)先利用倍角公式把sinC,cosC用 表示，再利用 =1-sinC求解；(2)由a,2,+b,2,=4(a+b)-8求a,b，再利用余弦定理求解.,【解析】,(1)已知sinC+cosC=1-,,,整理即有：,,,又C为△ABC中的角，,,,(2)∵a,2,+b,2,=4(a+b)-8,,∴a,2,+b,2,-4a-4b+4+4=0⇒(a-2),2,+(b-2),2,=0⇒a=2,b=2,,,又

5、,∵,cosC=,,∴c=,3.(2011·,湖南高考,),在△,ABC,中，角,A,B,C,所对的边分别为,a,b,c,且满足,csinA=acosC.,,(1),求角,C,的大小；,,(2),求 的最大值，并求取得最大值时角,A,B,的大小．,【解析】,(1),由正弦定理得,sinCsinA=sinAcosC.,,因为,00.,从而,sinC=cosC.,,又,sinC≠0,,所以,cosC≠0,,所以,tanC=1,,则,C=,(2),由,(1),知,B=,于是,,,,,从而当,,即,A=,时， 取最大值,2,．,,

6、综上所述， 的最大值为,2,，此时,A= B=,4,．已知函数,f(x)=2cos2x+sin,2,x-4cosx.,,(1),求,,的值；,,(2),求,f(x),的最大值和最小值,.,【,解析,】,(1),,,(2)f(x)=2(2cos,2,x-1)+(1-cos,2,x)-4cosx,,=3cos,2,x-4cosx-1,,,因为,cosx∈,［,-1,1,］,,,,所以，当,cosx=-1,时，,f(x),取最大值,6,；,,当 时，f(x)取最小值,5.△ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，,,cosA=,,(1)

7、求,,(2)若c-b=1，求a的值.,,【解析】,由cosA= 得sinA=,,又 ∴bc=156.,,(1),,(2)a,2,=b,2,+c,2,-2bccosA=(c-b),2,+2bc(1-cosA)=1+2×156×,,∴a=5.,6.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.,,(1)求A的大小；,,(2)若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状.,【解析】,(1)由已知，根据正弦定理得2a,2,=(2b+c)b+(2c+b)c，即a,2,=b,2,+c,2,+bc,,由余弦定理得a

8、,2,=b,2,+c,2,-2bccosA,,故,cosA= A=120°,,(2),由,(1),得,sin,2,A=sin,2,B+sin,2,C+sinBsinC.,,又,sinB+sinC=1,，得,sinB=sinC=,,因为0°

9、向量数量积的考查主要有以下几种方式：,,(1)数量积的计算：主要有两种：图形中计算,a·b,=,,|,a,||,b,|cosθ(θ为,a,与,b,的夹角)；坐标形式计算,a·b,=x,1,x,2,+y,1,y,2,(其中,a,=(x,1,,y,1,),,b,=(x,2,,y,2,)).,,(2)利用数量积求角：考查 的应用.,,(3)利用数量积求模：|,a,|,2,=,a,·,a,.,,(4)与三角函数、解三角形结合.,1.数量积的定义：设,a,与,b,的夹角为θ，则,a,·,b,=|,a,||,b,|cosθ，其几何意义为|,a,|与|,b,|在,a,方向上的投影的积，满足

10、交换律和数乘结合律、分配律.,,2.数量积的运算：向量形式下，关键是确定|,a,|，|,b,|及,a,与,b,的夹角.坐标形式下，是对应坐标乘积的和.,,3.数量积的应用：把定义式变形，可得cosθ=,,在备考中要理解数量积的概念和运算法则，把握数量积的几何意义，掌握数量积在解决垂直、夹角、长度等方面的应用，并且加强对数量积与直线、三角函数、圆锥曲线、数列等知识的综合问题的训练.,1.(2011·安徽高考)已知向量,a,，,b,满足(,a,+2,b,)·(,a,-,b,)=－6，且|,a,|=1，|,b,|=2，则,a,与,b,的夹角为______.,,【解题指南】,由(,a,+2,b,)·(

11、,a,-,b,)=－6，且|,a,|=1，|,b,|=2，求出,a,·,b,是解答本题的关键.,【解析】,因为(,a,+2,b,)·(,a,-,b,)=-6，所以,a,2,+,a,·,b,-2,b,2,=-6,,,即1,2,+,a,·,b,-2×2,2,=-6,,,所以,a,·,b,=1,cos〈,a,，,b,〉= 故〈,a,,,b,〉=60°.,,答案：,60°,2.(2011·江西高考)已知两个单位向量,e,1,，,e,2,的夹角为 若向量,b,1,=,e,1,-2,e,2,，,b,2,=3,e,1,+4,e,2,，则,b,1,·,b,2,=______.,,【解题指

12、南】,把,b,1,，,b,2,直接代入计算,b,1,·,b,2,.,【解析】,b,1,·,b,2,=(,e,1,-2,e,2,)·(3,e,1,+4,e,2,),,=3,e,1,2,-2,e,1,·,e,2,-8,e,2,2,,=3-2×1×1×,,答案：,-6,3.(2011·大纲版全国卷)设向量,a,，,b,,,c,满足|,a,|=|,b,|=1，,a,·,b,=,,〈,a,-,c,,,b,-,c,〉=60°,则|,c,|的最大值等于( ),,,【解析】,选A.如图，构造,,∠BAD=120°,∠BCD=60°,,,所以A、B、C、D四点共圆，,,可知当线段AC为直径时，|,c,|最大

13、，最大值为2.,4.若向量,a,=(1,1)，,b,=(2，5)，,c,=(3，x)满足条件(8,a,-,b,)·,c,=30，则x=( ),,(A)6 (B)5 (C)4 (D)3,,【解析】,选C.8,a,-,b,=8(1,1)-(2,5)=(6,3)，所以(8,a,-,b,)·,c,=,,(6,3)·(3,x)=30.即：18+3x=30,解得：x=4，故选C.,5.(2012·广州模拟)在四边形ABCD中，,,则四边形ABCD的面积是______.,【解析】,∵ 表示与 同向的单位向量.,,又,,∴BD为∠ABC的平分线,,∴四边形ABCD为菱形.,,其边长为 且对角线BD等于边长的 倍，,,即BD=,所以cos∠BAD=,,故sin∠BAD=,,,答案:,6.已知平面向量 则 的值,,是______.,,【解析】,由题意可知 结合 解得,,所以 开方可知答案为,,答案：,7.如图，在△ABC中,AD⊥AB,,,则,,【解析】,由已知得,：,,,,答案：,