2022中考数学第二部分专题突破专题七实践操作与探究课件20220623237

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1、单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2022/6/23,,‹#›,,类型一,展示问题解决，逐步推进，探究解题过程,,专题七 实践、操作与探究,,,目,录,,,类型二,展示操作过程，在操作中探究解题过程,,,展示问题解决，逐步推进，探究解题过程,,一,,探索研究性问题往往需要仔细理解题意,,,问题安排由易到难,,,解题方法承上启下,,,逐步引导学生思考新的问题,,,大胆进行分析、推理和归纳,,,即从特殊到一般去探究,,,以特殊去探究一般,,,从而获得结论,,,有时还要用已学的知识加以论证、探究所得结论,.,操作性问题是让学生按题目要求进行操作,,,考查学

2、生的动手能力、想象能力和概括能力,.,题型讲解,,方法点拨,,,解决,这类问题,,,注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法,,,灵活地解决问题,.,在平时的学习中,,,要注重操作类习题的解题训练,,,提高思维的开放性,,,培养创新能力,.,此类问题解决一般有这样的几个步骤,:,第一步,:,审清题意,,,找准解题的切入点,.,第二步,:,建立数学模型,,,运用数学知识去分析、抽象、概括所给的实际问题,,,揭示其数学本质,,,并转化为我们所熟悉的数学问题,.,第三步,:,按照所建立的数学模型,,,综合运用相关知识和数学思想方法解决实践操作性问题,.,解题技巧,,(2020,·西安模拟,

3、),问题提出,:,如图,①,,在,Rt,△,ABC,中,,,AB=AC,,,D,为边,BC,上一点,(,不与点,B,,,C,重合,),,将线段,AD,绕点,A,逆时针旋转,90°,得到,AE,,,连接,EC,,,则线段,BC,,,DC,,,EC,之间满足的等量关系式为,,.,例题,1,,问题探索,:,如图,②,,在,Rt,△,ABC,与,Rt,△,ADE,中,,,AB=AC,,,AD=AE,,,将△,ADE,绕点,A,旋转,,,使点,D,落在,BC,边上,,,试探索线段,AD,,,BD,,,CD,之间,满足的等量关系,,,并证明你的结论,;,问题应用,:,如图,③,,在四边形,ABCD,中,,

4、,∠,ABC=,∠,ACB=,∠,ADC=,45,°,.,若,BD=,9,,CD=,3,,求,AD,的长,.,分析：,(1),易证△,BAD,≌△,CAE,,,得,BD=CE,;,(2),连接,EC,,,先证△,BAD,≌△,CAE,,,得∠,ACE=,∠,ABC=,45°,,再根据勾股定理,,,在,Rt,△,ECD,中,ED,2,=CE,2,+DC,2,得解,;,(3),作,AE,⊥,AD,,,交,DC,的延长线于点,E,,,连接,BE,,,证明,DE=,,AD,,,BE=CD,,,BE,⊥,CD,,,在,Rt,△,BED,中,,,利用勾股定理求解即可,.,解,析：,问题提出,:,DC,+,

5、EC=BC,.,问题探索,:,线段,AD,,,BD,,,CD,之间满足的等量关系是,BD,2,+CD,2,=,2,AD,2,证明,:,如图,④,,连接,EC,,,∵,∠,BAC=,∠,BAD+,∠,DAC=,90°,,AB=AC,,∴,∠,ABC=,∠,ACB=,45°,.,∵,∠,DAE=,∠,CAE+,∠,DAC=,90,°,∴,∠,BAD=,∠,CAE.,在△,BAD,和△,CAE,中,,,,∴,△,BAD,≌△,CAE,(SAS),,∴,BD=CE,,,∠,ACE=,∠,ABC=,45°,,,∴,CE,⊥,DC.,∵,∠,DAE=,90°,,AD=AE,,∴,DE=,,AD,,,在,R

6、t,△,ECD,中,,,ED,2,=CE,2,+DC,2,,,∴,BD,2,+CD,2,=,2,AD,2,.,,问题应用,:,如图,⑤,,作,AE,⊥,AD,,,交,DC,的延长线于点,E,,,连接,BE,,,∵,∠,ABC=,∠,ACB=,∠,ADC=,45°,,∠,EAD=,90°,,∴,∠,BAC=,90°,,AB=AC,,,AE=AD,,,∴,DE=,,AD,,,同理可证,:,BE=CD,,,BE,⊥,CD,,,在,Rt,△,BED,中,,,BD,2,=BE,2,+DE,2,,,∴2,AD,2,=BD,2,-CD,2,.,∵,BD=,9,,CD=,3,,∴2,AD,2,=,9,2,-,

7、3,2,=,72,,∴,AD=,6,.,【,高分点拨,】,仔细阅读题目条件,,,简单了解问题并思考问题的解决方案,,,然后利用转化思想将复杂问题简单化,,,进而解决问题,.,当堂检测,1,,问题,提出,(1),如图,①,,在△,ABC,中,,,∠,A=,120°,,AB=AC=,5,,则△,ABC,的外接圆半径,R,的,值为,,;,(1),解,:,设点,O,是△,ABC,外接圆的圆心,,,如图,①,.,∴,OA=OB=OC.,∵,AB=AC,,∴,AO,垂直平分,BC.,∵,∠,A=,120,°,∴,∠,BAO=,∠,CAO=,60°,,∴,△,ABO,是等边三角形,.,∴,AB=OA=OB=

8、,5,.,图,①,问题探究,(2),如图,②,,☉,O,的半径为,13,,弦,AB=,24,,M,是,AB,的中点,,,P,是☉,O,上一动点,,,求,PM,的最大值,;,(2),当,PM,⊥,AB,时,,,此时,PM,最大,,,连接,OA,,,如图,②,,,由垂径定理可知,AM=,,AB=,12,.,∵,OA=,13,,∴,在,Rt,△,AOM,中,,,由勾股定理可知,OM=,5,,∴,PM=OM+OP=,18,.,,图,②,问题解决,（,3,）,如,图,③,所示,,,AB,,,AC,,,,是某新区的三条规划路,,,其中,AB=,6 km,,AC=,3 km,,,∠,BAC=,60°,,,所

9、对的圆心角为,60°,.,新区管委会想在,,路边建物资总站点,P,,,在,AB,,,AC,路边分别建物资分站点,E,,,F,,,也就是,,,分别在,,,,线段,AB,和,AC,上选取点,P,,,E,,,F.,由于总站工作人员每天都要将物资在各,物资,站点,间按,P,→,E,→,F,→,P,的路径进行运输,,,因此,,,要在各物资站点之间规划道路,PE,,,EF,和,FP,.,为了,快捷、环保和节约成本,.,要使得线段,PE,,,EF,,,FP,之和最短,,,试,求,PE+EF+FP,的,最小值,(,各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计,),.,图,③,设,,所在圆的圆心为,O,,,连

10、接,AP,,,OP,,,分别以,AB,,,AC,所在的直线为对称轴,,,作出点,P,关于,AB,的对称点,M,,,点,P,关于,AC,的对称点,N,,,连接,MN,,,交,AB,于点,E,,,交,AC,于点,F,,,连接,PE,,,PF,,,如图,③,,图,③,∴,AM=AP=AN,,,∠,MAB=,∠,PAB,,,∠,NAC=,∠,PAC,,,∴,∠,BAC=,∠,PAB+,∠,PAC=,∠,MAB+,∠,NAC=,60°,.,∴,∠,MAN=,120,°,.,设,AP=r,,,解,三角形易得,MN=,,r.,∵,PE=ME,,,PF=FN,,,∴,PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=

11、,,r.,∴,当,AP,最小时,,,PE+EF+PF,可取得最小值,.,∵,AP+OP,≥,OA,,,∴,AP,≥,OA-OP,,,即点,P,在,OA,上时,,,如,图,④,,AP,可取得最小值,.,设,AB,的中点为,Q,,,连接,CQ,,,CB,,,如图,⑤,,图,④,图,⑤,∴,AQ=BQ=,3 km,=AC,.,∵,∠,BAC=,60°,,∴,△,AQC,是等边三角形,.,∴,AQ=QC=AC=BQ=,3km,,∠,AQC=,∠,ACQ=,60°,.,∴,∠,ABC=,∠,QCB=,30°,.,∴,∠,ACB=,∠,ACQ+,∠,QCB=,90°,.,在,Rt,△,ABC,中,,,由勾

12、股定理可知,BC=,3,,km,.,由,题意可知∠,BOC=,60°,,OB=OC,,,∴,△,OBC,是等边三角形,.,∴,∠,OBC=,60°,,OB=OC=BC=,3,,km,.,∴,∠,ABO=,∠,ABC+,∠,CBO=,90°,在,Rt,△,ABO,中,,,由勾股定理可知,OA=,3,,km,.,此时,,,如图,④,,OP=OB=,3,,km,,AP=OA-OP=,(3,,-,3,,)km,.,PE+EF+PF=MN=,,r=,(3,,-,9)km,,即,PE+EF+PF,的最小值为,(3,,-,9)km,.,图,④,,展示操作过程，在操作中探究解题过程,,二,,实践操作类题目为考

13、生创设了动手实验、操作探究的空间,,,有效地考查了实践、创新能力,,,为考生提供了展示个性思维及发散创新的平台,,,是中考命题改革的一道亮丽风景线,.,实践操作问题主要包括剪纸、折叠、展开、拼图、作图,(,不包括统计图表的制作,),、称重、测量、空间想象等,,,这类试题题目灵活、新颖,.,题型讲解,,方法点拨,,,解答,操作性试题,,,关键是审清题意,,,学会运用图形的平移变换、翻折变换、旋转变换和位似变换,,,注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法,.,在平时的学习中,,,要注重操作性习题的解题训练,,,提高思维的开放性,,,培养创新能力,,,要学会运用数学知识去分析、抽象、概括

14、所给的实际问题,,,揭示其数学本质,,,并将其转化为我们所熟悉的数学问题,.,解题技巧,,折纸是一项有趣的活动,,,同学们小时候都玩过折纸,,,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,,,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习,.,在折纸过程中,,,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,,,进一步发展空间观念,,,在经历借助图形思考问题的过程中,,,我们会初步建立几何直观,.,折纸往往从矩形纸片开始,,,今天,,,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,,,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论,.,例题,2,,实践操作,如图,①,,将矩形纸片,ABCD,沿对角线,AC,翻折,,,使点,B

15、',落在矩形,ABCD,所在平面内,,,B'C,和,AD,相交于点,E,,,连接,B'D.,解决问题,(1),在图,①,中,,,①,B'D,和,AC,的位置关系为,,; ②,将△,AEC,剪下后展开,,,得到的图形是,,;,(2),若图,①,中的矩形变为平行四边形,(,AB,≠,BC,),,如图,②,(1),中的结论,①,和结论,②,是否成立,?,若成立,,,请挑选其中的一个结论加以证明,,,若不成立,,,请说明理由,;,(3),小红沿对角线折叠一张矩形纸片,,,发现所得图形是轴对称图形,,,沿对称轴再次折叠后,,,得到的仍是轴对称图形,,,则小红折叠的矩形纸片的长、宽之比为,,.,拓展应用,

16、(4),在图,②,中,,,若∠,B=,30°,,AB=,4,,,,当△,AB'D,恰好为直角三角形时,,,BC,的长度为,,.,分析：,(1)①,由矩形及轴对称的性质可得△,ACE,是等腰三角形,,,进而得出△,B'ED,也是等腰三角形,,,再根据两等腰三角形的顶角相等得出底角也相等,,,从而由∠,ADB'=,∠,DAC,得到,B'D,∥,AC,;②,由四边形,ABCD,是矩形可得,CF,∥,AE,,,得∠,DAC=,∠,ACF,,,由折叠可得∠,ACE=,∠,ACF,,,则∠,DAC=,∠,ACE,,,可得,AE=CE,,,则,CE=AF=AE=CF,,,得四边形,AECF,是菱形,.,(,

17、2),思路与,(1),类似,.,(3),根据折叠的方式进行分类讨论,,,当第一次折叠时△,ACB',与△,ACD,可能重合也可能不重合,,,画图,,,由轴对称的性质解决问题,.,(4),当△,AB'D,为直角三角形时,,,所以根据哪个角为直角分类讨论,,,画出图形利用,30°,角分别计算,.,解析：,(1)①,B'D,∥,AC,,,理由,:∵,矩形,ABCD,,∴,AD,∥,BC,,,AD=BC,,∴,∠,EAC=,∠,ACB,,,由翻折可得,BC=B'C,,,∠,BCA=,∠,ECA,,∴,∠,EAC=,∠,ECA=,,(180°,-,∠,AEC,),,AD=B'C,,,∴,AE=CE,,∴

18、,B'E=DE.,∴,∠,CB'D=,∠,ADB'=,,(180°,-,∠,B'ED,),,又,由∠,AEC=,∠,B'ED,,∴,∠,ADB'=,∠,DAC,,,即,B'D,∥,AC.,②,菱形,.,理由,:,如图,③,,设展开后点,E,的对应点为,F,,,∵,四边形,ABCD,是矩形,,,∴,CF,∥,AE,,,∴,∠,DAC=,∠,ACF,,,由折叠可得∠,ACE=,∠,ACF,,,∴,∠,DAC=,∠,ACE,,,∴,AE=CE,,,又,∵,AF=AE,,,CE=CF,,,∴,CE=AF=AE=CF,,,∴,四边形,AECF,是菱形,.,(2),结论仍成立,.,若,选择,①,证明,:,

19、∵,B'C=AD,,,AE=CE,,∴,B'E=DE.,∴,∠,CB'D=,∠,ADB'.,∵,∠,AEC=,∠,B'ED,,,∠,ACB'=,∠,CAD,,,∴,∠,ADB'=,∠,DAC.,∴,B'D,∥,AC.,若选择,②,证明,:,如,图,④,,设展开后点,E,的对应点为,F,,,∵,四边形,ABCD,是平行四边形,,,∴,CF,∥,AE,,∴,∠,DAC=,∠,ACF.,由折叠可得∠,ACE=,∠,ACF,,,CE=CF,,,∴,∠,DAC=,∠,ACE,.,∴,AE=CE,,∴,AE=CF,,∴,四边形,AECF,是菱形,.,(3),如图,⑤,,沿对角线,AC,折叠时,,,当,AB

20、,在射线,AD,上时,,,可得∠,BAC=,∠,DAC=,45,°,,,AB=AD,,,四边形,ABCD,是正方形,,,矩形长、宽之比为,1∶1,.,如图,⑥,,沿对角线,AC,折叠时,,,当,AB,在射线,AD,上时,,,依题意得∠,DAC=,∠,FAE=,30,°,,,设,EF=ED=a,,,则,AF=AB=,,a,,,AE=,2,a,,,所以,AD=AE+ED=,3,a,,,矩形长、宽之比为,,∶1,.,∴,小红折叠的矩形纸片的长、宽之比为,1∶1,或,,∶1,.,,(4),如图,⑦,,∠,AB'D=,90°,时,,,∠,B'AD=,30,°,,B'A=,4,,,,则,BC=AD=,,A

21、B'=,8,.,如图,⑧,,∠,B'AD=,90°,时,,,∠,B'DA=,30,°,,BC=AD,=,,AB'=,12,.,如图,⑨,,∠,B'AD=,90°,时,,,∠,AB'D=,30,°,,BC=AD,=,,AB'=,4,.,如图,⑩,,∠,ADB'=,90°,时,,,∠,B'AD=,30,°,,BC=AD,=,,AB'=,6,.,∴,BC,的长度为,4,或,6,或,8,或,12,.,【,高分点拨,】,本题考查四边形的折叠、轴对称图形的性质等知识,,,解题的关键是正确理解和灵活运用图形折叠的性质,,,属于中考常考题型,.,当堂检测,2,,问题背景,数学活动课上,,,老师将一副三角尺按图

22、,①,所示位置摆放,,,分别作出∠,AOC,,,∠,BOD,的平分线,OM,,,ON,,,然后提出如下问题,:,求出∠,MON,的度数,.,特例研究,“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题,,,他们将三角尺分别按图,②,、图,③,所示的方式摆放,,,OM,和,ON,仍然是∠,AOC,和∠,BOD,的平分线,.,其中,,,按图,②,方式摆放时,,,可以看成是,ON,,,OD,,,OB,在同一直线上,.,按图,③,方式摆放时,,,∠,AOC,和∠,BOD,相等,.,图,①,(,1),请你帮助“兴趣小组”进行计算,:,图,②,中∠,MON,的度数为,,°,.,图,③,中∠,MON,的度数

23、为,,°,.,发现感悟,解决完图,②,、图,③,所示问题后,,,“兴趣小组”又对图,①,所示问题进行了讨论,.,小明,:,由于图,①,中∠,AOC,和∠,BOD,的和为,90,°,,所以,我们容易得到∠,MOC,和∠,NOD,的和,,,这样就能求出∠,MON,的度数,.,小华,:,设∠,BOD,为,x,°,,我们就能用含,x,的式子分别表示出∠,NOD,和∠,MOC,度数,,,这样也能求出∠,MON,的度数,.,(2),请你根据他们的谈话内容,,,求出图,①,中∠,MON,的度数,.,图,②,图,③,2,.,解,:(1),图,②,中∠,MON=,,×90°,+,90°,=,135°,,图,③,

24、中∠,MON=,,∠,AOC+,,∠,BOD+,∠,COD=,,(,∠,AOC+,∠,BOD,),+,90°,=,,×90°,+,90°,=,135°,.,故答案为,135,135,.,(2),∵,∠,COD=,90°,,∴,∠,AOC+,∠,BOD=,180°,-,∠,COD=,90°,.,∵,OM,和,ON,分别是∠,AOC,和∠,BOD,的平分线,,,∴,∠,MOC+,∠,NOD=,,∠,AOC+,,∠,BOD=,,(,∠,AOC+,∠,BOD,),=,45°,.,∴,∠,MON=,(,∠,MOC+,∠,NOD,),+,∠,COD=,45°,+,90°,=,135°,.,类比拓展,受到“

25、兴趣小组”的启发,,,“智慧小组”将三角尺按图,④,所示方式摆放,,,分别,作出∠,AOC,,,∠,BOD,的平分线,OM,,,ON,,,他们认为也能求出∠,MON,的度数,.,(3),你同意“智慧小组”的看法吗,?,若同意,,,求出∠,MON,的度数,;,若,不同意,,,请说明理由,.,图,④,(3),同意,.,设∠,BOC=x,°,,则∠,AOC=,180,°,- x,°,,∠,BOD=,90,°,- x,°,.,∵,OM,和,ON,是∠,AOC,和∠,BOD,的平分线,,,∴,∠,MOC=,,∠,AOC=,,(180,°,- x,°),=,90°,-,,,x,°,.,∠,BON=,,∠,

26、BOD=,,(90,°,- x,°),=,45°,-,,,x,°,,∴,∠,MON=,∠,MOC+,∠,BOC+,∠,BON=,,+,,x,°,+,,=,135°,.,专题七 高效测评,1,.,(2021,·郑州模拟,),【问题背景】,(1),如图,1,的图形我们把它称为“,8,字形”,,,请说理证明∠,A+,∠,B=,∠,C+,∠,D.,【简单应用】,(2),如图,2,,AP,,,CP,分别平分∠,BAD,,,∠,BCD,,,若∠,ABC=,20,°,,,∠,ADC=,26,°,,,求,∠,P,的度数,.,[,可直接使用问题,(1),中的结论,],,【问题探究】,(3),如图,3,,直线,

27、AP,平分∠,BAD,的外角∠,FAD,,,CP,平分∠,BCD,的外角∠,BCE,,,若,∠,ABC=,36,°,,,∠,ADC=,16,°,,,猜想∠,P,的度数为,,.,【拓展延伸】,(4),在图,4,中,,,若设∠,C=x,,,∠,B=y,,,∠,CAP=,,∠,CAB,,,∠,CDP=,,∠,CDB,,,试问∠,P,与∠,C,,,∠,B,之间的数量关系为,,(,用,x,,,y,表示∠,P,),.,(5),在图,5,中,,,AP,平分∠,BAD,,,CP,平分∠,BCD,的外角∠,BCE,,,猜想∠,P,与∠,B,,,∠,D,的关系,,,直接写出结论,:,,.,1,.,解,:(1),证

28、明,:,在△,AOB,中,,,∠,A+,∠,B+,∠,AOB=,180°,,在△,COD,中,,,∠,C+,∠,D+,∠,COD=,180°,,∵,∠,AOB=,∠,COD,,,∴,∠,A+,∠,B=,∠,C+,∠,D.,(2),如图,2,∵,AP,,,CP,分别平分∠,BAD,,,∠,BCD,,∴,∠,1,=,∠,2,,∠,3,=,∠,4,,由,(1),的结论得,,①,+,②,,得,2,∠,P+,∠,2,+,∠,3,=,∠,1,+,∠,4,+,∠,B+,∠,D,,,∴,∠,P=,,(,∠,B+,∠,D,),=,23°,.,(3),如,图,∵,AP,平分∠,BAD,的外角∠,FAD,,,CP,

29、平分∠,BCD,的外角∠,BCE,,∴,∠,1,=,∠,2,,∠,3,=,∠,4,,∴,∠,PAD=,180°,-,∠,2,,∠,PCD=,180°,-,∠,3,.,∵,∠,P+,(180°,-,∠,1),=,∠,D+,(180°,-,∠,3,),,∠,P+,∠,1,=,∠,B+,∠,4,,∴2,∠,P=,∠,B+,∠,D,,,∴,∠,P=,,(,∠,B+,∠,D,),=,,×(36°,+,16°),=,26,°,.,(4),同法可得∠,P=,,x+,,y.,(5),同法可得∠,P=,,2,.,(2020,·咸宁二模,),我们定义,:,如图,1,,在△,ABC,中,,,把,AB,绕点,A,顺时

30、针旋转,α,(0°,<α<,180°),得到,AB,',,,把,AC,绕点,A,逆时针旋转,β,得到,AC,',,,连接,B'C'.,当,α+β=,180°,时,,,我们,称△,A'B'C',是△,ABC,的“旋补三角形”,,,△,AB'C',边,B'C',上的中线,AD,叫做,△,ABC,的“旋补中线”,,,点,A,叫做“旋补中心”,.,特例感知,:,(1),在图,2,,图,3,中,,,△,AB'C',是△,ABC,的“旋补三角形”,,,AD,是△,ABC,的“旋补中线”,.,①,如图,2,,当△,ABC,为等边三角形时,,,AD,与,BC,的数量关系为,AD=,,BC,;,②,如图,3,,

31、当∠,BAC=,90°,,BC=,8,时,,,则,AD,长为,,.,猜想论证,:,(2),在图,1,中,,,当△,ABC,为任意三角形时,,,猜想,AD,与,BC,的数量关系,,,并给予证明,.,2,.,解,:(1)①,如图,1,,当△,ABC,为等边三角形时,,,AD,与,BC,的数量关系为,AD=,,BC,.,理由,:∵,△,ABC,是等边三角形,,∴,AB=BC=AC=AB'=AC'.,∵,DB'=DC,',,∴,AD,⊥,B'C'.,∵,∠,BAC=,60,°,,∠,BAC+,∠,B'AC'=,180°,,∴,∠,B'AC'=,120°,,∴,∠,B'=,∠,C'=,30°,,∴,AD

32、=,,AB'=,,BC.,故答案为,,.,,②,如图,2,,当∠,BAC=,90°,,BC=,8,时,,,则,AD,长为,4,.,理由,:∵,∠,BAC=,90°,,∠,BAC+,∠,B'AC'=,180°,,∴,∠,B'AC'=,∠,BAC=,90°,.,又,∵,AB=AB',,,AC=AC',,,∴,△,BAC,≌△,B'AC',(SAS),,∴,BC=B'C'.,∵,B'D=DC',,,∴,AD=,,B'C'=,,BC=,4,.,故答案为,4,.,(2),猜想,AD=,,BC.,证明,:,如图,3,,延长,AD,至点,Q,,,使,QD=AD,,,则△,DQB',≌△,DAC',,,,∴,

33、QB'=AC',,,QB',∥,AC',,,∴,∠,QB'A+,∠,B'AC'=,180°,.,∵,∠,BAC+,∠,B'AC'=,180,°,∴,∠,QB'A=,∠,BAC,,,又由题意得到,QB'=AC'=AC,,,AB'=AB,,,∴,△,AQB',≌△,BCA,(SAS),,∴,AQ=BC=,2,AD,,,即,AD=,,BC.,3,.,(2020,·烟台模拟,),【问题探究】,(1),如图,1,,△,ABC,和△,DEC,均为等腰直角三角形,,,∠,ACB=,∠,DCE=,90°,,点,B,,,D,,,E,在同一直线上,,,连接,AD,,,BD.,①,请探究,AD,与,BD,之间的位置

34、关系,:,,;,②,若,AC=BC=,,,,DC=CE=,,,,则线段,AD,的长为,,;,【拓展延伸】,(2),如图,2,,△,ABC,和△,DEC,均为直角三角形,,,∠,ACB=,∠,DCE=,90°,,AC=,,,,BC=,,,,CD=,,,,CE=,1,.,将,△,DCE,绕点,C,在平面内顺时针旋转,,,设,旋转角∠,BCD,为,α,(0°,≤,α<,360,°),,作,直线,BD,,,连接,AD,,,当点,B,,,D,,,E,在同一直线上时,,,画,出图形,,,并求线段,AD,的长,.,3,.,解,:(1)∵,△,ABC,和△,DEC,均为等腰直角三角形,,,∴,AC=BC,,,

35、CE=CD,,,∠,ABC=,∠,DEC=,45°,=,∠,CDE.,∵,∠,ACB=,∠,DCE=,90,°,∴,∠,ACD=,∠,BCE,,,且,AC=BC,,,CE=CD,,,∴,△,ACD,≌△,BCE,(SAS,),∴,∠,ADC=,∠,BEC=,45°,,∴,∠,ADE=,∠,ADC+,∠,CDE=,90,°,∴,AD,⊥,BD.,故答案为,AD,⊥,BD.,②,如图,1,,过点,C,作,CF,⊥,AD,于点,F,,,,∵,∠,ADC=,45°,,CF,⊥,AD,,,CD=,,,,∴,DF=CF=,1,,∴,AF=,,=,3,,∴,AD=AF+DF=,4,,,故,答案为,4,.,,

36、(2),若点,D,在,BC,右侧,,,如图,2,,过点,C,作,CF,⊥,AD,于点,F,,,,∵,∠,ACB=,∠,DCE=,90,°,,AC,=,,,,BC=,,,,CD=,,,,CE=,1,,∴,∠,ACD=,∠,BCE,,,,=,,=,,,∴,△,ACD,∽△,BCE,,∴,∠,ADC=,∠,BEC.,∵,CD=,,,,CE=,1,,∴,DE=,,=,2,.,∵,∠,ADC=,∠,BEC,,,∠,DCE=,∠,CFD=,90°,,∴,△,DCE,∽△,CFD,,∴,,=,,=,,,,即,,=,,=,,,,∴,CF=,,,,DF=,,,∴,AF=,,=,,,,∴,AD=DF+AF=,3,

37、,.,若点,D,在,BC,左侧,,,如图,3,,过点,C,作,CF,⊥,AD,的延长线于,F,,,,∵,∠,ACB=,∠,DCE=,90°,,AC=,,,,BC=,,,,CD=,,,,CE=,1,,∴,∠,ACD=,∠,BCE,,,,=,,=,,,∴,△,ACD,∽△,BCE,,,∴,∠,ADC=,∠,BEC,,∴,∠,CED=,∠,CDF.,∵,CD=,,,,CE=,1,,∴,DE=,,=,2,.,∵,∠,CED=,∠,CDF,,,∠,DCE=,∠,CFD=,90°,,∴,△,DCE,∽△,CFD,,∴,,=,,=,,,,即,,=,,=,,,,∴,CF=,,,,DF=,,,∴,AF=,,=,

38、,,,∴,AD=AF-DF=,2,,.,,4,.,(2020,·苏州模拟,),如图,①,,在△,ABC,中,,,AB=AC=,3,,∠,BAC=,100,°,,D,是,BC,的中点,.,小明对图,①,进行了如下探究,:,在线段,AD,上任取一点,P,,,连接,PB.,将线段,PB,绕点,P,按逆时针方向旋转,80°,,点,B,的对应点是点,E,,,连接,BE,,,得到△,BPE.,小明发现,,,随着点,P,在线段,AD,上位置的变化,,,点,E,的位置也在变化,,,点,E,可能在直线,AD,的左侧,,,也可能在直线,AD,上,,,还可能在直线,AD,的右侧,.,请你帮助小明继续探究,,,并解答

39、下列问题,:,(1),当点,E,在直线,AD,上时,,,如图,②,所示,.,①,∠,BEP=,,°;,②,连接,CE,,,直线,CE,与直线,AB,的位置关系是,,;,(2),请在图,③,中画出△,BPE,,,使点,E,在直线,AD,的右侧,,,连接,CE,,,试,判断直线,CE,与直线,AB,的位置关系,,,并说明理由,;,(3),当点,P,在线段,AD,上运动时,,,求,AE,的最小值,.,解,:(1)①,如图,1,中,,,∵,∠,BPE=,80°,,PB=PE,,∴,∠,BEP=,∠,PBE=,50,°,.,,②,结论,:,AB,∥,EC.,理由,:∵,AB=AC,,,BD=DC,,∴,

40、AD,⊥,BC,,,∴,∠,BDE=,90,°,∴,∠,EBD=,90°,-,50°,=,40°,.,∵,AE,垂直平分线段,BC,,∴,EB=EC,,,∴,∠,ECB=,∠,EBC=,40°,.,∵,AB=AC,,,∠,BAC=,100,°,∴,∠,ABC=,∠,ACB=,40°,,∴,∠,ABC=,∠,ECB,,∴,AB,∥,EC.,故答案为,①50,②,AB,∥,EC.,,(2),如图,2,中,,,以,P,为圆心,,,PB,为半径作☉,P,,,连接,PC.,∵,AD,垂直平分线段,BC,,,∴,PB=PC,,,∴,∠,BCE=,,∠,BPE=,40°,.,又,∵,∠,ABC=,40°,∴

41、,AB,∥,EC,.,(3),如图,3,中,,,作,AH,⊥,CE,于,H,,,,∵,点,E,在射线,CE,上运动,,,点,P,在线段,AD,上运动,,,∴,当点,P,运动到与点,A,重合时,,,AE,的值最小,,,此时,AE,的最小值为,AB=,3,.,,5,.,(2021,·青岛二模,),问题背景,:,在△,ABC,中,,,边,AB,上的动点,D,由,A,向,B,运动,(,与,A,,,B,不重合,),,点,E,与点,D,同时出发,,,由点,C,沿,BC,的延长线方向运动,(,E,不与,C,重合,),,连接,DE,交,AC,于点,F,,,点,H,是线段,AF,上一点,.,(1),初步尝试,:

42、,如图,1,,若△,ABC,是等边三角形,,,DH,⊥,AC,,,且点,D,,,E,的运动速度相等,,,求证,:,HF=AH+CF,.,小,王同学发现可以由以下两种思路解决此问题,:,思路一,:,过点,D,作,DG,∥,BC,,,交,AC,于点,G,,,先证,GH=AH,,,再证,GF=CF,,,从而证得结论成立,;,思路二,:,过点,E,作,EM,⊥,AC,,,交,AC,的延长线于点,M,,,先证,CM=AH,,,再证,HF=MF,,,从而证得结论成立,.,请你任选一种思路,,,完整地书写本小题的证明过程,(,如用两种方法作答,,,则以第一种方法评分,),.,(2),类比探究,:,如图,2,

43、,若在△,ABC,中,,,∠,ABC=,90,°,,,∠,ADH=,∠,BAC=,30,°,,,且点,D,,,E,的运动速度之比是,,∶,1,,求,,的值,.,(3),延伸拓展,:,如图,3,,若在△,ABC,中,,,AB=AC,,,∠,ADH=,∠,BAC=,36,°,,,记,,=m,,,且点,D,,,E,的运动速度相等,,,试用含,m,的代数式表示,,(,直接写出结果,,,不必写解答过程,),.,解,:(1),证明,(,选择思路一,):,过点,D,作,DG,∥,BC,,,交,AC,于点,G,,,如图,1,,则∠,ADG=,∠,B,,,∠,AGD=,∠,ACB,,,,∵,△,ABC,是等边三

44、角形,,∴,∠,A=,∠,B=,∠,ACB=,60°,,∴,∠,ADG=,∠,AGD=,∠,A,,∴,△,ADG,是等边三角形,,∴,GD=AD=CE.,∵,DH,⊥,AC,,∴,GH=AH,.,∵,DG,∥,BC,,∴,∠,GDF=,∠,CEF,,,∠,DGF=,∠,ECF.,,在△,GDF,和△,CEF,中,,,∵,,∴,△,GDF,≌△,CEF,(ASA,),∴,GF=CF,,,∴,GH+GF=AH+CF,,,即,HF=AH+CF.,(2),过点,D,作,DG,∥,BC,,,交,AC,于点,G,,,如图,2,,则∠,ADG=,∠,B=,90,°,,∵,∠,BAC=,∠,ADH=,30,°

45、,,∴,∠,HGD=,∠,HDG=,60,°,,,∴,AH=GH=GD,,,AD=,,GD,,,根据,题意得,AD=,,CE,,∴,GD=CE.,∵,DG,∥,BC,,∴,∠,GDF=,∠,CEF,,,∠,DGF=,∠,ECF.,,在△,GDF,和△,CEF,中,,,∵,,∴,△,GDF,≌△,CEF,(ASA,),∴,GF=CF,,,∴,GH+GF=AH+CF,,,即,HF=AH+CF,,∴,,=,2,.,(3),,=,,,,理由如下,:,过点,D,作,DG,∥,BC,,,交,AC,于点,G,,,如图,3,,则∠,ADG=,∠,B,,,∠,AGD=,∠,ACB,,,,∵,AB=AC,,,∠,

46、BAC=,36,°,∴,∠,ACB=,∠,B=,∠,ADG=,∠,AGD=,72°,.,∵,∠,ADH=,∠,BAC=,36,°,∴,AH=DH,,,∠,DHG=,72°,=,∠,AGD,,,,∴,DG=DH=AH,,,△,ADG,∽△,ABC,,,△,ADG,∽△,DGH,,,∴,,=,,=m,,,,=,,=,,=m,,∴,△,DGH,∽△,ABC,,,∴,,=,,=m,,∴,,=m,.,∵,DG,∥,BC,,,∴,△,DFG,∽△,EFC,,∴,,=,,=m,,∴,,=m,,,即,,=m,,,∴,,=,,,∴,,=,,=,,+,1,=,,.,6,.,(2021,·南京模拟,)(1),发现,

47、:,如图,1,,点,A,为线段,BC,外一动点,,,且,BC=a,,,AB=b,.,填空,:,当,点,A,位于,,时,,,线段,AC,的长取得最大值,,,且,最大值为,,(,用含,a,,,b,的式子表示,),.,(2),应用,:,点,A,为线段,BC,外一动点,,,且,BC=,4,,AB=,1,,,如,图,2,,分别以,AB,,,AC,为边,,,作,等边三角形,ABD,和等边三角形,ACE,,,连接,CD,,,BE.,①,请找出图中与,BE,相等的线段,,,并说明理由,;,②,直接写出线段,BE,长的最大值,.,(,3),拓展,:,如图,3,,在平面直角坐标系中,,,点,A,的坐标为,(2,0

48、,),,点,B,的坐标为,(6,0,),,点,P,为线段,AB,外一动点,,,且,PA=,2,,PM=PB,,,∠,BPM=,90,°,,请,直接写出线段,AM,长的最大值及此时点,P,的坐标,.,解,:(1)∵,点,A,为线段,BC,外一动点,,,且,BC=a,,,AB=b,,,∴,当点,A,位于,CB,的延长线上时,,,线段,AC,的长取得最大值,,,且,最大值为,BC+AB=a+b.,故答案为,:,CB,的延长线上,,,a+b.,(2)①,CD=BE,,,理由,:∵,△,ABD,与△,ACE,是等边三角形,,,∴,AD=AB,,,AC=AE,,,∠,BAD=,∠,CAE=,60°,,∴,

49、∠,BAD+,∠,BAC=,∠,CAE+,∠,BAC,,,,即∠,CAD=,∠,EAB.,在,△,CAD,与△,EAB,中,,,∵,,∴,△,CAD,≌△,EAB,(SAS),,∴,CD=BE.,②∵,线段,BE,长的最大值,=,线段,CD,的最大值,,,由,(1),知,,,当线段,CD,的长取得最大值时,,,点,D,在,CB,的延长线上,,,∴,线段,BE,长的最大值为,BD+BC=AB+BC=,5,.,(3),如图,1,∵,将△,APM,绕着点,P,顺时针旋转,90°,得到△,PBN,,,连接,AN,,,则,△,APN,是等腰直角三角形,,,∴,PN=PA=,2,,BN=AM.,∵,A,的

50、坐标为,(2,0),,点,B,的坐标为,(6,0),,∴,OA=,2,,OB=,6,,∴,AB=,4,,∴,线段,AM,长的最大值,=,线段,BN,长的最大值,,,∴,当,N,在线段,BA,的延长线时,,,线段,BN,取得最大值,,,最大值,=AB+AN.,∵,AN=,,AP=,2,,,,∴,最大值为,2,,+,4,.,如图,2,,过,P,作,PE,⊥,x,轴于,E,,,,∵,△,APN,是等腰直角三角形,,,∴,PE=AE=,,,,∴,OE=BO-AB-AE=,6,-,4,-,,=,2,-,,,,∴,P,(2,-,,,,,),.,,如图,3,中,,,根据对称性可知当点,P,在第四象限,,,P

51、,(2,-,,,,-,,),时,,,也满足条件,.,综上所述,,,满足条件的点,P,坐标,(2,-,,,,,),或,(2,-,,,,-,,),,AM,的最大值为,2,,+,4,.,,7,.,问题,:,已知,α,,,β,均为锐角,,tan,α=,,,tan,β=,,,,求,α+β,的度数,.,探究,:(1),用,6,个小正方形构造如图所示的网格图,(,每个小正方形的边长均为,1),,请借助这个网格图求出,α+β,的度数,;,延伸,:(2),设经过图中,M,,,P,,,H,三点的圆弧与,AH,交于,R,,,求,,的弧长,.,解,:(1),如图,,,连接,AM,,,MH,,,由网格图可知,:,△,A

52、MH,是等腰直角三角形,,,即,AM=MH,,,∠,MHP=α,,,∴,∠,MHA=α+β,,,在,Rt,△,AMH,中,,,tan,∠,MHA=,tan(,α+β,),=,,=,1,,∴,α+β=,45°,.,(2),如图,,,连接,MR,,,过点,R,作,RT,⊥,MH,于点,T,,,由图可得∠,MPH=,90,°,∴,MH,是经过,M,,,P,,,H,三点的圆弧所在圆的直径,,,∴,∠,MRH=,90°,.,又,∵,α+β=,45°,,即∠,MHA=,45°,,RT,⊥,MH,,,∴,△,MRH,,,△,MTR,,,△,HTR,都是等腰直角三角形,,,∴,MT=HT=TR=,,MH,,,∠,MTR=,90°,,在,Rt,△,MPH,中,,,MP=,1,,PH=,2,,,∴,由勾股定理,,,得,MH=,,,∴,MT=,,,,,=,,=,,π,.,,答,:,,的弧长为,,π,.,