2016年 《南方新中考》 数学 第一部分第2讲 图形的相似[配套课件]

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,第,2,讲,图形的相似,1.,了解比例的性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、,艺术上的实例了解黄金分割,.,2.,通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似,比,.,3.,掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比,例,.,4.,了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比,等于相似比；面积比等于相似比的平方,.,,5.,了解两个三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个,,,,三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边,,,,对应成比例的两个三角形相似,.,,

2、,,6.,了解图形的位似，知道利用位似将一个图形放大或缩小,.,,,,7.,会用图形的相似解决一些简单的实际问题,.,ad,＝,bc,,,,,,,,,,,,,(,续表,),,,,,,,,,,,,,(,续表,),相似比,相似比的平方,相似比,,,,,,,,,,(,续表,),,相似三角形的判定与性质,,,,例,1,：,(2015,年四川凉山州,),如图,5-2-1,，,⊙,O,的半径为,,5,，,,,,点,,P,在,⊙,O,外，,PB,交,⊙,O,于,A,，,B,两点，,PC,交,⊙,O,于,D,，,C,,,,两点,.,,,,(1),求证：,PA,·,PB,＝,PD,·,PC,；,求点,O,到,P

3、C,的距离,.,图,5-2-1,,[,思路分析,],(1),先连接,AD,，,BC,，由圆内接四边形的性质，,,,,可,知：,∠,PAD,＝,∠,PCB,，,∠,PDA,＝,∠,PBC,，故可得出,△,PAD,∽,,,,△,PCB,，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论,.,,,,(2),由,PA,·,PB,＝,PD,·,PC,，求出,CD,，根据垂径定理，可得点,O,,,,到,PC,的距离,.,,,,(1),证明：,连接,AD,，,BC,.,,,,,∵,四边形,ABCD,内接于,⊙,O,，,∴∠,PAD,＝,∠,PCB,，,∠,PDA,,,,＝,∠,PBC,.,(2),解：,连接,OD,

4、，作,OE,⊥,DC,，垂足为,E,(,如图,5-2-2).,,,,,,,,,,,,,,,图,5-2-2,,,,解得,DC,＝,8,或,DC,＝－,11(,舍去,).,∴,DE,＝,4.,,,∵,OD,＝,5,，,∴,OE,＝,3,，即点,O,到,PC,的距离为,3.,,【试题精选】,,图,5-2-3,答案：,D,,1.,(2015,年甘肃酒泉,),如图,5­2­3,，,D,，,E,分别是,△,ABC,的边,AB,，,BC,上的点，,DE,∥,AC,，若,S,△,BDE,∶,S,△,CDE,＝,1,∶,3,，则,S,△,DOE,∶,,S,△,AOC,的值为,(,,),,2.(2015,年山东淄

5、博,),如图,,5-2-,4,，在,△,ABC,中，点,P,是,BC,,,边上任意一点,(,点,P,与点,B,，,C,不重合,),，平行四边形,AFPE,的,,,顶点,F,，,E,分别在,AB,，,AC,上,.,已知,BC,＝,2,，,S,△,ABC,＝,1.,设,BP,＝,x,，,,,平行四边形,AFPE,的面积为,y,.,,,(1),求,y,与,x,的函数关系式；,(2),上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当,x,取何值时，,y,有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由,.,图,5-2-4,解：,(1)∵,四边形,AFPE,是平行四边形，,∴,PF,∥,CA,.,,[,解题技巧,],(

6、1),相似的判定方,法可类比全等三角形的判定方,,,,法，找对应边,(,角,),时应遵循一定的对应原则，如长,(,大,),对长,(,大,),，,,,,短,(,小,),对短,(,小,),，或找相等的边,(,角,),帮助确定,.(2),利用相似三角形,,,,的性质可以证明有关线段成比例、角相,等，也可计算三角形中,,,,边的长度或角的大小,.,关键要注意相似三角形的对应边的确认,,,,及性质的综合运用，尤其是在运用相似图形的面积比等于相似,,,,比的平方时，不要漏了,“,平方,”,.,相似三角形的综合应用,,例,2,：,(20,15,年陕西,),晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，,,,小聪问小军：

7、“你有多高？”小军一时语塞,.,小聪思考片刻，提,,,议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高,.,于是，两,,,人在灯下沿直线,NQ,移动，如图,5-2-5,，当小聪正好站在广场的,,,A,点,(,距,N,点,5,块地砖长,),时，其影长,AD,恰好为,1,块地砖长；当,,,小军正好站在广场的,B,点,(,距,N,点,9,块地砖长,),时，其影长,BF,,,恰好为,2,块地砖长,.,已知广场地面由边长为,0.8,米的正方形地砖,,,铺成，小聪的身高,AC,为,1.6,米，,MN,⊥,NQ,，,AC,⊥,NQ,，,BE,⊥,,,NQ,.,请你根据以上信息，求出小军身高,BE,的长,.(,

8、结果精确到,0.01,,,米,),,图,5-2-5,,,,,[,思路分析,],先证明,△,CAD,∽△,MND,，利用相似三角形的性,,,,质求得,MN,＝,9.6,，再证明,△,EFB,∽△,MFN,，即可解答,.,,,,,解：,由题意，得,∠,CAD,＝,∠,MND,＝,90°,，,∠,CDA,＝,MDN,.,∴,MN,＝,9.6,.,,,,又,∵∠,EBF,＝,∠,MNF,＝,90°,，,∠,EFB,＝,∠,MFN,，,,∴,EB,≈1.75.,,,,,∴,小军身高约为,1.75,米,.,,,,,[,思想方法,],运用相似三角形解决实,际,问题时，关键是把实,,,,际问题转化为求证相似三

9、角形和利用相似比求线段的长,.,【试题精选】,,3.(2014,年陕西,),某天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳,,,,帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情,,,,况下，先在河岸边选择了一点,B,(,点,B,与河对岸岸边的一棵树的,,,,底部点,D,所确定的直线垂直于河岸,).①,小明在点,B,面向树的方,,,,向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点,D,处，,,,,如图,5-2-6,，这时小亮测得小明眼睛距离地面的距离,AB,＝,1.7,米；,,,,②,小明站在原地转动,180°,后蹲下，并保持原来的观察姿态,(,除,,,,身体重心下移外，其他姿态均不变,),，

10、这时视线通过帽檐落在了,DB,延长线上的点,E,处，此时小亮测得,BE,＝,9.6,米，小明的眼,,,,睛距地面的距离,CB,＝,1.2,米,.,根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽,BD,是多少,米？,图,5-2-6,解：,由题意知，,∠,BAD,＝,∠,BCE,.,,,,∵∠,ABD,＝,∠,ABE,＝,90°,，,∴△,BAD,∽△,BCE,.,∴,河流的宽,BD,是,13.6,米,.,,图形的位似,,,,4.(2015,年湖北十堰,),在平面直角坐标系中，已知点,,A,(,－,4,2),，,),则点,A,的对应点,A,′,的坐标是,(,,,A.(,－,2,1),,,,B.(,－,8

11、,4),,,,C.(,－,8,4),或,(8,，－,4),,,,D.(,－,2,1),或,(2,，－,1),,,,,答案：,D,,5.(2015,年福建漳州,),如图,,5-2-,7,，在,10×10,的正方形网格中，,,,,点,A,，,B,，,C,，,D,均在格点上，以点,A,为位似中心画四边形,,,,AB,′,C,′,D,′,，使它与四边形,ABCD,位似，且相似比为,2.,(1),在图中画出四边形,AB,′,C,′,D,′,；,,,,(2),填空：,△,AC′,D,′,是,________,三角形,.,图,5-2-7,解：,(1),如图,D71.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

12、图,D71,,(2),等腰直角,∵,AC,′,2,＝,4,2,＋,8,2,＝,16,＋,64,＝,80,，,AD,′,2,＝,6,2,＋,2,2,＝,36,＋,4,＝,40,，,C,′,D,′,2,＝,6,2,＋,2,2,＝,36,＋,4,＝,40,，,,,∴,AD,′,＝,C,′,D,′,，,AD,′,2,＋,C,′,D,′,2,＝,AC,′,2,.,,,∴△,AC,′,D,′,是等腰直角三角形,.,,[,易错陷阱,],在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点,,,为位似中心，相似比为,k,，那么位似图形对应点的坐标比等于,,,±,k,，即几何图形的位似图形可能有两个,.,,[,解题技巧,]

13、,画位似图形的一般步骤为：,①,确定位似中心；,,,②,分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；,③,根据相,,,似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；,④,顺次连接上述,,,各点，得到放大或缩小的图形,.,,[,名师点评,],位似图形一,定是相似图形，但相似图形不一定,,,是位似图形，位似图形是相似图形的特例,.,位似图形的性质也就,,,是相似图形的性质：相似图形的对应边、对应高、对应周长比,,,都等于相似比，而面积的比等于相似比的平方,.,到的图形是,(,),图,5-2-8,A.,B.,C.,D.,答案：,A,2.(2015,年广东,),若两个相似三角形的周长比为,2∶3,，则它,们

14、的面积比是,________.,答案：,4∶9,,3.(2013,年广东,),如图,,5-2-,9,，在矩形,ABCD,中，以对角线,BD,,,,为一边构造另一个矩形,BDEF,，使得另一边,EF,过原矩形的顶点,C,.,,,,,(1),设,Rt△,CBD,的面积为,S,1,，,Rt△,BFC,的面积为,S,2,，,Rt△,DCE,,,,的面积为,S,3,，则,S,1,________,S,2,＋,S,3,；,(,用“＞”“＝”“＜”,,,,填空,),(2),写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明,.,图,5-2-9,(1),＝,(2)△,BCD,∽△,CFB,∽△,DEC,.,证明

15、,△,,BCD,∽,△,DEC,.,证明：,∵∠,EDC,＋,∠,BDC,＝,90°,，,∠,CBD,＋,∠,BDC,＝,90°,，,,,,∴∠,EDC,＝,∠,CBD,.,又,∵∠,BCD,＝,∠,DEC,＝,90°,，,,,,∴△,BCD,∽△,DEC,.,,4.(2014,年广东,),如图,,5-2-,10,，在,△,ABC,中，,AB,＝,AC,，,AD,,,,⊥,BC,于点,D,，,BC,＝,10 cm,，,AD,＝,8 cm.,点,P,从点,B,出发，在线,,,,段,BC,上以每秒,3 cm,的速度向点,C,匀速运动，与此同时，垂直,,,,于,AD,的直线,m,从底边,BC,出发，

16、以每秒,2 cm,的速度沿,DA,方,,,,向匀速平移，分别交,AB,，,AC,，,AD,于,E,，,F,，,H,，当点,P,到达点,,,,C,时，点,P,与直线,m,同时停止运动，设运动时间为,t,秒,(,t,＞,0).,,,,(1),当,t,＝,2,时，连接,DE,，,DF,，求证：四边形,AEDF,为菱形；,,,,,(2),在整个运动过程中，所形成的,△,PEF,的面积存在最大值，,当,△,PEF,的面积最大时，求线段,BP,的长；,(3),是否存在某一时刻,t,，使,△,PEF,为直角三角形？若存在，,请求出此时刻,t,的值；若不存在，请说明理由,.,图,5-2-10,(1),证明：,

17、当,t,＝,2,时，,DH,＝,AH,＝,4,，则,H,为,AD,的中点，,如图,D72.,图,D72,又,∵,EF,⊥,AD,，,∴,EF,为,AD,的垂直平分线,.,,∴,AE,＝,DE,，,AF,＝,DF,.,∵,AB,＝,AC,，,AD,⊥,BC,于点,D,，,∴,AD,⊥,BC,，,∠,B,＝,∠,C,.,,∴,EF,∥,BC,.∴∠,AEF,＝,∠,B,，,∠,AFE,＝,∠,C,.,,∴∠,AEF,＝,∠,AFE,.∴,AE,＝,AF,.,∴,AE,＝,AF,＝,DE,＝,DF,，即四边形,AEDF,为菱形,.,(2),解：,如图,,D73,，由,(1),知，,EF,∥,BC,，

18、,,∴△,AEF,∽△,ABC,.,图,D73,,∴,当,t,＝,2,秒时，,S,△,PEF,,存在最大值，最大值为,10 cm,2,，此,,时,BP,＝,3,t,＝,6 cm.,(3),解：,存在,.,理由如下：,,,①,若点,E,为直角顶点，如答图,D74,，,,,此时,PE,∥,AD,，,PE,＝,DH,＝,2,t,，,BP,＝,3,t,.,此种情形不存在；,,,,,,,,,,,,,,,,,图,D74,②,若点,F,为直角顶点，如答图,D75,，,,,,此时,PF,∥,AD,，,PF,＝,DH,＝,2,t,，,BP,＝,3,t,，,CP,＝,10,－,3,t,.,图,D75,,③,若点,P,为直角顶点，如答图,D76.,,,,,,,,,,,,,,,,,,图,D76,,,,过点,E,作,EM,⊥,BC,于点,M,，过点,F,作,FN,⊥,BC,于点,N,，则,,,EM,＝,FN,＝,DH,＝,2,t,，,EM,∥,FN,∥,AD,.,