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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,,一般地，对于,n,∈,N*,有,二项定理,:,二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？,下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过,杨辉三角,观察,n,为特殊值时，二项式系数有什么特点？,45,(,a,+,b,),1,(,a,+,b,),2,(,a,+,b,),3,(,a,+,b,),4,(,a,+,b,),5,(,a,+,b,),6,1,）请看系数有没有明显的规律？,2,）上下两行有什么关系吗？,,3,）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗,?,①,每行两端都是,1
2、C,n,0,= C,n,n,=1,,②,从第二行起，每行除,1,以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和,(,a,+,b,),1,(,a,+,b,),2,(,a,+,b,),3,(,a,+,b,),4,(,a,+,b,),5,(,a,+,b,),6,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,,展开式的二项式系数依次是：,,,从函数角度看， 可看成是以,r,为自变量的函数,,,其定义域是：,,,当 时，其图象是右图中的,7,个孤立点．,（,1,）对称性,,与首末两端,“,等距离,”,的两个二项式系数相等．,这一性质可直接由公式,,得到．,,,,,,,,,,,,
3、,图象的对称轴,：,（,2,）增减性与最大值,,由于,：,所以 相对于 的增减情况由 决定．,,由,：,,可知，当 时，,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,,因此，,当,n,为偶数时,，中间一项的二项式,系数,,取得最大值；,,当,n,为奇数时,，中间两项的二项式系数 、,相等，且同时取得最大值。,（,2,）增减性与最大值,,（,3,）各二项式系数的和,,在二项式定理中，令 ，则：,,这就是说，,,,的展开式的各二项式系数的和等于,：,,（,1,）,,一般地， 展开式的二项
4、式系数,,有如下基本性质：,,（,2,）,（,4,）,,（,3,）,当,n,为偶数时， 最大,,当,n,为奇数时，,=,且最大,,（对称性）,第,0,行,,1,第,1,行,,1 1,第,2,行,,1 2 1,第,3,行,,1 3 3 1,第,4,行,,1 4 6 1,第,5,行,,1 5 1,第,6,行,,1 6 15 6 1,第,n-1,行,,1,1,
5、,第,n,行,,1,1,…… ………,,…,…,…,…,…… … …,,第,7,行,,1 7 21 21 7 1,10,35,+,+,+,+,=,35,5,15,20,10,4,“,斜线和,”,=,,,,,,,1,2,5,第,5,行,,1 5 10 10 5 1,第,6,行,,1 6 15 20 15 6 1,第,7,行,,,1 7 21 35 35 21 7
6、 1,第,1,行,,1 1,第,0,行,,1,第,2,行,,1 2 1,第,3,行,,1 3 3 1,第,4,行,,1 4 6 4 1,……,1,3,8,13,21,34,如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,第,8,行,,1 8 28 56 70 56 28 8 1,,从第三个数起，任一数都等于前两个数的和，,,,这就是著名的,斐波那契数列,，也称为兔子数列。,斐波那契,数,列,斐
7、波那契,,（,1170,,1250）,,意大利商人兼,数学,家,他,的,著作《算,盘书,》中,首先引入阿拉伯,数,字，,将,“,十,进制,”,介,绍给欧,洲人,认识,，,对欧,洲的,数学发展,有深,远,的影,响,。,,,例,1,,证明：在,(a+b),n,展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。,在二项式定理中，令 ，则：,,已知,,,求,:(1),,；,,,,,(2),；,,,,,,(3),;,,,,(4),,解,题型,:,求展开式中的特定项,例,2.,试判断在 的展开式中有无常数项？ 如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由,.,
8、解：设展开式中的第,r+1,项为常数项，则：,由题意可知，,故存在常数项且为第,7,项，,,常数项,常数项即,x,0,项,练习：,,,∵0≤k≤12, k∈Z,∴,当,k=0,、,6,时，,x,的幂为正整数,∴,含,x,的正整数次幂的项共有,2,项,的展开式中，含,x,的正整数次幂的项,,共有多少项？,例,4:,求,(x+2),10,,（,x,2,-1,）展开式中含,x,,10,项的系数为＿＿＿＿,.,179,变式：求,(1+x+x,2,)(1-x),10,展开式中含,x,项的系数,.,求两个,(,多个,),二项式乘积的展开式的特定项方法：,,（,1,）先化简，化成一个二项式的展开式,;,,（
9、,2,）分析两个（多个）二项式的通项的字母的指数,,,利用找,伙伴,的方式解决,.,例,3,：求 展开式中的常数项,.,类型：求展开式中系数最大的项,方法,:,利用通项公式建立不等式组,,,,,变式练习：,,在,(3,x,-,2,y,),20,的展开式中，求：,,(1),二项式系数最大的项,;(2),系数绝对值最大的项,.,解,:(2),设系数绝对值最大的项是第,r+1,项,.,则,,,即,3(r+1)>2(20-r),解得,,,2(21-,r,)>3r,,,所以当,r=8,时，系数绝对值最大的项为,,,(1),二项式系数的三个性质,(2),数学思想：函数思想,,a,,单调性；,b,,图象；,c,,最值,.,小 结,
杨辉三角与二项式系数的性质(经典)
