频率特性图形表示

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1、,,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,,,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,频率特性的图形表示,幅相频率特性曲线,,,对数频率特性曲线,1,,幅相特性曲线（极坐标图）,幅相频率特性曲线,简称,幅相曲线,，又称,极坐标图,。在复平面上，以角频率,w,为自变量,，把频率特性的幅频特性——,模,和相频特性——,角,同时在复平面上表示出来的图就是幅相曲线。,,幅频特性是,w,的偶函数,,相频特性是,w,的奇函数,,,,性能分析（尤其是稳定性）时不需要绘制精确的幅相

2、特性曲线，只需绘制大致形状即可,,,2,,3,,由图可看出放大环节,,的,幅频特性为,常数,K,，,相频特,,性,等于零度，它们都与频率无,,关。理想的放大环节能够无失,,真和无滞后地复现输入信号。,（一） 放大环节（比例环节）,放大环节的传递函数为,,其对应的频率特性是,.,0,K,图,5-2,放大环节的频率响应,频率特性如图所示。,其幅频特性和相频特性分别为,4,,（二） 积分环节,,积分环节的传递函数为,,,,,其对应的频率特性是,,,,,,幅频特性和相频特性分别为,,,,,,,,,,频率特性如图所示。由图可,,看出，积分环节的相频特性等,于,,,-90,0,，与角频率,ω,无关，,图,

3、5-3,积分环节的频率响应,5,,,表明积分环节对正弦输入信号有,90,0,的滞后作用；其幅频特性等于 ，是,ω,的函数， 当,ω,由零变到无穷大时，输出幅值则由无穷大衰减至零。在 平面上，积分环节的频率特性与负虚轴重合。,,,（三） 惯性环节,,惯性环节的传递函数为,,,,,,其对应的频率特性是,,,,,,幅频特性和相频特性分别是,6,,,,,,,当 时，,,当 时，,,当 时， 。,,当,ω,由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在 平面上是正实轴下方的,半个圆周,，证明如下：,,,,,,令,,,,

4、,,7,,,,,,则有,,,,,,,,这是一个标准圆方程，其圆心坐标是 ，半径为 。且当,ω,由 时， 由 ，说明惯性环节的频率特性在 平面上是实轴下方半个圆周，如图所示。惯性环节是一个,低通滤波环节,和,相位滞后环节,。在低频范围内，对输入信号的幅值衰减较小，滞后相移也小，在高频范围内，幅值衰减较大，滞后相角也大，最大滞后相角为,90,゜ 。,8,,,推广,：当惯性环节传递函数的分子是常数,K,时，即,,时，其频率特性是圆心为 ，,,半径为 的实轴下方半个圆周。,,,(,四） 振荡环节,,,振荡环节的传递函数是,,,,,,

5、其频率特性是,,,,,,幅频特性和相频特性分别为,,,.,0,1,0.5,,惯性环节的频率响应,9,,,,）,,,当 时， ，,,当 时， ，,,当 时，,，,,,振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比,ξ,有关，不同阻尼比的频率特性曲线,如图所示,。,,,当阻尼比较小时，会产生,谐振,，谐振峰值 和谐振频率 由幅频特性的极值方程解出，谐振时幅值,大于,1,10,,,,其中 称为振荡,,环节的无阻尼自然振,,荡频率，它是振荡环,,节频率特性曲线与虚,,轴的,交点处,的频率。,,,将

6、 代入 得,,到谐振峰值 为,,,,将 代入 得到谐振相移,φ,r,为,,图,,振荡环节的频率响应,11,,振荡环节的幅值特性曲线如图,,所示。在 的范围内，随着,ω,的增加， 缓慢增大；当 时， 达到最大值 ；当 时，输出幅值衰减很快。,,当阻尼比 时，此,,时振荡环节可等效成两个,,不同时间常数的惯性环节,,的串联， 即,,图,,振荡环节的频率响应,T,1,，,T,2,为一大一小两个不同的时间,,常数，,小时间常数,对应的负实极点离虚轴较远，对瞬态响应的影响,较小,。,12,,振荡环节为,相

7、位滞后环节,，最大滞后相角是,180,0,。,,推广： 当振荡环节传递函数的分子是常数,K,时，即 ，其对应频率特性 的起点 为,,,,（五） 一阶微分环节,,典型一阶微分环节的传函数为,,,,其中,τ,为微分时间常数、,1,为比例项因子，由于实际的物理系统中,理想微分环节或纯微分环节,（即不含比例项）是不存在的，因此用比例微分环节作为一阶微分环节的典型形式。,13,,,,幅频特性和相频特性分别为,,,,,,当 时， ，,,当 时，,,，,,当 时，,,，

8、 。,频率特性,如图,所示。它是一,,条过点（,1,，,j0,）与实轴垂直相,,交且位于实轴上方的直线。纯,,微分环节的频率特性与正虚轴重合。,1,图,,一阶微分环节的频率响应,14,,（六） 二阶微分环节,,二阶微分环节的传递函数为,,,,其对应的频率特性是,,,,,幅频特性和相频特性分别为,,,,,,15,,,二阶微分环节频率特性曲线如,图,所示，它是一个相位超前环节，最大超前相角为,180,o,。,,图,,二阶微分环节频率特性图,（七）,,不稳定环节,,不稳定环节的传递函数为,,,,不稳定环节有一个正实极点，对应的频率特性是,16,,,幅频特性和相频

9、特性分别为,,,,,,,,,当 时， ，,,当 时， ，,,当 时，,，,,,不稳定环节的频率特性,,如图,5-9,。比较图可知，,,它与,惯性环节,的频率特性,,相比，是以平面的虚轴为,,对称的。,0,I,m,R,e,图 不稳定惯性环节的频率特性,17,,不稳定环节,不稳定单元,以上三者的模相等，都是,,且与惯性环节相同，相频特性则不同，分别如下所示,18,,不稳定环节,幅相曲线都是半圆,分别为,19,,不稳定的振荡环节推导类似。,相频特性与稳定振荡环节的幅相特性关于,实轴,对称。,20,,,,,其对应的频率特性是,

10、,,,幅频特性和相频特性分别为,,,,,,,,图,5-10,滞后环节频率特性图,（八） 滞后环节的传递函数,,滞后环节的传递函数为,如图所示，滞后环节的频率特性在平面上是一个,顺时针旋转的,单位圆。,21,,二、典型环节频率特性的伯德图,,,伯德（,Bode,）,图又叫,对数频率特性曲线,，它是将幅频特性和相频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，,前者叫对,数幅频特性,，后者叫,对数相频特性,。两个坐标平面横轴（,ω,轴）用对数分度，对数幅频特性的纵轴用线性分度，它表示幅值的分贝数，即 ；对数相频特性的纵轴也是线性分度，它表示相角的度数，即

11、 。通常将这两个图形上下放置（幅频特性在上，相频特性在下），且将纵轴对齐，便于求出同一频率的幅值和相角的大小，同时为求取系统相角裕度带来方便。,,22,,开环对数频率特性图(对数坐标图,或,Bode,图),,包括 开环对数幅频曲线 和 开环对数相频曲线,横坐标为,w,，以对数分度，,,十倍频程，单位是,rad/s,对数幅频特性的纵坐标为对数幅频特性的函数值，采用线性分度，单位是,dB,。,表示为,L(w),=20lg|,G(jw),|,23,,开环对数频率特性,对数分度：,对数相频特性的纵坐标为对数幅频特性的函数值，单位是度（,。,）,。,表示为,频率,w,每扩大10

12、倍，横轴上变化一个单位长度。因此，对于,w,坐标分度不均匀，对于,lg,w,则是均匀的。,24,,0,20,40,-40,-20,0.01,0.1,1,10,100,0,45,o,90,o,-90,o,-45,o,0.01,0.1,1,10,100,dB,对数幅频特性,对数相频特性,线性分度,线性分度,25,,,（,4,） 横轴（,ω,轴）用对数分度，,扩展,了低频段，同时也兼顾了中、高频段，有利于系统的分析与综合。,用伯德图分析系统有如下优点：,,（,1,） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节） 的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰；,（,2,） 幅值用分贝数表示，可将串联环节

13、的幅值,相乘,变为,相加,运算，可简化计算；,（,3,） 用渐近线表示幅频特性，使作图更为简单方便；,26,,（一）放大环节（比例环节）,,放大环节的频率特性为,,,,其幅频特性是,,,,对数幅频特性为,,,当,K>1,时，,20lgK>0,，位于横轴上方；,,当,K=1,时，,20lgK=0,，与横轴重合；,,当,K<1,时，,20lgK<0,，位于横轴下方。,27,,放大环节的对数幅频特性如图,5-11,所示，它是一,,条与角频率,ω,无关且平行于横轴的,,直线，其纵坐标为,20lgK,。,,当有,n,个放大环节串联时，即,,,,幅值的总分贝数为,,,,,,,图,,放大环节的,Bode,图

14、,放大环节的相频特性是,,,,如图所示，它是一条与角频率,ω,无关且与,ω,轴重合的直线。,28,,（二）积分环节,,积分环节的频率特性是,,,,其幅频特性为,,,,对数幅频特性是,,,当 时，,,当 时，,,当 时，,,29,,设 ，则有,,,,,可见，其对数幅频特性是一条在,ω=1,（弧度,/,秒）处穿过零分贝线（,ω,轴），且以每增加十倍频程降低,20,分贝的速度（,-20dB/dec,）变化的直线。,,积分环节的相频特性是,,,是一条与,ω,无关，值为,-90,0,且平行于,,ω,轴的直线。积分环节的对数幅频特性和相频特性如图

15、所示。,图,,积分环节的,Bode,图,30,,当有,n,个积分环节串联时，即,,,,,,其对数幅频特性为,,,,,,,是一条斜率为,-n×20dB/dec,，且在,ω=1,（弧度,/,秒）,处过零分贝线（,ω,轴）的直线。相频特性是一条与,ω,无关，值为,-n×90,0,且与,ω,轴平行的直线。两个积分环节串联的,Bode,图如图所示。,图,,两个积分环节串联的,Bode,图,31,,当 时，,,当 时，,,用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性,，即在 的低频段时，

16、 ，与零分贝线重合；在 的高频段时， ，是一条斜率为,-20,（,dB/dec.,）的直线。,,两条直线在 处相交， 称为转折频率，由这两条直线构成的折线称为对数幅频特性的渐近线。如图所示。,（三） 惯性环节,,惯性环节的频率特性是,,,,其对数幅频特性是,32,,,,很明显，距离转折频率,,愈远 ，愈能满足近似条件，用渐近线表示对数幅频特性的精度就愈,,高；反之，距离转折频率愈,,近，渐近线的误差愈大。,,等于

17、转折频率 时，误差最,,大，最大误差为,,渐近特性,精确特性,图 惯性环节的,Bode,图,33,,,时的误差是,,,,时的误差是,,,,,,误差曲线,对称,于转折频率 ，如图,5-15,所示。由图可知，惯性环节渐近线特性与精确特性的误差主要在交接频率 上下十倍频程范围内。转折频率十倍频以上的误差极,小，可忽略。经过修正后的精确对数幅频特性如图所示。,,,34,,,惯性环节的相频特性为,,,,当 时，,,当 时，,,当 时，,,对应的相频特性曲线如图,,所示。它是一条由,0,0,至,-90,0,范,,围内变化的反正切函数曲线，,,且以

18、 和 的交,,点为斜对称。,,,图 惯性环节对数幅频特性误差 修正曲线,35,,其对数幅频特性是,,,,当 时，,,当 时，,,一阶微分环节的对数幅频特性如图 所示，渐近线的转折频率为 ，转折频率处渐近特性与精确特性的误差为 ，其误差均为正分贝数，误差范围与惯性环节类似。,,相频特性是,,,,当 时,， ；,,,（四） 一阶微分环节,,一阶微分环节频率特性为,36,,当 时，

19、 ；,,当 时， 。,,一阶微分环节的相频特,,性如图,,所示，相,,角变化范是,0,0,至,90,0,，,,转折频率 处的相角,,为,45,0,。比较 可知，,一,,阶微分环节与惯性环节,,的对数幅频特性和相频,,特性是以,横轴（,ω,轴）,,为对称的。,,,一阶微分环节的,Bode,图,37,,振荡环节的频率特性是,,,,其对数幅频特性为,,,,当 时，,,当 时，,,渐近线的第一段折线与零分贝线（,ω,轴）重合， 对应的频率范围是,0,至 ；第二段折线的起点在 处，是一条斜率为,-40,（,dB/dec,） 的直

20、线，对应的频率范围是 至,∞,。两段折线构成振荡环节对数幅频特性的,渐近线,，它们的转折频率为 。对数幅频特性曲线的渐近,线如,图所示。,（五）,振荡环节,38,,,渐近线与精确对数幅频特性曲线的误差分析如下：,,当,时， ，它是阻尼比,ξ,的函数；当,ξ=1,时为,-6,（,dB,），当,ξ=0.5,时为,0(dB),，当,ξ=0.25,时为,+6(dB),；误差曲线如图,5-18,所示。,,高频渐近线,低频渐近线,,图,5-17,振荡环节渐进线对数幅频特性,图,5-1

21、8,振荡环节对数幅频特性误差修正曲线,39,,由图知，振荡环节的,误差可正可负,，它们是阻尼比,ξ,的函数，且以 的转折频率为对称，距离转折频率愈远误差愈小。通常大于（或小于）十倍转折频率时，误差可忽略不计。经过修正后的对数幅频特性曲线如图所示。,,由图可看出，振,,荡环节的对数幅频特性在,,转折频率 附近产生谐振,,峰，这是该环节固有振荡,,性能在频率特性上的反映。,,前面已经分析过，谐振频,,率,ω,r,和谐振峰,M,r,分别为,,,图,,振荡环节对数幅频率特性图,40,,,,,,,,其中 称为振荡环节的无阻尼（,ξ=0,）自然振荡频率，它也是渐近线的转折频率。 由

22、式可知，当阻尼比,ξ,愈小谐振频率,ω,r,愈接近无阻尼自然振荡频率,ω,n,，当,ξ=0,时，,ω,r,=ω,n,,,振荡环节的相频特性是,,,,,41,,当 时，,,当 时，,,当 时，,,除上面三种特殊情况外，振荡环节相频特性还是阻尼比,ξ,的函数，随阻尼比,ξ,变化，相频特性在转折频率 附近的变化速率也发生变化，,阻尼比,ξ,越小，变化速率越大,，反之愈小。但这种变化不影响整个相频特性的大致形状。不同阻尼比,ξ,的相频特性如图 所示。,,图,,振荡环节对数相频特性图,42,,,,其对数幅频特性是,,,,相频特性是,,,,,,,（六）二阶微分环节,,二阶微

23、分环节的频率特性是,二阶微分环节与振荡节的,Bode,图关于,ω,轴对称，如,图,,,。渐近线的转折频率为 ，相角变化范围是,0,0,至,+180,0,。,图 二阶微分环节的,Bode,图,43,,其对数幅频特性和相频特,,性分别为,,,,,,,,,其,对数幅频特性与惯性环节,相同；相频特性与惯性环节相比是以 为对称，相角的变化范围是,-180,0,至,-90,0,。,Bode,如图所示。,（七） 不稳定环节,,,,不稳定环节的频率特性是,,,图 不稳定惯性环节的,Bode,图,44,,,(,八） 滞后环节,,滞后环节的频率特性是,,其对数幅频特性和相频特性分别为

24、,滞后环节伯德图如图所示。其对数幅频特性与,ω,无关，是一条与,ω,轴重合的零分贝线。滞后相角由式（,5-92,）计算，分别与滞后时间常数,τ,和角频率,ω,成正比。,图 滞后环节的,Bode,图,45,,绘制频率特性图,绘制幅相曲线,,一般用于分析稳定性,,由典型环节的幅相曲线得到一般系统的幅相曲线,,由,ω,从 ，首先计算起点和终点的情况，其次分析,ω,变化的趋势，绘出相应的幅相曲线。,46,,绘制频率特性图,解：,开环频率特性为,例1：,绘制幅相图,幅频特性和相频特性分别为,47,,绘制频率特性图,曲线与虚轴相交时，相角为90度,若系统增加一个积分环节（1型系统）

25、,则,48,,绘制频率特性图,幅相曲线如图所示,为求曲线范围和其与实轴的交点将频率特性写成,实部,和,虚部,的形式,因此在起点，,w,=0，,可得到,求曲线和实轴的交点（对系统的稳定性很重要）,49,,绘制频率特性图,若系统再增加一个积分环节（2型系统）,幅相曲线如图所示,50,,例,系统的开环传递函数为,,,,,试绘制概略的开环幅相曲线,系统的开环频率特性为,51,,相频特性为,幅频特性为,，,，,52,,说明：,,开环幅相曲线,起始,于负虚轴方向的无穷远处，,,与负实轴相切,进入,原点,,由于系统含有一阶微分环节和惯性环节，,,其幅相曲线的形状会因时间常数不同而异，,,讨论,如下,53,,

26、开环幅相曲线起始于负虚轴左侧的无穷远处,开环幅相曲线起始于负虚轴右侧的无穷远处,54,,开环幅相曲线从负虚轴上无穷远处起始,Re,Im,55,,求曲线与负实轴的交点,只有当幅相曲线从负虚轴左侧无穷远处起始时，即,,时才与负实轴有交点,56,,若系统含有积分环节，曲线起点为无穷远处，相角为,,v,×(-90,0,)，,其中,v,积分环节个数。,综上所述,，对于开环传递函数,只含有左半平面的零极点的系统,，其幅相曲线的起点和终点满足以下规律：,,1）,起点,,若系统不含有积分环节，起点为,（,K,0）。,57,,Re,Im,n-m=1,n-m=2,n-m=3,图,,开环幅相曲线的起点和终点,58,

27、,2）,终点,,开环传函分母的阶数,n,大于分子的阶数,m,时，即,n>m,时，终点在原点，进入角度为(,n-m) ×(-90,°,),,n=m,时，终点在正实轴上某点，坐标和各参数有关。,,3,）,中频段：,,比较复杂，与,传函零点，时间常数，阻尼比，自振频率,有关。,对于对于开环传递函数含有,右半平面的零极点,的系统，即含有不稳定环节的系统，幅相曲线不满足上面的规律。此时要根据表达式分析，尤其要注意其相频特性。,59,,绘制频率特性图,(Bode,图,),绘制对数频率特性图,,叠加法,：将各典型环节的图叠加,。,因此一般系统的对数频率特性图可由典型环节叠加。,由前述，可得,60,,绘制频率

28、特性图,分段法：,,第一步：确定,转折频率,，标注在,ω,轴上；,,第二步： 确定,低频段,Bode,图位置，包括高度,(,ω,=1,L(,ω,)=20lgK,),和斜率,(-v*20dB/dec),。,,,（不考虑惯性、振荡、比例微分环节）,第三步： 依次画转折频率以后部分，,增减斜率,。,斜率由积分环节决定,v ＝ 0 0dB/dec v = 1 -20dB/dec,,v= 2 -40dB/dec,第四步： 在,转折频率附近,进行修正，得到较为精确的曲线。,61,,例：已知控制系统的开环传函，绘制系统的渐近频率特性曲线,62,,63

29、,,64,,对数幅频特性,65,,对数相频特性：,,1,）将积分、惯性、比例微分、振荡环节分别画出相频特性曲线,,2,）确定几个点（查表等），光滑连接,66,,稳定系统特点：,幅频特性曲线负斜率加大 相频特性曲线负相角增加,,由低频向高频延伸时，每经过一个转折频率，曲线斜率就改变一次,,经过积分环节 增加,20dB/dec,,经过惯性环节 增加,-20dB/dec,,,经过振荡环节 增加,-40dB/dec,67,,例：已知控制系统的开环传函，绘制系统的幅频特性曲线,68,,69,,对数幅频特性,70,,绘制频率特性图,例,绘制幅相曲线和对数频率特性图（说明,剪切频

30、率,）,1)讨论幅相曲线大致形状：,,解：,系统的频率特性为,71,,绘制频率特性图,2）对数频率特性图,,相频特性：,见下页图,计算,剪切频率,（精确求，另一种求法为作图法,）,,定义：,开环幅频特性曲线（折线）过0分贝的频率。,,也叫剪切频率或穿越频率，记为,0.1,1,2,10,-40,-20,w,c,72,,绘制频率特性图,73,,绘制频率特性图,小结,,一般说来，如果系统稳定且极点数多于零点数,,那么,如果幅频特性的斜率为,,如果幅频特性的斜率为,,当系统不含有不稳定环节时（即系统只有左半平面的零极点），系统的相频特性随幅频特性的增加（或减少）而增加（或减少）,,所以只需要画它的对数幅频特性图即可。,,精确的频率特性图是在近似图基础上，在,转折频率,附近描点，然后连成光滑的曲线即可,74,,