第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,,解析几何的基本思想是用代数的方法来研究解决几何问题，其主要内容可示意如下：,,点,坐标,轨迹,第一章,第二章,方程,曲线,曲面,平面,与直线,一般曲面,一般曲线,普通,参数,方程与关系,第三章,第四章,常见曲面和二次曲面,第五章,二次曲线的一般理论,,第四章,柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,,,第四章,柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,,,研究空间曲面有,两个基本问题,：,（,2,）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．,（,1,）已知曲面作为点或曲线的轨迹时，求曲面方程．,第四章,柱面、锥面、旋

2、转曲面与二次曲面,,,第四章,柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,,图形,→,方程,,方程,→,,图形,→曲面直纹性,.,,知识结构,:,,,,根据图形的几何特征建立它们的方程，和从方程出发讨论它们的图形的几何特性，是学习本课程所应掌握的基本技能．,,看看书 想一想,,第一节 柱面,目标：,通过本节的学习，了解柱面的有,,关概念，掌握柱面方程的求法,.,,空间曲线在坐标面上投影,,重点难点：,柱面方程的求法,.,,空间曲线在坐标面上投影,,,引例,.,,分析方程,表示怎样的曲面,.,的坐标也满足方程,解,:,在,xoy,,面上，,表示圆,C,,,沿曲线,C,平行于,,z,轴的一切直线所

3、形成的曲面称为,圆,故在空间,过此点作,柱面,.,对任意,z,,,平行,,z,,轴的直线,,l ,,表示,圆柱面,,在圆,C,上任取一点,,其上所有点的坐标都满足此方程,,,,一,.,概念,,观察柱面的形成过程,:,,定义,4.1.1,在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做,柱面,.,这条定曲线叫柱面的,准线,，,那族平行直线中的每一直线，都叫做,叫柱面的,母线,.,母线,准线,,,注,,显然，柱面被它的准线和直母线方向完全确定．但是对于一个柱面，它的准线并不是唯一的．,,例如，任何,—,个与直母线不平行曲平面和柱面的交线部可以作为它的准线．,,准线不一定是平面

4、曲线．,,二,.,求柱面方程,设柱面的准线为,母线的方向数为,X,Y,Z,。如果,M,1,(x,1,,y,1,,z,1,),为准线,,上一点，则过点,M,1,的母线方程为,且有,F,1,(x,1,,y,1,,z,1,)=0,F,2,(x,1,,y,1,,z,1,)=0 (3),从（,2,）（,3,）中消去,x,1,,y,1,,z,1,得,F(x,y,z,)=0,这就是以,（,1,）,为准线，母线的方向数为,X,，,Y,，,Z,的,,柱面的方程。,,例,1,、柱面的准线方程为,而母线的方向数为,-1,，,0,，,1,，求这柱面的方程。,例,2,已知圆柱面的轴为,点

5、,（,1,，,-2,，,1,）在此圆柱面上，求这个圆柱面,,的方程,,,M,M,0,,例,1:,方程,y,2,=2,x,表示,.,母线平行于,z,轴的柱面,,,o,x,z,y,y,2,=2,x,它的准线是,xoy,面上的抛物线,y,2 =2,x,,,该柱面叫做,抛物柱面,.,三,.,特殊柱面,(,母线平行于坐标轴,),,,例,2:,,方程,x,,y,,= 0,表示,.,母线平行于,z,轴的柱面,,x,x,,y,,= 0,z,y,o,它的准线是,xoy,面上的直线,x,,y,= 0,,所以它是过,z,轴,,的平面.,,一般地,,,在三维空间,柱面,,,柱面,,,平行于,x,,轴,;,平行于

6、,,y,,轴,;,平行于,,z,,轴,;,准线,,xoz,,面上的曲线,l,3.,母线,柱面,,,准线,,xoy,,面上的曲线,l,1.,母线,准线,,yoz,,面上的曲线,l,2.,母线,3,、 母线平行于坐标轴的柱面方程,.,,例,3,、下列方程各表示什么曲面？,（母线平行于,z,轴的椭圆柱面）,（母线平行于,x,轴的双曲柱面）,（母线平行于,y,轴的抛物柱面）,注：上述柱面的方程都是二次的，都称为,二次柱面,。,,1.,椭圆柱面,x,y,z,O,2.,双曲柱面,,四、空间曲线在坐标面上投影,设空间曲线,C,的一般方程,F,(,x,,,y,,,z,) = 0,,G,(,x,,,y,,,z,

7、) = 0,(3),由方程组,(3),消去,z,后得方程,H,(,x,,,y,) = 0 (4),方程,(4),表示一个母线平行于,z,轴的柱面, 曲线,C,一定在曲面上.,,以曲线,C,为准线, 母线平行于,z,轴(即垂直,xOy,面)的柱面叫做曲线,C,关于,xOy,面的,投影柱面,, 投影柱面与,xOy,面的交线叫做空间曲线在,xOy,面上的,投影曲线,, 或简称,投影,.,所以方程,所表示的曲线必定包含了空间曲线,C,在,xOy,面上的投影.,H,(,x,,,y,) = 0,,z,= 0,注,:,同理可得曲线在,yOz,面或,xOz,面上的投影曲线方程,.,,例

8、,1:,已知两个球面的方程分别为,:,,x,2,+,y,2,+,z,2,= 1,,和,x,2,+ (,y,,1),2,+ (,z,,1),2,= 1,,求它们的交线,C,在,xOy,面上的投影曲线的方程.,解,:,联立两个方程消去,z,,,得,这是母线平行于,z,轴的椭圆柱面,两球面的交线,C,在,xOy,面上的投影曲线方程为,,例,2:,设一个立体由上半球面 和锥面,所围成,,,求它在,xoy,面上的投影.,解,:,半球面与锥面的交线为,由方程消去,z,,,得,x,2,+,y,2,= 1,,y,x,z,O,x,2,+,y,2,,1,这是一个母线平行于,z,轴的圆柱面.于是

9、交线,C,,在,xoy,面上的投影曲线为,x,2,+,y,2,= 1,,z,= 0,这是,xoy,面上的一个圆.,所以,,,所求立体在,xoy,面上,的投影为,:,x,2,+,y,2,,1,,,补充,:,空间立体或曲面在坐标面上的投影,.,空间立体,曲面,,作业,:,第,145,页,1,2,题,;,,论文,,预习,类比法,,Thank you!,,How beautiful the sea is!,Let's have a rest!,,建立曲面方程的两种方法,:,,一是看成点的轨迹，,,二是看成曲线产生的。,,1,、已知柱面的准线为：,,且（,1,）母线平行于,轴；（,2,）母线平行于直线,，试求这些柱面的方程。,,3,、求过三条平行直线,的圆柱面方程。,,4,、已知柱面的准线为,母线的方向平行于矢量,试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数,,方程分别为：,,与,式中的,为参数。,,,1.,缺某一坐标变元的方程表示,,的曲面为柱面。,,2.,,《,柱面方程的特点,》,,,,,