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2、级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,
3、第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,主要内容,分块初等矩阵,第七节,应用举例,分块乘法的初等变换及应用举例,一、分块初等矩阵,1.,定义,定义,15,,把单位矩阵,E,如下进行分块：,对它进行三种初等变换所得到的矩阵称为,分块初,等矩阵,.,分块初等矩阵有以下三种：,1),分块对换矩阵,对换两行,(,列,),所得到,2),分块倍乘矩阵,矩阵,P,,所得到,3),分块倍加矩阵,某一行,(,列,),左乘,(,右乘,),一个,一行,(,列,),加上另一行,(,列,),的,P,(,矩阵,),倍数所得到,2.,分块初等矩阵的性质,和初等矩阵与初等变换的关系一样，分块初等,矩阵有与初等矩阵类似
4、的性质：,用分块初等矩阵左乘分块矩阵,A,,,在保证可乘的,情况下，其作用相当于对分块矩阵,A,,进行一次相应,的初等行变换；,用分块初等矩阵右乘分块矩阵,A,，,其作用相当于对分块矩阵,A,,进行一次相应的初等列,变换,.,例如，设有如下分块矩阵,分别用三种分块初等矩阵左乘它，其结果如下：,分别用三种分块初等矩阵右乘它，其结果如下：,在,中，适当先择,P,，可使,C,+,PA,=,O,.,例如,A,,可逆,时，选,P,= -,CA,-1,，则,C,+,PA,=,O,.,于是上式右端,成为,这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其他问,题时是比较方便的，因此这种运算非常有用,.,二、应用举例,
5、例,1,设,其中,A,，,D,,可逆，求,T,-1,.,解,因为,且,所以,例,2,,设,其中,T,1,,,D,可逆，试证,(,A,-,BD,-,1,C,),-,1,,存在，并求,T,1,-,1,.,证明,因为,因为,T,1,,可逆，对它进行初等变换后仍可逆，即,可逆，故,(,A,-,BD,-,1,C,),-,1,,存在,.,由,解得,再由例,1,，得,例,3,,证明行列式的乘积公式,|,AB,| = |,A,| |,B,|.,证明,作,设,A,，,B,,为,n,,,n,,矩阵，作,i,,,j,= 1, 2, … ,,n,,,这里,E,ij,,为,n,,,n,,矩阵，除了第,i,行第,j,
6、列元素为,a,ij,,外，其他元素皆为零,.,则由初,等矩阵与初等变换的关系，易得下列关系式,又由,P,ij,,所对应的初等变换是某行加上另外一行的,倍数，它不改变行列式的值，故,(,第二章第六节,),又因为矩阵,作,n,,次列对换可变成矩阵,即,,第,,j,,列与第,n + j,,列对换,j,= 1, 2, … ,,n,所以,这就证明了,|,AB,| = |,A,| |,B,|.,证毕,例,4,,设,A,= (,a,ij,,),n,,n,,,,且,则有下三角形矩阵,B,n,,,n,,使,BA,=,上三角形矩阵,.,证明,对,n,,作归纳法,.,当,n,= 1,时，一阶矩阵,既是上三角形又
7、是下三角形，故命题成立,.,设对,,n,- 1,命题为真，我们来看,它仍满足命题中所设的条件,.,由归纳法假设，有下,三角形矩阵,(,B,1,),(,n,- 1), (,n,- 1),,满足,B,1,A,1,=,上三角形矩阵,.,对,A,,作如下分块：,则,再作,这时矩阵已成为上三角形了,.,将两次乘法结合起来,就得到：,此即为所要求的下三角矩阵,.,证毕,本节内容已结束,!,,若想结束本堂课,,,,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,,若想结束本堂课,,,,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,,若想结束本堂课,,,,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,,若想结束本堂课,,,,请
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9、容已结束,!,,若想结束本堂课,,,,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,,若想结束本堂课,,,,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,,若想结束本堂课,,,,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,,若想结束本堂课,,,,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,,若想结束本堂课,,,,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,,若想结束本堂课,,,,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,,若想结束本堂课,,,,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,,若想结束本堂课,,,,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,,若想结束本堂课,,,,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,,若想结束本堂课,,,,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,,若想结束本堂课,,,,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,,若想结束本堂课,,,,请单击返回按钮,.,,
大学数学高数微积分第四章矩阵第七节课堂讲义
