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1、,课前探究学习,课堂讲练互动,【,课标要求,】,,1,．理解直线的方向向量，了解直线的向量方程．,,2,．会用向量方法证明线线、线面、面面的平行．,,3,．会用向量运算证线线垂直，会求两直线所成的角．,,【,核心扫描,】,,1,．会求直线的方向向量，会求两直线所成的角．,,2,．用方向向量处理线线、线面、面面间的平行关系．,,,3.2.1,直线的方向向量与直线的向量方程,,空间向量在立体几何中的应用,自学导引,1,．,平行或共线,非零,ta,向量参数方程,想一想,：,直线的方向向量惟一吗？若不惟一，它们之间有怎样的关系？,,提示,不惟一．直线的方向向量有无数条，它们都是平行向量．,,用向量方法
2、证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行,,(1),设直线,l,1,和,l,2,的方向向量分别为,v,1,和,v,2,，则由向量共线的条件得,l,1,∥,l,2,或,l,1,与,l,2,重合,⇔,_______,．,,(2),已知两个不共线向量,v,1,，,v,2,与平面,α,共面，一条直线,l,的一个方向向量为,v,，则由共面向量定理得,,l,∥,α,或,l,⊂,α,⇔________________________________,．,,(3),已知两个不共线向量,v,1,，,v,2,与平面,α,共面，则由两平面平行的判定与性质，得,,α,∥,β,或,α,与,β,重合,⇔,___
3、__________,．,2,．,v,1,∥,v,2,存在两个实数,x,，,y,，使,v,＝,xv,1,＋,yv,2,v,1,∥,β,且,v,2,∥,β,试一试：两条直线平行与两直线的方向向量平行是何关系？,,提示,若两条直线平行，则两直线的方向向量一定平行,(,共线,),．反之，若两直线的方向向量平行，则这两直线平行或重合．,,,用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角,,(1),设两条直线所成的角为,θ,(,锐角,),，则两条直线的方向向量的夹角与,θ,___________,．,,(2),设直线,l,1,和,l,2,的方向向量分别为,v,1,和,v,2,，,l,1,与,l,2,的夹
4、角为,θ,，则,l,1,⊥,l,2,⇔,______,，,cos,θ,＝,________________,．,3,．,相等或互补,v,1,⊥,v,2,|cos〈,v,1,，,v,2,〉|,名师点睛,3,．,题型一,证明线线垂直,【,例,1,】,规律方法,将线线垂直问题转化为向量垂直问题后，注意选择基向量法还是坐标法，熟练掌握证明线线垂直的向量方法是关键．,,已知正三棱柱,ABC,－,A,1,B,1,C,1,的各棱长都为,1,，若侧棱,C,1,C,的中点为,D,，求证：,AB,1,⊥,A,1,D,.,,证明,设,AB,中点为,O,，作,OO,1,∥,AA,1,，以,O,为坐标原点，,OB,，,
5、OC,，,OO,1,，所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系，则,,【,变式,1,】,正方体,ABCD,－,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,、,F,分别是,A,1,D,1,、,A,1,C,1,的中点，求异面直线,AE,与,CF,所成角的余弦值．,,,,解,不妨设正方体棱长为,2,，分别取,DA,、,DC,、,DD,1,所在直线为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立如图所示空间直角坐标系，则,,,,,,A,(2,，,0,，,0),、,C,(0,，,2,，,0),、,E,(1,，,0,，,2),、,F,(1,，,1,，,2),，,,题型,二,,求直线的夹角,【,例,2,
6、】,,,,,,,,规律方法,在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别．,,,四棱锥,P,－,ABCD,中，,PD,⊥,平面,ABCD,，,PA,与平面,ABCD,所成的角为,60°,，在四边形,ABCD,中，,∠,ADC,＝,∠,DAB,＝,90°,，,AB,＝,4,，,CD,＝,1,，,AD,＝,2.,,(1),建立适当的坐标系，并写出点,B,、,P,的坐标；,,(2),求异面直线,PA,与,BC,所成的角的余弦值．,,解,,(1),如图，建立空间直角坐标系．,,∵∠,AD
7、C,＝,∠,DAB,＝,90°,，,,AB,＝,4,，,CD,＝,1,，,AD,＝,2.,,,【,变式,2,】,∴,A,(2,，,0,，,0),，,C,(0,，,1,，,0),，,B,(2,，,4,，,0),．,,由,PD,⊥,平面,ABCD,，得,,(12,分,),已知正方体,ABCD,－,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,2,，,E,、,F,分别是,BB,1,、,DD,1,的中点，求证：,,(1),FC,1,∥平面,ADE,；,,(2),平面,ADE,∥,平面,B,1,C,1,F,.,,,,,,题型,三,,利用空间向量证明平行问题,【,例,3,】,[,规范解答,],如图所示建立空间
8、直角坐标系,D,－,xyz,，,,则有,D,(0,，,0,，,0),、,A,(2,，,0,，,0),，,C,(0,，,2,，,0),，,C,1,(0,，,2,，,2),，,E,(2,，,,2,，,1),，,F,(0,，,0,，,1),，,B,1,(2,，,2,，,2),，,规律方法,利用向量法解此类题的关键是建立适当的坐标系，求出平面的法向量，通过分析直线的方向向量、平面的法向量之间的关系进行证明．,,,,,如图所示，正方体,ABCD,－,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,，,N,，,E,，,F,分别是棱,A,1,B,1,，,A,1,D,1,，,B,1,C,1,，,C,1,D,1,的中
9、点．,,求证：平面,AMN,∥,平面,EFDB,.,,证明,如图，分别以,DA,、,DC,、,DD,1,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立空间直角坐标系．,,设正方体棱长为,a,，,,则,A,(,a,，,0,，,0),，,A,1,(,a,，,0,，,a,),，,,D,1,(0,，,0,，,a,),，,B,1,(,a,，,a,，,a,),，,,B,(,a,，,a,，,0),，,C,1,(0,，,a,，,a,),．,,【,变式,3,】,,在长方体,ABCD,－,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,＝,a,，,BC,＝,b,，,AA,1,＝,c,，求异面直线,BD,1,和,B,1,C,所成角的余弦值．,,误区警示,,忽略异面直线所成角与向量夹角的关系,【,示,例,】,
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