面面垂直的性质

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,两个平面垂直的判定和性质,数学对口高考复习,面面垂直的性质,1,复习回顾：,（１）利用定义,,,［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］,（２）利用判定定理［线面垂直　　面面垂直］,,,A,B,线面垂直,面面垂直,线线垂直,面面垂直的判定,2,,两个平面垂直的性质定理,如图2，,α,⊥,β,，AB⊂,α,，AB⊥CD，,α,∩,β,=CD，,,求证：AB⊥,β,。,[分析],,在,β,内作BE⊥CD。要证AB⊥,β,，只需证AB垂直于,β,内的两条相交直线就行。,,而我们已经有AB⊥CD

2、，只需寻求另一条就够了。,,而我们还有,α,⊥,β,这个条件没使用，由,α,⊥,β,定义，则∠ABE为直角，即有AB⊥BE，也就有 AB⊥,β,，问题也就得到解决．,3,,[两个平面垂直的性质定理1],,如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．,[两个平面垂直的性质定理2],,如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．,为作辅助线提供了理论依据,为判定直线在平面内提供了理论依据,4,,例题1  如图4，AB是⊙,O,的直径，点C是⊙,O,上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙,O,所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线

3、 DE与平面VBC有什么关系？试说明理由．,解：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC，VC⊥BC，即 ∠ACB是二面角A-VC-B的平面角．由∠ACB是直径上的圆周角，知 ∠ACB =90°。,因此，平面 VAC⊥平面VBC．由DE是△VAC两边中点连线，知 DE∥AC，故DE⊥VC．由两个平面垂直的性质定理，,,知直线DE与平面VBC垂直。,注意：本题也可以先推出AC垂直于平面VBC，再由DE,∥,AC，推出上面的结论。,5,,例2．S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。,,求证：AB⊥BC。,S,C,B,A,D,证明：过A点作AD⊥SB于D点.,,∵平

4、面SAB ⊥ 平面SBC, ∴ AD⊥平面SBC，,,∴ AD⊥BC.,又∵ SA ⊥ 平面ABC， ∴SA ⊥ BC. AD∩SA=A,,∴BC ⊥ 平面SAB.,,∴BC ⊥AB.,6,,例3．求证：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面.,α,β,γ,P,l,Q,b,a,M,N,D,已知：α⊥β，β⊥γ，γ⊥α， α∩β= l．,,求证：l⊥γ.,证明：在l上取点,P，且P∈,γ.设α∩γ=a，β∩γ=b， 过点P作PD⊥γ于D.,∵α∩γ=a， ∴D必在α与γ的

5、交线a上.,同理D必在β与γ的交线b上.,,∴D是a、b的交点.,∴PD与l重合，即l⊥γ.,评注：1、此证法为同一法,,2、另证：在γ内取点Q.,7,,1．给出下列四个命题：　　①垂直于同一个平面的两个平面平行；　　②垂直于同一条直线的两个平面平行；　　③垂直于同一个平面的两条直线平行；　　④垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的命题的个数是（      ）．　　A．1         B．2           C．3           D．4,B,,课堂练习：,8,,2．给出下列四个命题：（其中a，b表直线，α，,β,，,γ,表平面）。　　①若a⊥b，a∥,α,，则b

6、⊥,α,；　　②若a∥,α,，,α,⊥,β,，则a⊥,β,；　　③若,β,∥,γ,，,α,∥,γ,，则,α,⊥,β,；　　④若,α,⊥,β,，a⊥,β,，则a∥,α,。其中不正确的命题的个数是（      ）．　　A．1         B．2            C．3          D．4,D,课堂练习：,9,,3．在二面角,α-l-β,的一个面,α,内有一条直线AB，若AB与棱l的夹角为45°，AB与平面,β,所成的角为30°，则此二面角的大小是（      ）,A.,30°，,B.,30°或150°，,C.,45°，,D.,45°或135°。,A,α,B,β,O,C,如

7、图，过A点作AO⊥,β,于O，在,α,内作AC垂直棱于C，连OB、OC，则,∠,ABC=45,°,，,∠ABO=30°，∠ACO,就是所求二面角的平面角。,设AB=a,则AC=,AO=,则sin,∠,ACO=,∴∠,ACO=45,°,D,10,,4．线段AB长为2a，两端点A，B分别在一个直二面角的两个面内，且AB与两个面所成的角分别为30°和45°，设A，B两点在棱上的射影分别为A′，B′，则 A′B′长等于（      ）．,,C,提示：利用直线与平面所成角的定义和垂直关系得：,∠,BAB′=30,°,，,∠,ABA′=45,°∴,在,Rt△,BB′A中，BB′=AB/2=,a,，,在Rt△BB′A′中，,在Rt△BA′A中,11,,课堂小结,已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内,4.解题过程中应注意充分领悟、应用,3.证明,面面,垂直要从寻找,面的垂线,入手,2.理解,面面,垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的,定义,1.定义,面面,垂直是在建立在,二面角,的定义的基础上的,线面垂直,面面垂直,线线垂直,面面垂直,线面垂直,线线垂直,12,,布置作业：,,,,,,,,,13,,