七年级下册第一章整式的乘除

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,第一章 整式的乘除,,,,,,七年级〔下册〕,,,,,知识点记忆口诀,八个公式〔幂六乘二〕,,五个法那么〔三乘两除〕,,一种计数〔科学计数法表示较小的数〕,,一个活用〔公式正用逆用〕,,五种思想〔整体的思想；数形结合的思,,想；化归的思想；类比、推,,理、归纳的思想；方程的思想〕,,一座桥梁〔数与代数的桥梁：字母表示数),,,,第一单元：同底数幂的乘法,同底数幂的乘法法那么,,复习：,,整式；单项式和多项式统称为整式。,,整式的加减；一去二合。,,幂的运算：an=n个a相乘。底数a；指数n

2、；幂an,,法那么：,,同底数幂的乘法：底数一样的两个幂相乘。,,同底数幂相乘，底数不变，指数相加,,am·an=am+n(m、n是正整数〕。,,公式中的字母：可数、可字母、可整式。,,与整式加法之间的关系。如2a与a2的区别。,文,符,【法那么推导】,am · an等于什么〔m,n都是正整数)为什么？,a,m,· a,n,=(a·a·,…,·a)(a·a·,…,·a),,,m个a,n个a,=a,·,a,·,…,·,a,,m+n个a,,=a,m+n,,a,m,· a,n,=a,m+n,(m,n,都是正整数）,,同底数幂相乘,,底数,,，,,指数,,,.,不变,相加,３３·３２＝？〔－３〕３·〔

3、－３〕２=,【例1】计算,：,,,(-3),7,×(-3),6,;,,(2) ( ),3,×( );,,(3) -x,3,·x,5,; (4) b,2m,·b,2m+1,.,解：,(1) (-3),7,×(-3),6,=(-3),7+6,=(-3),13,(2) ( ),3,×( )=( ),3+1,=( ),4,(3)-x,3,· x,5,= -x,3+5,= -x,8,(4) b,2m,· b,2m+1,= b,2m+2m+1,= b,4m+1,【练习1】计算：,,〔a+b-c〕4·〔a+b-c〕5,,(a-b)2·

4、(b-a)3,注意：隐性同底→同底！,,【练习2】判断〔正确的 打“√〞，错误的打“×〞〕,x,3,·,x,5,=x,15,(,,) (2) x,·,x,3,=x,3,( ),,(3) x,3,+x,5,=x,8,(,,) (3)x,2,·,x,2,=2x,4,( ),,(5)(-x),2,·,(-x),3,= (-x),5,= -x,5,( ),,(6)a,3,·,a,2,- a,2,·,a,3,= 0 ( ),,(7)a,3,·,b,5,=(ab),8,( ) (8) y,7,+y,7,=y,14

5、,( ),,,√,√,×,×,×,×,×,×,同底数幂法那么的推广和逆用,,推广：am·an·---·ap=am+n+---+p〔m、p、n为正整数〕,,隐性同底的转化：〔b-a〕2=〔a-b〕2〔偶次〕； 〔b-a〕3=-〔a-b〕3〔奇次〕——底数变相反数，结果：奇变偶不变。,,逆用：am+n=am·an〔m、n是正整数〕,,逆用公式是灵活性：你想要什么？你希望出现什么？a5=a4+a=a3+a2------,,关键词：同底；不变；相加！,【例2】计算,,计算①x2·(-x)3·(-x)4 ②xn·xn+1·xn-1·x,,③(x-2y)·2(x-2y)n-1·(x-2y)n+2,,

6、④(x-y)2·(y-x)3·(y-x)2·(x-y)3,,：2m=3；2n=4，求2m+n的值。,,：a3·am·a2m+1=a25求m的值。,,：2a=2 2b=6 2c=12探究a、b、c之间的关系。,,课堂小结,,a,m,· a,n,=a,m+n,(m,n,都是正整数）,同底数幂的乘法性质：,底数,,,,，指数,,.,不变,相加,幂的意义,:,,a,n,= a,·,a,·,…,·,a,,n个a,【典例1】——一种特殊的解题技巧。,,求1+2++22+23+---+22021可以这样做：,,令S= 1+2+22+23+---+22021 两边同乘2得：,,2S= 2+22

7、+23+24+---+22021+22021,,因此：2S-S=22021 -1,仿照以上推理，计算：,,1+5+52+53+---+52021=〔 〕。,【典例2】,光的速度约为,3,×,10,5,千米,/秒，太阳光照射到地球大约需要5,×,10,2,秒,.地球距离太阳大约有多远？,解：,3,×,10,5,×,5,×,10,2,=15,×,10,7,=1,.,5,×,10,8,(千米),地球距离太阳大约有,1,.,5,×,10,8,千米,.,,飞行这么远的距离，一架喷气式客机大约要,20年呢！,,,,第二单元：幂的乘方与积的乘方,幂的乘方,,意义：底数是幂。也就

8、是几个一样的幂相乘。,,法那么,,幂的乘方，底数不变，指数相乘。,,(am)n = amn (m、n为正整数),,法那么的推广：[(am)n]p=amnp (m、n、p是正整数),,法那么的逆用：amn = (am)n = (an)m (m、n为正整数).,,补充公式：假设am=an那么m=n (a≠0、a≠1),文,符,,【,例,1,】,计算：,,(1) (10,2,),3,; (2) (b,5,),5,; (3) (a,n,),3,;,,(4),-,(x,2,),m,; (5) (y,2,),3,· y,; (6) 2(a,2,)

9、,6,,－,,(a,3,),4,.,,(6),,,2(a,2,),6,– (a,3,),4,=10,2,×,3,=10,6,;,(1),(10,2,),3,解：,(2),(b,5,),5,= b,5,×,5,= b,25,;,(3),(a,n,),3,= a,n,×,3,=a,3n,;,(4),,-,(x,2,),m,=,-,x,2,×,m,=,-,x,2m,;,(5),(y,2,),3,· y,= y,2,×,3,· y,= y,6,,· y,=2a,2,×,6,-,a,3,×,4,=2a,12,-,a,12,=a,12,.,= y,7,;,【练习1】计算,,,,,,【练习2】,,：(9m)

10、2=316，求m的值。,,：2×8n×16n=222，求n的值。,回顾,&,,思考,,☞,,,幂的意义,:,a,·,a,·,…,·,a,,n,个,a,a,n,=,,同底数幂的乘法运算法则：,a,m,,· a,n,=,,a,m,+,n,〔m,n都是正整数〕,,幂的乘方运算法则:,,(,a,m,),n,=,,(,m、n,都是正整数,),a,mn,,积的乘方,,意义：底数是乘积的形式的乘方〔幂的底数是乘积〕。,,法那么,,积的乘方，等于分别把每个因式乘方，再把所得的幂相乘。,,(ab) n=anbn (n是正整数),,括号中的每个因式、系数〔含符号〕，都要乘方。,,法那么的推广：(a

11、bc)n=anbncn (n是正整数),,法那么的逆用：anbn = (ab) n (n是正整数),,特别注意理解：因式的含义。,文,符,的证明,(,ab,),n,=,,ab,·,ab,·,……,·,ab,,( ),,=(,a,·,a,·……·,a,) (,b,·,b,·……·,b,),,( ),,=,a,n,·,b,n,．,,( ),,幂的意义,乘法交换律、结合律,,幂的意义,,n,个,ab,,n,个,a,,n,个,b,(,ab,),n,=

12、,,a,n,·,b,n,【例2】计算,,(2a3b4)2,,(-xm+1)3,,[(a-b)2]n,,48×0.258,,212×(—)10,,(-4)2021×(0.25)2021,1,2,幂的三种运算法那么的异同和混算,,都属于“幂〞的运算。,,底数不变，都是对指数进展运算。,,每个法那么既可正用又可逆用，逆用时要灵活变化。,,指数：相加；相乘；每个因式分别乘方。法那么的条件一定要清楚：切记：(a+b)2≠a2+b2,,混合运算：一定顺序二开算，步步回头不出错。,,注意不与合并同类项混淆。a+a与a·a,【例3】计算,,(-a,2,),2,·(-a,3,),2,,(-a,4,b,3,),3

13、,·(-a,2,b,3,),2,·(-a,2,b,3,),5,,[(x+y),2,],3,·[(x+y),3,],4,,(-2x,4,),4,+x,10,(-x,2,),3,+x,4,·(x,4,),3,,,小结：,,幂、幂的乘方与积的乘法意义法那么要记清,,混合运算不要混,,公式逆用要灵活,,典例,【典例1】(amb·abn)5=a10b15，,,求3m(n2+1)的值。,【典例2】比较3100与475的大小。,指数都变成,25！,【典例3】假设2x+5y-3=0,求4x·32y的值.,【典例4】计算：,,(-x),2,·x·(-xy),3,+(xy),2,·(-x),4,·y,【典例5】假

14、设Ia-b+2I+(a-1)2=0,,那么(-2a)2 · b的值为〔 〕,【典例6】假设a=355,b=444,c=533,,,那么有( ),,a＜b＜c,,c＜b＜a,,a＜b＜c,,a＜c＜b,,,,第三单元：同底数幂的除法,同底数幂的除法,,意义：底数一样的两个幂相除。,,法那么：,,同底数幂相除，底数不变，指数相减。,,am÷an=am-n(a≠0，m、n都是正整数，m＞n),,法那么推广：am÷an ÷ap=am-n-p(a≠0，m、n都是正整数，m＞n+p),,法那么的逆用：am-n=am÷an (a≠0，m、n都是正整数，m＞n)

15、,,注意关键词：同底；相减；确保指数是正数。,文,图,上述法那么的推广：,,,,m-n个,n个,n个,m-n个,,=a,m-n,■也可用乘法的逆运算推广：因为 a,m-n,·a,n,=a,m,所以,a,m,÷a,n,=a,m-n,【例1】做一做,,计算：,,⑴ (-a)6÷(-a)3,,⑵ (-2abc)7÷(-2abc)5,,⑶ (-x)7÷(-x3)÷(-x)2,,：am=4，an=8，求a3m-2n的值。,隐性同底变对法则逆用灵活！,巩固练习,1.计算：,2.填空：,〔1〕 〔 〕=,〔2〕〔 〕 =,〔3〕

16、 〔 〕 =,〔4〕 〔 〕=,零指数幂和负整数指数幂的意义,,零指数幂：,,任何非零的数的零次幂都等于1.,,a0=1 (a≠0),,负整数指数幂,,任何非零数的-p(p是正整数)次幂，等于这个数,,的 p次幂的倒数。,,a-p= — (a≠0，p是正整数),,注意：隐性条件“底数不等于0〞的考察。,,负整数指数幂中的符号：倒数的作用！,,正整数指数幂的运算可以推广到整数指数。,,两个法那么也可以逆用： 1=a0 — = a-p条件不变,a,p,1,1,a,p,文,文,符,符,附：关于负整数指数幂的计算技巧,口诀：底数倒一倒 指数变个

17、号,【例2】做一做,,计算：,,104÷10-2×100,,,,,,,用分数或小数表示以下各数：,,10-2 ②5×100×10-4 ③-2.64×10-5,,④(- —) -2,5,3,【练习】,口诀：底数倒一倒 指数变个号,用科学记数法表示绝对值较小的数,,意义：一般地，一个小于1的正数，可以表示为a×10n的形式，其中1≤a＜10,n为负整数。,,方法：一移二数三写。移：移动原数的小数点使其变为大于等于1而小于10的数a→数：小数点移动的位数就是n的绝对值→写：原数=a×10n,,注意：与“用科学记数法表示较大的数〞类比理解记忆，形成统一而完整的知识体系——科学记数

18、法。,用科学记数法表示以下各数:,,1) 0.00003,,2) -0.0000064,,3) 0.0000314,,20210000000,,-98000000000000,【例3】,,引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立。科学记数法不仅可以表示一个绝对值大于,10,的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意,a,必须满足，,1≤∣,a,∣,＜,10.,其中,n,是正整数,课堂小结：,回顾,幂的四个运算法那么：,,1.同底数幂相乘：指数相加。,,2.幂的乘方：指数相乘。,,3.积的乘方：,,4.同底数幂相除：指数相减。,幂的运算〔4+2〕

19、法那么,,■幂是运算：4个法那么,,■零指数、负整数指数,,幂的运算性质2个,3.幂的运算法那么在整数范围内成立,4.一个运算方法：,口诀：底数倒一倒 指数变个号,,,【典例1】计算,,(x-y),7,÷(y-x),6,+(-x-y),3,÷(x+y),2,,[(a,3,),3,·(-a,4,),3,]÷(a,2,),3,÷(a,3,),2,【典例2】：5x-3y-2=0求：1010x÷106y,,的值。,【典例3】：3m=6,3n=5,3k+2m-3n的值为,,——，求k的值。,324,125,【典例4】如果(x-7),x,=1,试探究x可能的取值。,0,8,6,幂,,的,,运,,算,法那

20、么,性质,,,同底数幂的乘法,同底数幂的除法,积的乘方,商的乘方,幂的乘方,零指数幂,负整数指数幂〔三种算法〕,,,,,第四单元：整式的乘法,单项式与单项式相乘,,整式乘法：单×单；单×多；多×多。,,乘法的交换律与结合律。,,单×单=系数·同底·光棍,,书写标准：数在前；一个字母〔因式〕出现一次；字母因式按照字母顺序排列。,,比照：加减：同类项才可以加；乘法：同底数的幂才可以相乘。,【例1】 计算,【练习1】 计算,,【练习2】 计算：,,,单项式与多项式相乘,,复习：乘法对加法〔减法〕的分配律,,单项式乘多项式,,用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积,,相加。,,m(a+b+c)=

21、ma+mb+mc,,做到：不漏乘；不错号；结果简。,,简记：“一人〞与多名客人分别握手。,符,文,【例2】 计算,(1),2ab(5ab,2,+3a,2,b),(2),(,2,-2ab)·,(3)(-12xy,2,-10x,2,y+21y,3,)(-6xy,3,),,【练习1】,计算,：,,,,①,,,,②,,,,③,,,,④,,,,,多项式乘多项式,,必备知识：整体的思想；乘法的分配律。,,法那么：,,先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的,,每一项，再把所得的积相加。,,(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,,积的项数：两个多项式的项数分别是m，n那么它们的积的项数为mn(合并同

22、类项前〕。,,多人与多名客人分别握手。,,结果要最简：能合并同类项的要合并同类项。结果书写要标准。,文,符,【例3】计算：,(1),(2a,–3b)(a+5b) ;,(2),(xy,–,z,)(2xy+,z,) ;,(3),(x,–1)(x,2,+x+1) ;,(4),(2a+b),2,;,(5),(3a,–2)(a–1)–(a+1)(a+2),,;,(6),(x+y)(2x,–y)(3x+2y).,总结：,,整式乘法分哪几类？计算法那么分别是什么？,,典例,【典例1】先化简，再求值：),,(a+b)(a-b)+a(2b-a),其中：a=1.5 b=2,【典例2】假设(px+q)(-2x

23、-3)的乘积中不含x2的项，且一次项系数为2，求p,q的值。,【典例3】 计算,,,⑴ (a+b),2,-(a+b)(a-b)-(a-b),2,,,⑵(3+x)(2x-3)-(6x-7)(x-4) 其中：x=2,【典例4】假设(x-4)(x+8)=x2+mx+n,求mn的值,,,,第五单元：平方差公式,平方差公式,,两数和与两数差的积，等于这两数的平方差,,(a+b)(a-b)=a2-b2,,特征：左：一同一反；右：同2-反2,,本质：“前前得前 后后得后 穿插相消〞。,,公式中的字母：可数、可字母、可整式。,,抓住公式特征：两两相乘，一同一反，能用那么用，不能用勿勉强。,,公式的

24、逆用： a2-b2 = (a+b)(a-b),,理解：四项是怎么变成两项的。,文,符,【例】计算,：,1、(5m+2n)(5m-2n)=,(5m),2,-(2n),2,= 25m,2,-4n,2,,(a + b)( a - b )= a,2,- b,2,,2. (1)(-4a-1)(-4a+1),(2) [(x+y)+z][(x+y)-z],(3)(-2a,2,+7)(-2a,2,-7),【练习】,,,(1)(y+2)(y-2)-(3-y)(3+y),,,(2)(3m-4n)(4n+3m)-(2m-3n)(2m+3n),思考题,,(x-y)(x+y)(x,2,+y,2,)(x,

25、4,+y,4,)(x,8,+y,8),(x,16,+y,16,),【典例1】假设x+y=3,x2-y2=12,求x-y的值。,【典例2】计算,,409×502,,20—×19—,1,7,7,6,【典例3】解方程,,,(3x+4)(3x-4)=9(x-2)(x+3),【典例4】,2,96,-1能被60至70之间的两个数整除，这两个数是多少？,,,,第六单元：完全平方公式,完全平方公式,,和的平方与平方和的区别。,,,两项和的平方，等于这两项平方的和，加,,,上这两项积的,2,倍。,,(a+b),2,=a,2,+b,2,+2ab=a,2,+2ab+b,2,,(a- b),2,=a,2,+b,2,-

26、 2ab=a,2,- 2ab+b,2,,首平方、尾平方，,2,倍首尾放中央。,,公式中的字母：可数可字母可整式。,,公式的逆用：,a,2,+2ab+b,2,=(a+b),2,,,a,2,- 2ab+b,2,=(a-b),2,,X,2,+y,2,=(x+y),2,-2xy=(x-y),2,+2xy,,,特别点拨,(a+b),2,- 4ab = (a-b),2,,(a -b),2,+4ab = (a+b),2,【例题】,,利用完全平方公式计算：,,,,(1),(2,x,−,3),2,； (2),(4,x,+,5,y,),2,; (3) (,mn,−,a,),2,,,,(

27、4) (-x+3y),2,统一看作“两项”的平方！,【练习】,(1) (,x,− 2,y,),2,； (2) (,2,xy,+,x,),2,,;,1,、,计算：,(3),,(,n,+,1,),2,−,n,2,.,2、指出以下各式中的错误，并加以改正：,,(1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1；,,(3) (a−1)2＝a2−2a−1.,【典例1】,,：a+b=-5,ab=-6,求：a2+b2及(a-b)2的值.,,：a=3,b= — ，求(a+b)(a-b)+(a+b)2-2a2的值。,3,1,【典例2】,如果：,4x,2

28、,+mxy+9y,2,是一个完全平方式，求,m的值。,mxy=±2(2x)(3y)所以m=12或 m=-12,【典例3】用简便方法计算：,,⑴992 ⑵〔30 — 〕2,3,1,【典例4】,,：x2+y2-6x+4y+13=0,,,求x+2y的值。,,求：x2+y2-6x+4y+17的最小值.〔x=;y=),,计算：(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2,,：(m-n)2=8,(m+n)2=2,那么m2+n2=( ),,25x2+20xy+( )=( )2,,,x+ — =4,求：⑴x2+ — ；⑵〔 x- —

29、〕2,1,x,1,x,2,x,1,,(x±—）,2,=x,2,±2+ —,1,x,1,x,2,,,,第七单元：整式的除法,回顾,&,,思考,☞,〔a ≠ 0〕,1、,用字母表示幂的运算性质：,(3),=,,;,,(5),=,,;,,(4),=,,.,,;,(6),=,,.,,.,(1),=,,;,,(2),=,,;,,1,2、,计算：,(1),a,20,÷,a,10,；,(2),a,2,n,÷,a,n,；,,(3) (,−,c,),4,÷,(,−,c,),2,；,(5),(,a,2,),3,·,(,-,a,3,),÷,(,a,3,),5,；,,(6),(,x,4,),6,÷,(,x,6,),2

30、,·,(,-,x,4,),2,。,=,a,10,=,a,n,=,c,2,=,−,a,9,÷,a,15,=,−,a,−6,=,−,=,x,24,÷,x,12,·,x,8,=,x,24,—,12,+,8,=,x,20,.,单项式除以单项式,,法那么：单÷单=系数·同底·光棍〔只在被除式里出现。为什么有这样的规定？确保商式仍是整式！学习分式的伏笔与悬念〕,,迟到的定义：整式的乘除：几个整式乘除，其结果仍然是整式。,,再次强调：注意符号。计算时：一定号，二定值；做完后：一查号，二查值。,,完整法那么：单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数一起

31、作为商的因式。,【例1】计算：,底数不变，,,指数相减,.,保存在商里,,作为因式.,,,,理解,商式＝系数,•,同底数幂,•,被除式里单独有的幂,课堂练习：计算,(1) (10ab,3,),÷,(5b,2,),(2) 3a,3,÷,(6a,6,),·(-2a,4,),(3) (3a,5,b,3,c),÷,(-12a,2,b),1.计算：,(2)3,a,3,÷,,(6,a,6,),；,(1)(10,ab,3,)÷(5,b,2,),；,(3)(,－,12,s,4,t,6,) ÷(2,s,2,t,3,),2,.,,2.以下计算错在哪里？应怎样改正？,,课堂练习,计算,,〔1〕 〔2a6b³〕÷〔a

32、³b²〕,,〔2〕 〔1/48x³y²〕÷〔1/16x²y〕,,〔3〕 〔3m²n³〕÷〔mn〕²,,〔4〕 〔2x²y〕³÷〔6x³y²〕,随堂检测,随堂检测〔续〕,计算,,(5)〔-2r²s〕²÷〔4rs²〕,,(6)〔5x²y³〕²÷〔25x4y5〕,,(7)〔x+y〕³÷〔x+y〕,,(8)〔7a5b³c5〕÷〔14a²b³c〕,怎样寻找多项式除以单项式的法那么？,(,ad+bd,)÷,d,=,逆用同分母的,,加法、约分：,,重点推荐的解法,(,ad+bd,,)÷,d,=,(,ad,)÷,d,+,,(,bd,)÷,d,。,省略中间过程,,=,上述过程简写为：,(,ad,+,bd,)÷,

33、d,=,(,ad,)÷,d,+,(,bd,)÷,d。,计算以下各题：,,〔2〕(a2b+3ab)÷a = _________,,〔3〕(xy3–2xy)÷(xy) = _______,a,b,+,3,b,y,2,–,2,多项式除以单项式,,先把多项式的每一项分别除以单项式，再,,把所得的商相加。,,(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m,,商式×除式=被除式；被除式÷商式=除式,,了解：多项式÷多项式 ；单项式÷多项式。结果为“分式〞，目前无法解决，初二学习“分式〞时专门解决。,文,符,推导提示：(a+b+c)÷m=(a+b+c)×〔 〕=？？？,【例,3】,计算：,,阅读,,

34、,,思考,☞,哪一个等号在用法则？,在计算单项式除以单项式时，要注意什么？,先定商的符号；,,注意把除式添括号,;,整式的混合运算和综合运用,,顺序：括号→乘方、开方→乘除法→加减法,,一定顺序二开算，增减括号要标准；符号处理要细心，步步回头信心增；条件结论不能错，法那么运用须精准；最后千万不大意，结果最简不能忘。,,计算分级：加法、减法为一级运算；乘法、除法为二级运算；乘方、开方为三级运算。,,【例3】,一,:计算,,二,:解答题,考点梳理,合并同类项,,中考演练,【练一】选择,【练二】选择,【练三】填空,【练四】直接写结果,【练五】熟能生巧,【练五】细心做一做,【练七】做一做,【练八】填空,【练九】,【练十】,【练十一】快速做答,完毕寄语,悟,性,,取决于有无悟,心,,,下课了,!,,再 见,,,