数学23数学归纳法课件新

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1、金太阳新课标资源网,,单击此处编辑母版标题样式,,*,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,山东省临沂第一中学,数学归纳法,,问题1：有一台晚会，假设知道晚会的第一个节目是唱歌，第二个节目是唱歌、第三个节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？,问题2：有一台晚会，假设知道唱歌的节目后面一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？,问题3：有一台晚会，假设知道第一个节目是唱歌，如果一个节目是唱歌那么它后面的节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？,一、设置情景，导学探究：,思考2：有假设干块骨牌竖直摆放，假设将它们全部推倒，有什么方法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么

2、？,〔1〕推倒第一块骨牌；,〔2〕前一块骨牌倒下时能碰倒后一块骨牌.,,,,多米诺骨牌课件演示,,如何保证骨牌一一倒下？需要哪些条件？,〔2〕任意相邻的两块骨牌，假设前一块倒下，那么必须保证下一块要相继倒下。,〔1〕第一块骨牌倒下,----------递推关系；,即第k块倒下，那么相邻的第k+1块也倒下,----------奠基；,思考3：,某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？,〔1〕始祖姓王；,〔2〕子随父姓.,〔第1代姓王〕,〔如果第k代姓T，那么第k+1代也姓T〕,思考4：数列{an}满足:,,〔n∈N*〕，那么该数列,,的各项能确定吗？上述递推关系只说明

3、什么问题？假设确定数列中的每一项，还需增加什么条件？,由第k项可推出第k＋1项,.,给出第1项；,〔1〕,〔2〕,思考5：,上述证明方法叫做,数学归纳法,，一般地，用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，其证明步骤如何？,〔1〕证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；,〔2〕假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.,思考6：,数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是,归纳奠基,，第二步是,归纳递推,，完成这两个步骤的证明，实质上解决了什么问题？,逐一验证命题对从n0开场的所有正整数n都成立.,证明：1、当,n,=1时,左=1,2,=1，右=,,∴,n

4、,=1时，等式成立,,2、假设,n,=,k,时，等式成立，即,,那么，当,n,=,k,+1时,,左=1,2,+2,2,+…+,k,2,+(,k,+1),2,=,,,=右,,∴,n,=,k,+1时，原不等式成立,,由1、2知当,n,N,*,时，原不等式都成立,例1、用数学归纳法证明：,,,练习：用数学归纳法证明,,,证明：(1) n=1时，左边,=,,,那么,,(2) 假设,n=k（k,∈N*),时等式成立，即,,右边,=,等式成立,。,即当n=k+1时等式也成立。,根据（1）和（2），可知等式对任何,n∈,N*,,都成立。,这就是说当 时等式成立，,,所以 时等式

5、成立,.,思考1：,下列推证是否正确，并指出原因,.,,用数学归纳法证明：,证明：假设 时，等式成立，,就是,那么,,思考2：,下面是某同学用数学归纳法证明命题,,,的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?,(1)当n=1时,左边= , 右边=,,,(2)假设n=k(k∈N*)时命题成立 ，,,,,那么n=k+1时,,,,,,,,,即n=k+1时,命题也成立.,,由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.,,=右边,,左边,思考3：,下列证法对吗？,用数学归纳法证（n∈N,+,):,1+2+3+,…,+ 2n = n(2n+1 ),证明：1)左边

6、=1=……,,2)假设n=k时等式成立,即:,1+2+3+,…,+ 2k = k(2k+1).,1+2+3+,…,+ 2k +2(k+1),,= k( 2k+1)+2(k+1)=,……,那么,，n = k+1,时,，,1+2+3+,…,+ 2k = k(2k+1).,1+2+3+,…,+ 2k+,(2k+1)+ 2(k+1),,= k(2k+1)+,(2k+1)+ 2(k+1),=,……,那么,，n = k+1,时,，,证明：1)左边=1+2=3=右边,,2)假设n=k时等式成立,即:,(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到,,n=k命题成立这一归纳假设,否那么就打破数学,,归纳

7、法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无,,效.,证明中的几个注意问题：,(1)在第一步中的初始值,不一定从1取起,，证明时,,应根据具体情况而定.,(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要,,分析命题的构造特点,分析“n=k+1时〞命题是什,,么，并找出与“n=k〞时命题形式的差异.弄清,,应增加的项.,例2 数列：,,,试猜测其前n项和Sn的表达式，并数学归纳法证明.,小结作业,1.数学归纳法的实质是建立一个无穷递推机制，从而间接地验证了命题对从n0开场的所有正整数n都成立，它能证明许多与正整数有关的命题，但与正整数有关的命题不一定要用数学归纳法证明，有些命题用数学归纳法也难以证

8、明.,数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：,（1）,证明当 取第一个值 （如 或,2,等）时结论正确；,,（2）,假设时 结论正确，证明,,,时结论也正确．,,递推根底,递推依据,“找准起点，奠基要稳〞,“用上假设，递推才真〞,注 意：,1、一定要用到归纳假设；,,2、看清从k到k＋1中间的变化。,2.归纳推理能发现结论，数学归纳法能证明结论，二者强强联合，优势互补，在解决与正整数有关的问题时，具有强大的功能作用.但在数学归纳法的实施过程中，还有许多细节有待进一步明确和认识.,(1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定

9、.,练习1:欲用数学归纳法证明2n>n2,试问n的第一个取值应是多少,答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=5.,证明中需要注意的问题,练习2,:用数学归纳法证明3,n,>n,2,.,此题在第二步的证明过程中在假设n=k时,3,k,>k,2,成立的基础上,当n=k+1时,,,,要说明此式大于零,则必须k,≥2.故在证明的第一步中,,初始值应取1和2两个值.,(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否那么就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.,练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题,,,,,的过程.你认为他的证法正确吗为什么,

10、,,,(1).当n=1时,左边= , 右边=,,,(2).假设n=k时命题成立 即,,,,那么n=k+1时,,,左边,,,,=右边,,,,即n=k+1时,命题也成立.,,由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.,(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的构造特点,分析“n=k+1时〞命题是什么，并找出与“n=k〞时命题形式的差异.弄清应增加的项.,学案P74例题1,1,.已知: ,则 等于( ),,,,,A:

11、 B:,,,,,C: D:,C,练习：,2.学案P74 A 2.,重点：两个步骤、一个结论；,,注意：递推根底不可少，,,归纳假设要用到，,,结论写明莫忘掉。,分析:找到“递推关系〞就等于把握住解决问题的“灵魂〞。,,有几项？,,是什么,它比,多出了多少，是首要问题。,例3．对于n∈N,*,用数学归纳法证明：,事实上f(k+1)不但比f〔k〕多一项，而且前k项中每一项分别比f〔k〕中多了1,2,3,4……k,,f(k+1)=f(k)+1+2+3+……+k,证明：设f(n)=,,(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立,,(2)设当n＝k,

12、时等式成立，即,则n=k+1时，,,f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+……,,+[(k+1)-2]·3+[(k+1)-1]·2+(k+1),,=f(k)+1+2+3+……+k+(k+1),∴由〔1〕〔2〕可知当n∈N*时等式都成立。,①归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；,②数学归纳法的科学性：根底正确；可传递；,③数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；,,④数学归纳法优点：抑制了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又抑制了不完全归纳法结论不可靠的缺乏，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．,数学归纳法的根本思

13、想：,,在可靠的根底上利用命题本身具有传递性,运用“有限〞的手段来解决“无限〞的问题,数学归纳法的核心:,,在验证命题n=n0正确的根底上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。,课堂小结,用数学归纳法证明恒等式的步骤及本卷须知：,,① 明确首取值n0并验证真假。〔必不可少〕,,②　 “假设n=k时命题正确〞并写出命题形式。,,③　分析“n=k+1时〞命题是什么，并找出与“n=k〞时,,命题形式的差异。弄清左端应增加的项。,,④　明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的,,方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，,,并 用上假设。,可明确为：,作业：,,P95练习：,1，2.,