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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,一、区间与邻域,1.集合:,具有某种特定性质的事物的,总体.,组成这个集合的事物称为该集合的,元素,.,有限集,无限集,,数集分类:,N----自然数集,Z----整数集,Q----有理数集,R----实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为,空集.,例如,,规定,空集为任何集合的子集.,,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,,称为闭区间,,,称为半开区间,,称为半开区间,,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段
2、的长度)称为区间的长度.,,3.邻域:,,二 有界集,·确界原理,1 有〔无〕界数集:定义(上、下有界, 有界),,数集S有上界,,数集S无上界,,数集S有下界,,数集S无下界,,数集S有界,,数集S无界,＞,＜,＞,,闭区间 、开区间 为有限数〕、邻域等都是有界数集，,,集合 也是有界数集.,,, 等都是无界数集,,,集合
3、 也是无界数集.,,例1 证明集合,,是无界数集.,, 存在,,由无界集定义，E 为无界集。,证明：对任意,,2 确界:,定义 R, 数M假设满足,,1〕M是E的上界,,2〕 是任一上界，必有 那么称M是E的最小上界或上确界，记 作,,或 。,,,命题1 的充要条件,,1〕M 是E上界，,,2〕 使得 。,,证 必要性，用反证法。设2〕
4、不成立， 那么 使得 ，均有 ，与M是上确界矛盾。,,充分性， 用反证法。设M不是E的上确界，即 是上界,但 。令 ，由2)， ，使得 ，与 是E的上界矛盾。,,定义2 R，m满足,,1〕 m 是下界，,,2〕 是E的任意下界，必有 .,,那么称m为E的下确界或最大下界。记作：
5、 或 .,,,命题2 m= 的 充要条件,,1〕m是E的下 界，,,2〕 使得 .,＜,,例2 ⑴ 那么,,,,,⑵,,那么,,例3 设S和A是非空数集，且有 那么有 .,,
6、例4 设A和B是非空数集. 假设对 和,,都有 那么有,,证 y 是A的上界,,,是B的下界,,,例4,设,A, B,为非空数集,,,满足,:,证明数集,A,有上确界,,,数集,B,有下确界,,,且,证,:,,故有确界原理知,,,数集,A,有上确界,,,数集,B,有下确界,.,,是数集,A,的一个上界,,,而由上确界的定义知,由假设,,,数集,B,中任一数,,都是数集,A,的上界,,,,A,中任一数,,都是,B,的下界,,,,是数集,A,的最小上界,,,故有,,而此式又表明数,,是数集,B,的一个下界,,,,故由下确界
7、的定义证得,,,例5,,为非空数集,,,,,试证明,:,,,证,,有,或,,由,和,分别是,的下界,有,或,即,,是数集,的下界,,,.,和,,,又,的下界就是,的下界,,是,的下界,,,是,的下界,,,同理有,.,于是有,综上, 有,,例5,,为非空数集,,,,,试证明,:,,,证,,有,或,,由,和,分别是,的下界,有,或,即,,是数集,的下界,,,.,和,,命题3,：,设数集,有上〔下〕确界，那么这上,，,且,，那么不妨设,有,对,，,使,，矛盾。,〔下〕确界必是唯一的。,证：设,,3.数集与确界的关系:,确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.,4.确界与最值的关系: 设 E为
8、数集.,,⑴ E 的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点.,,⑵ 非空有界数集必有确界(见下面确实界原理), 但未必有最值.,,⑶ 假设 存在, 必有 对下确界有类似的结论.,,5 确界原理,,定理1 (确界原理). 设 E 为非空数集，假设E有上界，那么E必有上确界；假设E有下界，那么E必有下确界。,,非空，有上界,：,，,,(1).假设,中有最大数,，那么,即为上确界；,,中无最大数，用下述方法产生实数的一个分划；,，其余的实数归入下类,，那么,是实数的一个分划。,证明,设,,.,(2).假设,的
9、一切上界归入上类,,。其次,，由于,不是,的最大数，所以它不是,的上界，即,。这说明,中任一元素都属于下类,；,A,B不空.首先,取,,A、B不漏性由A、B定义即可看出；,,,A、B不乱.设,，,因a不是E的上界，,，使得,，,而E内每一元素属于A，所以,,.,,由,的证明可见,无最大数.,,所以,是实数的一个分划.由戴德金定理，,知上类B必有最小数，记作c.,﹐,由 知,，即得,.,这说明c,是,的一个上界.,,假设b是E的一个上界，那么,，由此得,,，所以c是上界中最小的，,由上确界定义，,为集合的上确界，记作,,。,,,下证:,非空的有下界的集合必有下确界。,事实上，设集合,,有下界b，,,那么非空集合,有上界-b，,,利用集合,,上确界的存在性，,,即可得出集合E的下确界存在。,定理1解决了非空有上(下)界集合的上(下)确界存在性问题，我们可以利用上确界的存在性，得出我们所研究的某一类量〔如弧长〕的存在性。,,假设全序集中任一非空有上界的集合必有上确界，我们称该全序集是完备的。定理1刻划了实数集是完备的。,,
数学分析课件华东师大版12
