变化率与导数导数的计算

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1、,,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,,*,,,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,,*,,,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,,*,,,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,,*,【知识梳理】,1.必

2、会知识　教材回扣　填一填,(1)函数y=f(x)在x=x,0,处的导数:,①定义:称函数y=f(x)在x=x,0,处的瞬时变化率,__________________= 为y=f(x)在x=x,0,处的导数，记作,f′(x,0,)或,即f′(x,0,)= =___________________.,②几何意义:函数f(x)在点x,0,处的导数f′(x,0,)的几何意义是在曲线,y=f(x)上点(x,0,,f(x,0,))处的___________.相应地,切线方程为_______,______________.,(2)函数y=f(x)的导函数:,称函数f′(x)=_____

3、_____________为函数y=f(x)的导函数,导函数有时也记作y′.,切线的斜率,y-f(x,0,),=f′(x,0,)(x-x,0,),(3)根本初等函数的导数公式:,原函数,导函数,f(x)=c(c为常数),f′(x)=__,f(x)=x,α,(α∈Q,*,),f′(x)=______,f(x)=sinx,f′(x)=_____,f(x)=cosx,f′(x)=______,0,αx,α-1,cosx,-sinx,原函数,导函数,f(x)=a,x,(a>0,且a≠1),f′(x)=_____,f(x)=e,x,f′(x)=__,f(x)=log,a,x(a>0,且a≠1),f′(x

4、)=______,f(x)=lnx,f′(x)=_____,a,x,lna,e,x,(4)导数四那么运算法那么:,①[f(x)±g(x)]′=_______________.,②[f(x)·g(x)]′=______________________.,③ ＝__________________(g(x)≠0).,f′(x)±g′(x),f′(x)g(x)+f(x)g′(x),(5)复合函数的导数:,复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y,x,′=__________.,y,u,′·u,x,′,2.必备结论　教材提炼　记一记,(1)曲线y=f

5、(x)在点P(x0,y0)处的切线是以点P(x0,y0)为切点,以f′(x0)为斜率的直线,而曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P(x0,y0)不一定是切点.,(2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡〞.,3.必用技法　核心总结　看一看,(1)常用方法:利用导数求切线的方法.,(2)数学思想:转化与化归、数形结合.,(3)记忆口诀:,导数概念要理清,专门刻画变化量,,放大放大再放大,逼近逼近再逼近.,几何意义在切线,物理应用求速度.,常见函数

6、的导数,定义证明会推导.,导数的四那么运算,记住法那么计算巧.,简单函数的复合,记住公式会运算.,【小题快练】,1.思考辨析　静心思考　判一判,(1)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0).(　　),(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(　　),(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　),(4)假设f(x)=f′(a)x2+ln x(a>0),那么f′(x)=2xf′(a)+ .(　　),【解析】,(1)错误.应先求f′(x),再求f′(x,0,).,(2)正确.如y=1是曲线y=sin x的切线,但其交点个数有无数个.,(3)错误.如y=0与抛物线y,2

7、,=x只有一个公共点,但是y=0不是抛物线y,2,=x的切线.,(4)正确.f′(x)=(f′(a)x,2,+ln x)′=(f′(a)x,2,)′+(ln x)′,=2xf′(a)+ .,答案:,(1)×　(2)√　(3)×　(4)√,2.教材改编　链接教材　练一练,2+6.5t+10.那么运发动的速度v=　　　　,加速度a=　　　　.,【解析】v=h′(t)=-9.8t+6.5,a=v′(t)=-9.8.,答案:,(2)(选修2-2P18T3改编)函数r(V)= ,那么r′( )=_____.,【解析】因为r′(V)=,所以r′( )=,答案：,3.真题小试　感悟

8、考题　试一试,(1)(2021·广东高考)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为　　　　　　.,【解析】因为y′=-5ex,y′|x=0=-5,即在点(0,-2)处的切线斜率为-5,所以切线方程为y-(-2)=-5(x-0),5x+y+2=0.,答案:5x+y+2=0,(2)(2021·江西高考)假设曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,那么α=　　　　.,【解析】因为y′=α·xα-1,所以在点(1,2)处的切线斜率k=α,那么切线方程为y-2=α(x-1),又切线过原点,故0-2=α(0-1),解得α=2.,答案:2,(3)(2021 ·阳泉模拟)直线y

9、= x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,那么实数b=　　　　.,【解析】y′= ,令 = ,得x=2,,因此切点为(2,ln2),代入直线方程,y= x+b得b=ln2-1.,答案:ln2-1,考点1 导数的计算,【典例1】求以下函数的导数:,(1)y=exsin x.(2)y=x( ).,(3)y=x-,(4)y=ln(1-2x).,【解题提示】(1)利用积的导数运算法那么求解.,(2)(3)先化简再求导.(4)y=ln(1-2x)是由y=ln u与u=1-2x复合而成.,【标准解答】(1)y′=(ex)′sin x+ex(sin x)′=exsin x

10、+excos x.,(2)因为,所以y′=,(3)因为y=x- sin x,,所以y′=1- cos x.,(4)设y=ln u,那么y=ln(1-2x)是由y=ln u,与u=1-2x复合而成.,所以y′x=y′u·u′x=(ln u)′·(1-2x)′= ·(-2),【易错警示】解答此题有三点容易出错：,(1)解答此题(2)时，假设直接使用积的运算法那么求导,那么运算烦琐，易出错.,(2)解答此题(3)时，假设不先化简，直接使用积的运算法那么求导，易导致错误答案.,(3)解答(4)时，易因搞不清复合函数的构成而解答失误.,【规律方法】导数计算的原那么和方法,(1)原那么：先化简解析式

11、，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导.,(2)方法：,①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；,②分式形式：观察函数的构造特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；,③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；,④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；,⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；,⑥复合函数：由外向内，层层求导.,【变式训练】求以下各函数的导数.,(1)y=(3x2-4x)(2x+1).,(2)y=x2sin x.,(3)y=,(4),【解析】,(1)因为y=(3x,2,-4x)(2x+1),=6x,3,+3x,2,-8x,

12、2,-4x=6x,3,-5x,2,-4x，,所以y′=18x,2,-10x-4.,(2)y′=(x,2,)′sin x+x,2,(sin x)′=2xsin x+x,2,cos x.,(3)y′=,(4),所以y′=,【加固训练】求以下函数的导数.,(1)y=3xex-2x+e.,(2)y=,(3)y=,【解析】(1)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3xln3·ex+3xex-2xln2=(3e)xln(3e)-2xln2.,(2)先化简,,所以,(3)设u=1-3x，那么y=u-4，,那么yx′=yu′·ux′=,考点2　导数几何意义的

13、应用,知·考情,导数的几何意义是高考重点考察的内容,主要考察求曲线的切线斜率、切线方程或曲线的切线斜率、切线方程求参数的值或范围等问题.,明·角度,命题角度1:求切点坐标或切线方程,【典例2】(2021·江西高考)假设曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,那么点P的坐标是　　　　.,【解题提示】切线问题运用导数的几何意义求解.,【标准解答】设点P(x0,y0),因为y′=-e-x,,所以曲线在点P处的切线的斜率为,又因为切线平行于直线2x+y+1=0,所以,解得x0=-ln2,代入y=e-x得y0=2,,所以点P(-ln2,2).,答案:(-ln2,2),命题角度2:求参数的

14、值,【典例3】(2021·陕西高考)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切),环湖弯曲路段为某三次函数图像的一局部,那么该函数的解析式为(　　),【解题提示】根据图像可以得到函数图像在与x轴交点处的导数,再利用导数及函数的零点列出三元一次方程组,解之即得所求.,【标准解答】选A.由可得此函数为三次函数且过原点,故可设函数解析式为y=f(x)=ax3+bx2+cx,所以f′(x)=3ax2+2bx+c,,由题意知f′(0)=-1,f′(2)=3,f(2)=0,即c=-1,,12a+4b+c=3,8a+4b+2c=0,,解之得a= ,b=- ,c=-1.,所以y= x

15、3- x2-x.,悟·技法,导数几何意义的应用及解法,(1)切点A(x0,y0)求斜率k,即求该点处的导数值k=f′(x0).,(2)斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.,(3)求过某点M(x1,y1)的切线方程时,需设出切点A(x0,f(x0)),那么切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),再把点M(x1,y1)代入切线方程,求x0.,(4)根据导数的几何意义求参数的值时,一般是利用切点P(x0,y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.,提醒:当切线方程中x(或y)的系数含有字母参数时,那么切线恒过定点.,通·一类,1.(2021 ·昆明模拟)假设

16、曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,那么a+b=(　　),,【解析】选C.f′(x)=-asin x,g′(x)=2x+b,由题意知f(0)=a=g(0) =1,且f′(0)=0=g′(0)=b,即a=1,b=0,所以a+b=1.,2.(2021·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，假设曲线y=ax2+ (a，b为常数)过点P(2,-5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，那么a+b的值是__________.,【解析】曲线y=ax2+ (a，b为常数)过点P(2,-5),,那么有4a+ =-5,,又该曲线在点P处的切线与

17、直线7x+2y+3=0平行，,由y′=2ax- 得,联立两式得 那么a+b=-3.,答案：-3,3.(2021·广东高考)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为______.,【解析】因为y′=-5e-5x,y′|x=0=-5,,即在点(0,3)处的切线斜率为-5,,所以切线方程为y-3=-5(x-0),即5x+y-3=0.,答案:5x+y-3=0,4.(2021 ·无锡模拟)抛物线y=x2上的点到直线:x-y-2=0的最短距离为__________.,【解析】y′=2x,根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x-y-2=0的距离

18、最短，设切点坐标为(x0,x02)，那么 所以x0= ,所以切点坐标为( ),切点到直线x-y-,2=0的距离d= ,所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的,最短距离为,答案：,创新体验2　导数几何意义应用的创新问题,【创新点拨】,1.高考考情:导数几何意义的应用中的创新问题是近几年高考命题的一个增长点,此类问题以新定义、新情境为依托,考察学生理解问题、解决创新问题的能力.,2.命题形式:常见的有新概念、新情境、新法那么等.,【新题快递】,1.(2021·陕西高考)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处下降

19、,下降飞行轨迹为某三次函数图象的一局部,那么函数的解析式为(　　),【解题提示】,根据函数的图象可以得到函数的极值点,再利用导数求得解析式的极值点,二者能够统一的即为所求.,【解析】选A.由函数图象可得函数的极值点为±5,对四个选项中函数解析式进展求导,只有选项A的函数解析式求导得y′=3× x2- ,令y′=0得x=±5,所以只有选项A的解析式与图象相统一.,2.(2021·安徽高考)假设直线l与曲线C满足以下两个条件:,(1)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切.,(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧,那么称直线l在点P处“切过〞曲线C.,以下命题正确的选项是　　　　(写出所有

20、正确命题的编号).,①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过〞曲线C:y=x3;,②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过〞曲线C:y=(x+1)2;,③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过〞曲线C:y=sin x;,④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过〞曲线C:y=tan x;,⑤直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过〞曲线C:y=ln x.,【解析】,根据题意满足条件的有①③④,②⑤不满足题意.,答案:,①③④,【备考指导】,1.准确转化:解决此类问题时,一定要读懂题目的本质含义,紧扣题目所给条件,结合题目要求进展恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.,2.方法选取:对于导数几何意义的应用中的创新问题,可恰中选用图象法、特例法、一般逻辑推理等方法,同时结合导数的几何意义求解,以此培养学生领悟新信息、运用新信息的能力.,汇报结束,谢谢大家,!,请各位批评指正,