曲面及其方程

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,进入百度间下载全套课件,,1,空间直角坐标系,2,两矢量和在轴上的投影,,3,矢量积的分配律的证明,4,混合积的几何意义,,5,一般柱面,F,(,x,y,),=,0,6,一般柱面,F,(,y,z,),=,0,,,7,,椭圆柱面,8,双曲柱面,,9,抛物柱面,10,旋转面的方程,,11,双叶旋转双曲面,12,单叶旋转双曲面,,,13,旋转锥面,14,旋转抛物面,,15,环面,,16,椭球面,,,17,椭圆抛物面,,18,双曲抛物面,,,19,双曲面的渐近锥面,,20,单叶双曲面是直纹面,21,双

2、曲抛物面是直纹面,22,,一般锥面,,23,,空间曲线,——,圆柱螺线,24,,空间曲线在坐标面上的投影,,25,空间曲线作为投影柱面的交线,(1),,26,空间曲线作为投影柱面的交线,(2),,27,,作出平面,y,=0 ,,z,=0,，,3,x+y,=6, 3,x+,2,y,=12,和,x+y+z,= 6,所围成的立体图形,,,,主 目 录,( 1— 30 ),,28,29,30,.,,八个卦限,z,y,x,0,1.,,空间直角坐标系,,八个卦限,z,y,x,0,.,,1.,,空间直角坐标系,,八个卦限,z,y,x,Ⅱ,Ⅲ,Ⅰ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅷ,0,M,x,y,N,z,(,x,y,z

3、,),M,,(,x,y,z,),点的坐标,.,,1.,,空间直角坐标系,,0,z,y,x,0,M,x,y,N,z,(,x,y,z,),(,x,y,z,),坐标和点,,,M,1.,,空间直角坐标系,.,,0,z,y,x,0,N,M,点到坐标面的距离,M,点到原点的距离,M,点到坐标轴的距离,P,Q,到,z,轴:,到,x,轴:,到,y,轴:,M,(,x,y,z,),d,1,d,2,d,3,.,.,.,1.,,空间直角坐标系,.,,x,0,z,y,M,点的对称点,关于,x,o,y,面:,(,x,y,z,),,(,x,y,,-z,),关于,x,轴:,(,x,y,z,),,(,x,,-y,-z,

4、),Q,0,关于原点:,(,x,y,z,),,(-,x,-y,-z,),1.,,空间直角坐标系,.,M,(,x,,,y,,,z,),x,R,P,(,x,y,,-z,),(,x,,-y,-z,),,(-,x,-y,-z,),,u,A,B,c,两矢量的和在轴上的投影等于投影的和,A,´,B,´,c,´,2.,,两矢量和在轴上的投影,,A,c,u,A,´,B,´,c,´,B,.,.,两矢量的和在轴上的投影等于投影的和,2.,,两矢量和在轴上的投影,,引理,c,a,将矢量,a,一投一转（转,90,0,），,证明,,引入,,证毕,(,a,+,b,),,c,=(,a,,,c,)+(,b,,,c

5、,),c,0,3.,,证明,矢量积的分配律,:,两矢方向,:,一致,；,a,2,|,a,2,|,=,|,a,1,|,a,2,得,a,2,,(,a,+,b,),,c,=(,a,,,c,)+(,b,,,c,),c,b,a,a+b,(,a,+,b,),,c,a,,c,由矢量和的平行四边形法则，,得证,c,0,3.,,证明,矢量积的分配律,:,.,.,b,,c,将平行四边形一投一转,(,a,+,b,),,c,=(,a,,,c,)+(,b,,,c,),,b,c,,a,,,,b,a,S,=,|,a,,,,b,|,,h,4.,,混合,积的几何意义,,h,,a,c,,a,,,,b,

6、b,4.,,混合,积的几何意义,.,,h,,a,c,,a,,,,b,b,4.,,混合,积的几何意义,.,其混合积,[,abc,] = 0,,三矢,a, b, c,共面,因此，,,x,z,y,0,,母线,F,(,x,y,),=,0,z,,= 0,准线,,,(,不含,z,),M,(,x,y,z,),N,(,x,,,y,, 0),S,曲面,S,上每一点都满足方程；,曲面,S,外的每一点都不满足方程,F,(,x,y,),=,0,表示母线平行于,z,轴的柱面,点,N,满足方程，故,点,M,满足方程,5.,,一般,柱面,,F,(,x,y,),=,0,,,母线,准线,,(,不含,x,),F,(,y,

7、z,),=,0,x,= 0,x,z,y,0,F,(,y,z,),=,0,表示母线平行于,x,轴的柱面,6.,,一般,柱面,,F,(,y, z,),=,0,,a,b,z,x,y,o,7.,,椭圆,柱面,,z,x,y,= 0,y,o,8.,,双曲,柱面,,z,x,y,o,9.,,抛物,柱面,,曲线,C,C,y,,z,o,绕,z,轴,10.,,旋转,面,的方程,,曲线,C,x,C,y,,z,o,绕,z,轴,.,10.,,旋转,面,的方程,,曲线,C,旋转一周得,旋转曲面,,S,C,S,M,N,z,P,y,,z,o,绕,z,轴,.,f (y,1,,,z,1,)=0,M,(,x,y,z,),10.,,旋

8、转,面,的方程,.,x,,S,,曲线,C,旋转一周得,旋转曲面,,S,x,C,S,M,N,z,P,.,绕,z,轴,.,.,f (y,1,,,z,1,)=0,M,(,x,y,z,),f (y,1,,,z,1,)=0,f,(,y,1,,,z,1,)=0,10.,,旋转,面,的方程,.,y,,z,o,,S,,x,0,y,11.,,双叶旋转双曲面,绕,x,,轴一周,,x,0,z,y,.,绕,x,,轴一周,11.,,双叶旋转双曲面,,x,0,z,y,.,11.,,双叶旋转双曲面,.,绕,x,,轴一周,,a,x,y,o,12.,,单叶旋转双曲面,上题双曲线,绕,y,,轴一周,,a,x,y,o,z,.,

9、上题双曲线,绕,y,,轴一周,12.,,单叶旋转双曲面,,a,.,x,y,o,z,.,.,12.,,单叶旋转双曲面,上题双曲线,绕,y,,轴一周,,13.,,旋转锥面,两条相交直线,绕,x,,轴一周,x,,y,o,,.,两条相交直线,绕,x,,轴一周,x,,y,o,z,13.,,旋转锥面,,x,,y,o,z,.,两条相交直线,绕,x,,轴一周,得旋转锥面,.,13.,,旋转锥面,,y,o,z,14.,,旋转抛物面,抛物线,绕,z,,轴一周,,y,o,x,z,.,抛物线,绕,z,,轴一周,14.,,旋转抛物面,,y,.,o,x,z,生活中见过这个曲面吗？,.,14.,,旋转抛物面,抛物线,绕,z

10、,,轴一周,得旋转抛物面,,卫星接收装置,14.,例,.,,15.,环面,y,x,o,r,R,绕,y,轴,旋转所成曲面,,15.,环面,z,绕,y,轴,旋转所成曲面,y,x,o,.,,15.,环面,z,绕,y,轴,旋转所成曲面,环面方程,.,生活中见过这个曲面吗？,y,x,o,.,.,,救生圈,.,15.,环面,,截痕法,用,z = h,截曲面,用,y = m,截曲面,用,x = n,截曲面,a,b,c,,y,x,,z,o,16.,,椭球面,,x,z,y,0,截痕法,用,z = a,截曲面,用,y = b,截曲面,用,x = c,截曲面,17.,,椭圆抛物面,,x,z,y,0,截痕法,用,z

11、= a,截曲面,用,y = b,截曲面,用,x = c,截曲面,17.,,椭圆抛物面,.,,用,z = a,截曲面,用,y =,0,截曲面,用,x = b,截曲面,x,z,y,0,截痕法,（马鞍面）,18.,,双曲抛物面,,截痕法,.,18.,,双曲抛物面,（马鞍面）,x,z,y,0,用,z = a,截曲面,用,y =,0,截曲面,用,x = b,截曲面,,截痕法,.,18.,,双曲抛物面,（马鞍面）,x,z,y,0,用,z = a,截曲面,用,y =,0,截曲面,用,x = b,截曲面,,,单叶,：,双叶,：,.,.,.,y,x,,z,o,,在平面上，双曲线有渐近线。,,相仿，,单叶双曲面,

12、和,双叶双曲面,,有,渐近锥面,。,,,用,z=,h,去截它们，当,|,h,|,无限增大时，,,双曲面,的截口椭圆与它的,渐进锥面,的截口椭圆任意接近，即：,,双曲面和锥面任意接近。,渐近锥面：,19.,,双曲面的渐进,锥,面,,,直纹面在建筑学上有意义,含两个直母线系,例如，储水塔、,,电视塔等建筑都,,有用这种结构的。,.,20.,,单叶双曲面是直纹面,,,含两个直母线系,21.,双曲抛物面是直纹面,,,n,次齐次方程,F,(,x,y,z,),=,0,的图形是以原点为顶点的锥面；,方程,F,(,x,y,z,),=,0,是,n,次齐次的：,准线,顶点,n,次齐次方程,F,(,x,y,z,),

13、=,0.,反之，以原点为顶点的锥面的方程是,锥面是直纹面,x,0,z,,y,t,是任意数,22.,,一般锥,面,,23.,,空间曲线,——,圆柱螺线,P,同时又在平行于,z,轴的方向,,等速地上升。,,其轨迹就是圆柱螺线。,,,圆柱面,y,z,0,x,a,,x,=,,,y,=,,z =,a,cos,,t,bt,M,(,x,y,z,),a,sin,,t,t,M,螺线从点,P,,,Q,当,,t,,从 0,,2，,叫螺距,N,.,Q,（移动及转动都是等速进,,行，所以,z,与,t,成正比。,),点,P,在圆柱面上等速地绕,z,轴旋转；,,,,,1,.,解,y,x,z,o,得,交线,L,：,24

14、.,空间曲线在坐标面上的投影,由,,,z,=0,.,1,y,x,z,o,解,L,.,.,.,得,交线,L,：,24.,空间曲线在坐标面上的投影,.,投影柱面,由,,,L:,x,z,,y,0,( ),25.,空间曲线作为投影柱面的交线,(1),,消去,z,y,2,= –,4,x,y,2,= –,4,x,,,L:,x,z,,y,0,( ),,消去,z,(,消去,x,),25.,空间曲线作为投影柱面的交线,(1),.,y,2,+(,z –,2),2,= 4,y,2,+(,z –,2),2,= 4,y,2,= –,4,x,y,2,= –,4,x,,,L,：,L:

15、,x,z,,y,0,L,转动坐标系，有下页图,( ),转动坐标系，有下页图,.,,消去,z,(,消去,x,),.,y,2,+(,z –,2),2,= 4,y,2,= –,4,x,y,2,+(,z –,2),2,= 4,y,2,= –,4,x,25.,空间曲线作为投影柱面的交线,(1),,L,：,L,x,z,,y,0,y,2,+(,z –,2),2,= 4,y,2,= –,4,x,(,消去,z,),y,2,+ (,z –,2),2,= 4 (,消去,x,),y,2,= –,4,x,26.,空间曲线作为投影柱面的交线,(2),,6,6,6,x+y+z=,6,3,x+y=,6

16、,2,27.,作图练习,x,0,z,,y,,平面,y,=0 ,,z,=0,，,3,x+y,=6, 3,x+,2,y,=12,和,x+y+z,=6,所围成的立体图,,6,6,6,x+y+z=,6,3,x+y=,6,2,.,x,0,z,,y,,平面,y,=0 ,,z,=0,，,3,x+y,=6, 3,x+,2,y,=12,和,x+y+z,=6,所围成的立体图,,27.,作图练习,,3,x+y=,6,3,x+,2,y=,12,x+y+z=,6,.,6,6,6,x,0,z,,y,4,2,,平面,y,=0 ,,z,=0,，,3,x+y,=6, 3,x+,2,y,=12,和,x+y+z,=6,所围成的立体

17、图,27.,作图练习,,3,x+y=,6,3,x+,2,y=,12,x+y+z=,6,.,6,6,6,x,0,z,,y,4,2,,平面,y,=0 ,,z,=0,，,3,x+y,=6, 3,x+,2,y,=12,和,x+y+z,=6,所围成的立体图,27.,作图练习,,4,2,x+y+z=,6,.,x,0,z,,y,6,6,6,,平面,y,=0 ,,z,=0,，,3,x+y,=6, 3,x+,2,y,=12,和,x+y+z,=6,所围成的立体图,27.,作图练习,,4,2,.,x,0,z,,y,6,6,6,,平面,y,=0 ,,z,=0,，,3,x+y,=6, 3,x+,2,y,=12,和,x+

18、y+z,=6,所围成的立体图,27.,作图练习,,a,a,,x,z,,y,0,28.,,作图练习,,z,= 0,y,=,0,x,,= 0,a,a,x,z,,y,0,28.,,作图练习,.,,a,a,x,z,,y,0,学画草图,28.,,作图练习,.,a,,1,–1,1,y,x,0,29.,,作图练习,z,,,0,x,z,,y,a,a,a,30.,,作图练习,,0,x,z,,y,a,a,a,30.,,作图练习,.,,0,x,z,,y,a,a,a,30.,,作图练习,.,,z,=0,x,=0,y,=0,a,a,a,,30.,,作图练习,.,0,x,z,,y,问题：,,这是个怎样的立体？,这是个七面体,,