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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,*,*,*,第十七章 勾股定理,教材分析,,本章教材在学习中地位,本章主要内容是勾股定理及其逆定理。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形非常重要的性质，有极其广泛的应用．从而搭建起了几何图形与数量关系之间的一座桥梁，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的根底，没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦．所以，勾股定理被认为是平面几何乃至整个数学领域中最重要的定理之一．,二、本章的知识构造图,三、本章内容的课时安排,17．1勾股定理 ————— 4课时,,17．2勾股定
2、理的逆定理—— 3课时,,,数学活动,,小 结 2课时,,仅供参考,合情推理,意识和主动探究,,说理和简单推理的能力,,运用勾股定理解决一些实际问题，体会它的,文化价值,。,四、目标要求,,课标要求,中考要求：,,1、直角三角形的两边长，会求第三边长〔A级〕,,2、会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形〔B级〕,,3、了解定义、命题、定理含义；了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立〔A级〕,学习目标,：,,1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题.,,2、会运用勾股
3、定理的逆定理判定直角三角形.,,3、通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。,,五、本章教法建议：,让学生体验勾股定理的探索和运用过程,,,,,,,,,结合具体例子介绍抽象概念,,,,注重介绍数学文化,,勾股定理是欧式平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，与“黄金分割〞一起被开普勒称为“几何学两个宝藏〞.,,启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何与三角学的建立，使数学的两大门类代数和几何结合起来.,,有人戏称，勾股定理为‘宇宙大定理’，据说我国著名数学家华罗庚曾建议向太空发射一种反映勾股定理的图形.,勾股定理有千年第一定理的美誉,〔1〕勾股定理是联系
4、数学中最根本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理；,,〔2〕勾股定理导致无理数的发现，引发数学的第一次危机；,,〔3〕勾股定理开场把数学由计算与测量转化为证明与推理的科学；,,〔4〕勾股定理的公式是第一个不定方程，它一方面引出各种各样的不定方程；另一方面也为不定方程解题树立了一个范示.,渗透勾股定理的应用意识,,〔教材29页第10题，出自我国数学著作,,九章算术〕,B,C,A,D,C,A,A,B,(教材39页12题〕在圆柱的下底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，需要爬行的最短路程是多少,C,六、关注本章的数学思想,〔一〕方程思想的运用,,例:如图,矩形ABCD沿直
5、线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，BC与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.,,〔二〕分类与整合思想,,◆作高分类,,：△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，那么BC边的长应为多少？,,〔三〕突出数形结合思想,例:如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a、b,斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．,,〔1〕画出拼成的这个图形的示意图．,,〔2〕证明勾股定理．,,c,b,a,c,b,a,c,b,a,c,b,a,c,c,,,〔四〕转化与化归思想,在运用数形结合思想考虑问题时，既可把数量关系的问题转化为图形的问题来解决
6、，也可以把图形的问题转化为数量关系的问题来处理.,,同时，构造直角三角形化非直角三角形问题为直角三角形，表达了化归思想.,七、具体教学建议：,§17.1 勾股定理,1、勾股定理,,2、勾股定理的证明,,勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：,,①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变,,②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理,,,,,3、勾股定理的应用,,〔1〕直角三角形任意两边的长，利用勾股定理可求出第三边长；,,〔2〕知道直角三角形某一边长，可得另两边之间的数量关系；,,〔3〕可运用勾股定理解决一些实际问
7、题,,〔4〕勾股定理可以证明线段相等。,,〔2〕⊿ABC中，AB=13，BC=10， BC边上的中线AD=12 求证：AB=AC,〔1〕利用勾股定理证明RT⊿的全等判定HL〔课本P26思考〕,4,、需要注意的问题：,〔1〕运用勾股定理解决问题时，必须是在直角三角形的条件下，不可不加分析就用勾股定理来进展计算.,,例：在△ABC中， 分别是 、 ， 的对边，且 ，且 。假设 为整数，那么c=,,分析：解法易受“勾三、股四、弦五〞的影响，没有认真审题，错在没有注意到题目中的三角形是否为直角三角形.
8、,,,〔2〕在运用勾股定理进展计算时，一定明确哪条是直角边，哪条是斜边，以防止运用不当.,,例：：三角形两边的长分别是5和12，如果这个三角形是直角三角形，那么其第三边长为 .,,分析：由于此题中直角三角形的两边长，但没有明确这两条边是直角边还是斜边，故需要分情况讨论,5、知识点 知识点〔一〕：利用勾股定理求线段长的简单应用 知识点〔二〕勾股定理与直角三角形其他性质的运用,,探究1：,,总结：1.直角三角形的性质：,,〔1〕角的关系：直角三角形两锐角互余.,,〔2〕边的关系：,,直角三角形斜边大于直角边.,,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.,,直角三角形斜边的中
9、线等于斜边的一半.,,〔3〕边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.,,2. 双垂图：两种不同方法表示直角三角形的面积，得出三边长与斜边上高的关系式,,3.〔1〕含有30°的直角三角形的三边的比为：1： .,,〔2〕含有45°的直角三角形的三边的比为： .,,〔3〕等边三角形的边长为 ，那么高为 ，面积为,探究2： 你能在数轴上画出表示 的 点么？,探究3：把勾股定理中以各边为边长的正方形改为等腰直角三角形、正三角形或半圆，是否有类似结论？,,知识点〔三〕勾股定理在几何中的应用,,例
10、1：： △ABC中AB=AC=20，,,BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，,,求BD的长,,,,过A作AE⊥BC于E,,[总结]勾股定理是解决直角三角形中线段问题有效的方法，有时为了需要，作垂线构建直角三角形模型是行之有效的方法.,知识点〔四〕利用勾股定理解决实际问题,知识点〔五〕斜三角形可转化为直角三角形 研究,,探究：如图，在△ABC中，∠B=30°, ∠BAC=105°,AB=8.求BC的长.,知识点〔六〕探索勾股定理的证明,有一些题以动手操作的形式来考察勾股定理的证明方法，故注意积累用拼图发现和验证勾股定理的证明思想.,,一类
11、是利用一些全等的直角三角形纸片拼成正方形或直角梯形〔如弦图和总统证法〕,,另一类是将一种图案通过割补法转化为另一种几何图案，通过面积的计算方式不同从而建立三边之间的关系，获得勾股定理的证明,§17.2 勾股定理的逆定理,,〔1〕勾股定理的逆定理是判别一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形状.,,当 时，以 为边的三角形是直角三角形〔∠C=90°〕；,,当 时，以 为边的三角形是钝角三角形〔 90°< ∠C < 180°〕；,,当 时，以
12、 为边的三角形是是锐角三角形〔 0°< ∠C < 90°〕.,〔2〕定理中 及 只是一种表现形式. 假设三边长 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 所对的角是直角.,,〔3〕逆定理成立了，才能说明存在直角三角形，从而才能出现斜边直角边的概念.在用文字表达时，不能说成“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。〞,,〔4〕课本中证明逆命题的思路有同一法的味道，对局部学生来说较为新鲜，非常有启发意义。,知识点(一)勾股定理逆定理的应用.,到目前为止你有多少种方法证明一个三角形是直角三角
13、形？,,直角三角形的判定：,,①有一个角是直角的三角形是直角三角形。,,②有两个角互余的三角形是直角三角形。,,③两边的平方和等于第三边〔最长的边〕的平方的三角形是直角三角形,知识点〔二〕：互逆命题、互逆定理,互逆命题的定义：,,互逆的两个命题的真假情况如何？,,练习：是否所有互逆的两个命题都是同真或同假？请举例说明.,,教材33页练习2，教材34页复习稳固2,,知识点〔三〕：勾股数,,背景知识： 本身就是一个关于的不定方程，显然它有无数多组解,,满足该方程的正整数解 通常叫做勾股数组,,,九章算术 ， ，,,其中 为互质
14、的奇数 ，那么 为勾股数.,,,希腊的丢番图 ， ，,,其中 是互质且一奇一偶的任意正整数，那么 为勾股数,,毕达哥拉斯 〔 的整数〕,,柏拉图 〔 的整数〕,记住一些常用的勾股数. 如：,,3，4，5；,,5，12，13；,,6，8，10；,,8，15，17；,,9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组.,,知识点〔四〕：勾股定理与勾股定理逆定理的综合应用,补充：在四边形ABCD中，,,,求四边形ABCD的面积。,,,补充：一块四边形的土地，其中,,,求这块土地的面积。,,,,补充：如下图，边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中，位于x轴上方，OA与x轴正半轴的夹角为60°，那么B点坐标为______________。,,答案：〔1－ ，1＋ 〕,,
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