球的内切与外接问题

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,内切与外接问题,球,,,球的体积、表面积公式：,4.,若两球体积之比是,1:2,

2、，则其表面积之比是,______,.,练习,,,,1.,若球的表面积变为原来的,2,倍,,,则半径变为原来的,___,倍,.,2.,若球半径变为原来的,2,倍，则表面积变为原来的,___,倍,.,3.,若两球表面积之比为,1:2,，则其体积之比是,______,.,课堂练习,,如图,,,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,,,求证,:,,(1),球的表面积等于圆柱的侧,面积,.,,(2),球的体积等于圆柱体积的三分之二,.,,,,,O,用一个平面去截一个球,O,，截面是圆面,,,,,O,ß,球的截面的性质：,,1、球心和截面圆心的连线垂直于截面,,2、球心到截面的距离为d，球的半径为R，则,截面

3、问题,,,,O,A,B,C,,,,,例,.,已知过球面上三点,A,、,B,、,C,的截面到球心,O,的距离等于球半径的一半，且,AB=BC=CA=,２,cm,，求球的体积，表面积．,例题讲解,球与多面体的接、切,定义,1,：若一个多面体的,各顶点,都在一个球的球面上,， 则称这个多面体是这个球的,内接多面体,， 这个球是这个多面体的,外接球,。,定义,2,：若一个多面体的,各面,都与一个球的球面相切,， 则称这个多面体是这个球的,外切多面体,， 这个球

4、是这个多面体的,内切球,。,棱切：,,一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。,内切球球心到多面体各面的距离均相等，,,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等,,正方体的内切球,,正方体的,内切球,的半径是棱长的一半,,,中截面,切点：,各个面的中心,。,,球心：,正方体的中心,。,,,,,,,正方体的外接球,正方体的,外接球,半径是体对角线的一半,,,,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,,,,对角面,正方体的棱切球,,,,,,,,,切点：,各棱的中点,。,,球心：,正方体的中心,。,,,,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,中截面,,,.,正方体的棱切球

5、,正方体的,棱切球,半径是面对角线长的一半,,,,,,,.,球与正方体的“接切”问题,典型,：有三个球,,,一球切于正方体的各面,,,一球切于正方体的各侧棱,,,一球过正方体的各顶点,,,求这三个球的体积之比,.,变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为,24,，则该球的体积为,,.,,,1,、求正方体的外接球的有关问题,,例,1,、若棱长为,3,的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为,,.,§,2,长方体与球,长方体的外接球,长方体的（体）对角线等于球直径,,,一般的长方体有内切球吗？,没有。,一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的,5,个面相切。,如果一

6、个长方体有内切球，,,那么它一定是,正方体,,,？,2,、求长方体的外接球的有关问题,例,2,、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为,1,2,3,，则此球的表面积为,,.,解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为 ，故球的表面积为,.,,变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为,4,，体积为,16,，则这个球的表面积为（ ）,,A. B. C. D.,C,如何求,直棱柱的外接球,半径呢？（底面有外接圆的直棱柱才有外接球）,（,1,

7、）先找外接球的球心：,,它的球心是连接上下两个多边形的,外心,的线段的中点；,,（,2,） 再构造直角三角形，勾股定理求 解。,,,,正四面体与球,1.,求棱长为,a,的正四面体的外接球的半径,R,.,2.,求棱长为,a,的正四面体的棱切球的半径,R,.,正四面体的外接球和棱切球的球心重合。,3.,求棱长为,a,的正四面体的内切球的半径,r,.,正四面体的外接球和内切球的球心为什么重合？,？,,,正四面体的外接球和内切球的球心一定重合,R:r=3:1,正四面体的内切球,,,棱切,球,,,外接球,三个球心合一,,半径之比为,：,,P,A,B,C,R,.,正四面体的外接球还可利用直角三角形勾股定

8、理来求,D,·,●,●,,O,●,●,B,D,A,M,,,R,O,P,A,B,C,D,K,H,,.,正四面体的,内切球还可利用截面三角形来求,,O,1,A,B,E,O,,1,,,F,求棱锥外接球半径常见的补形有：,,正四面体常补成正方体；,,三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长（正）方体；,,三组对棱（两条棱所在任意平面都不平行）分别相等的三棱锥可补成长（正）方体；,,侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱,,总结,,,SA=BC,SC=AB,SB=AC,小结,2,,求棱锥外接球半径的方法：,,（,1,）补形法（适用特殊棱锥）,,（,2,）勾股定理法 （通法）,,关键是,找球心,，画出截面图，构造与,R,

9、有关的直角三角形。,已知长方体的长、宽、高分别是 、 、,1,，,,求长方体的外接球的体积。,变题：,2.,已知球,O,的表面上有,P,、,A,、,B,、,C,四点，且,PA,、,PB,、,PC,两两互相垂直，若,PA=PB=PC=a,，求这个球的表面积和体积。,A,,,,C,,B,P,,,O,,,,,1,、正多面体的内切球和外接球的球心重合,2,、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合,3,、体积分割是求内切球半径的通用做法,,,,,,,,,【,典例,】,(2012,·,新课标全国卷,),已知三棱锥,S-ABC,的所有顶点都在球,O,的球面上，△,ABC,是边长为,1,的正三角形，,SC,为球,O,的直径，且,SC=2,，则此棱锥的体积为,( ),,(A) (B) (C) (D),A,2.(2013,·,昆明模拟,),一个几何体的,,三视图如图所示，它们都是腰长为,,1,的等腰直角三角形，则该几何体,,的外接球的体积等于,( ),,(A) (B),,(C)π (D)2π,B,