1.3.1单调性与最大(小)值(两课时)

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,课题导入,函数是描述事物运动变化规律的数学模型，了解函数的变化规律势在必得。观察下面函数的图象，能说出它们的变化规律吗？,x,y,0,2,-2,2,-2,x,y,0,2,2,-2,-2,,保持量（百分数,）,天数,1 2 3 4 5 6,0,20,40,60,80,100,,单调性与最大（小）值,,问题,1,画出,f(x,)=x,的图像，并观察其图像。,2,、在区间,________,上，随着

2、,x,的增大，,f(x),的值随着,______.,o,5,-5,-5,5,f(x,)=x,1,、从左至右图象上升还是下降,,____?,上升,增大,,1,、在区间,________,上，,f(x,),的值随着,x,的增大而,______.,问题,2,画出 的图像，并观察图像,.,o,5,-5,-5,5,2,、 在区间,________,,上，,f(x),的值随着,x,的增大而,_____.,(-∞,0],(0,+∞),减小,增大,,对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间 上，随,x,的增大，相应的,f(x,),也随着增大”,.,

3、在区间 上，任取两个 ，得到,，当,时，有,这时，我们就说函数 在区间 上是,增函数,.,,x,y,2,1,0,1,3,,（,1,）对于函数,y=,f(x,),,，若在区间,I,上，,当,x,＝,1,时,, y,＝,1;,当,x,＝,2,时,, y,＝,3,,,能说在区间,I,上函数值,y,随自变量,x,的增大而增大吗,?,思考,,,（,2,）,对于函数,y=,f(x,),,，若在区间,I,上，,当,x,＝,1, 2, 3, 4,,时,,,相应地,y,＝,1, 3, 4, 5,，,能说在区间,I,上,函

4、数值,y,随自变量,x,的增大而增大,吗？,思考,x,y,1,0,3,4,2,1,2,3,4,,x,y,x,1,0,x,2,x,3,x,n,y,1,y,2,y,3,y,n,x,应该取区间,I,内所有实数,,(3),对于函数,y=,f(x,),若 区间,I,上有,n,个数,,x,1,<,x,2,<,x,3,<···<,x,n,，它们的函数值满足,:,,y,1,<,y,2,<,y,3,<···<,y,n,时，能说在区间,I,上,y,随,x,的增大而增大吗 ？,思考,若,x,取无数个呢,?,,能否仿照前面的描述，说明函数

5、 在区间,(-∞,0],上是减函数吗？,在区间,(-∞,0],,上，任取两个 ，得到,，当,时，有,这时，我们就说函数 在区间 上是,减函数,.,,函数单调性的概念：,一般地，设函数,y=f(x),的定义域为,I,，,如果对于定义域,I,内的某个区间,D,内的任意两个自变量,x,1,，,x,2,，当,x,1,

6、,如图,1 .,1,．增函数,知识要点,,一般地，设函数,y=f(x),的定义域为,I,，,如果对于定义域,I,内的某个区间,D,内的任意两个自变量,x,1,，,x,2,,，当,x,1,f(x,2,),,，那么就说,f(x),在区间,D,上是,减函数,,,,如图,2.,y,x,0,x,1,x,2,f(x,1,),f(x,2,),y=,f(x,),图,1,y,x,0,x,1,x,2,f(x,1,),f(x,2,),y=,f(x,),图,2,,,1,、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的,局部性质,.,,2,、必须是对于区间,D,内的,任意,两

7、个自变量,x,1,，,x,2,；当,x,1,f(x,2,),,，则函数,f(x),分别是增函数或减函数,.,注意,,在某区间上，,减函数,图象下降。,,增函数,图象上升,x,y,o,x,y,o,,,如果函数,y=f(x),在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数,y=f(x),在这一区间具有（严格的）,单调性,，区间,D,叫做,y=f(x),的,单调区间,.,函数的单调性定义,,例,1,下图是定义在区间,[-4,5],上的函数,y=f (x),，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数

8、？,1,2,3,4,5,-1,-2,-3,-4,-2,-3,2,3,o,,解：函数,y=,f(x,),的单调区间有,[-4,，,-2),，,[-2,，,-1),，,[-1,，,1),，,[1,，,3),，,[3,，,5],,其中,y=f (x),在区间,,[-4,，,-2),，,[-1,，,1),，,[3,，,5],上是增函数，在区间,,[-2,，,-1),，,[1,，,3),上是减函数,.,,例,2,物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积,V,减小时，压强,p,将增大,,,试用函数单调性证明之,.,分析：按题意就

9、是证明函数 在区间 上是减函数,.,,证明：根据单调性的定义，设,V,1,，,V,2,是定义域,(0,，,+∞),上的任意两个实数，且,V,1,0, V,2,- V,1,>0,又,k>0,,于是,所以，函数 是减函数,.,也就是说，当体积,V,减少时，压强,p,将增大,.,取值,定号,作差变形,结论,,用定义证明函数单调性的步骤是：,（,1,）取值,（,2,）作差变形,（,3,）定号,（,4

10、,）判断,根据单调性的定义得结论,即取 是该区间内的任意两个值且,即求 ，通过因式分解、配方、有理化等方法,即根据给定的区间和 的符号的确定,,的符号,,例３ 求证：函数 在区间 上是单调增函数．,，则,证明：在区间（,0,，,+∞,）上任取两个值 且,又因为 ， ，所以说,即函数 在区间（,0,，,+∞,）上是单调增函数,.,,若把区间

11、改为,,,结论变化吗,?,思考,自己动手做一下吧,若把函数改为,结论变化吗？,,探究,画出反比例函数 的图象．,,,,1,这个函数的定义域是什么？,,,2,它在定义域,I,上的单调性怎样？证明你的结论．,x,y,0,{x,∣,x,≠0},分两个区间,(0,，,+∞),， （,- ∞,，,0,）来考虑其单调性,.,,函数,f(x)=1/x,在,(0,，,+∞),上是减,函数,.,f(x,1,)- f(x,2,)=,由于,x,1,,x,2,得,x,1,x,2,>0,,又由,x,1,0,,所以,f(x,1,)- f(x,2,)>0,,即

12、,f(x,1,)> f(x,2,).,证明：,（,1,）,在,区间,(0,，,+∞),上，,设,x,1,,x,2,是,(0,，,+∞),上任意两个实数，且,x,1,

13、函数定义域内任意自变量,x,，,f(x,),与,M,的大小,,关系如何？,思考,f(x,)< M,ƒ(0)=1,O,1,2,2,、存在,0,，使得,ƒ(0)=1.,1,、对任意的 都有,ƒ(x)≤1.,1,是此函数的最大值,,知识要点,M,是函数,y= f (x),的最大值（,maximum value,）：,一般地，设函数,y= f (x),的定义域为,I,，如果存在实数,M,满足：,,（,1,）对于任意的,x ∈I,，都有,f (x) ≤M;,,（,2,）存在 ，使得,.,,一般地，设函数,y=,f(x,),的定义域为,I,，如果实数,M,满足：,

14、,（,1,）对于任意的的,x∈I,，都有,f(x,),≥M;,,（,2,）存在 ，使得,,，,,那么我们称,M,是函数,y=,f(x,),的最小值（,minimun,value,）,.,能否仿照函数的最大值的定义，给出函数,y=,f(x,),的最小值的定义呢？,思考,,函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？,思考,是,如果在函数,f(x,),定义域内存在,x,1,和,x,2,，使对定义域内任意,x,都有 成立，由此你能得到什么结论？如果函数,f(x,),的最大值是,b,，最小值是,a,，那么函数,f(x,),

15、的值域是,[a,，,b],吗？,思考,函数,f(x,),在定义域中既有最大值又有最小值,.,,探究,:,函数单调性与函数的最值的关系,（,1,）若函数,y=f (x),在区间,[m,，,n] (m

16、(n).,,(3),若函数 则函数,y=,f(x,),在区间,[,m,n,],上的最值是什么？,O,x,y,最大值,f (l)=h,，有最小值,f (m), f (n),中较小者,.,,,解：做出函数 的图像。显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度,.,o,t,h,4,3,2,1,5,10,15,20,由二次函数的知识，对于函数,，我们有,当

17、 时，函数有最大值,所以，烟花冲出,1.5s,是它爆裂的最佳时刻，此时距离地面的高度约为,29m.,,例,5,已知函数 ，求函数的最大值与最小,.,分析：由函数的图象可知道，此函数在,[3,，,5],上递减。所以在区间,[3,，,5],的两个端点上分别取得最大值与最小值,.,解：设 是区间,[3,，,5],上的任意两个实数，且 ，则,,由于 得,于是,即,所以，此函数在区

18、间,[3,5],的两个端点上分别取得最大值与最小值即在,x=3,时取得最大值是,1,，在,x=5,时取得最小值为,0.5.,,课堂小结,2,、,函数单调性的定义,；,3,、,证明函数单调性的步骤；,1,、单调函数的图象特征,；,4,、函数的最值：,最大值,最小值,,5,、函数的最值的求法,（,1,）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值,;,,（,2,）利用图象求函数的最值,;,,（,3,）利用函数单调性求函数的最值,.,,高考链接,,课堂练习,1.,填表,函数,单调区间,k >0,k <0,k >0,k <0,增函数,减函数,减函数,增函数,单调性,,函数,单调区间,单调性,增函数,增函数

19、,减函数,减函数,,最大,0.5,0.2,-2,,5 .,设,b>1,为常数，如果当,x,∈,[1,b],时，函数,,的值域也是,[1,b],,求,b,的值,.,x,y,0,1,1,解：因为,所以,f(x,),在,x=1,时取得最小值为,1,，又因为,x,∈,[1,b],，由,f(x,),的图像可知道在区间,[1,b],上是递增的，所以,得,b=3,或,b=-1,，因为,b>1,，所以说,b=3.,,教材习题答案,,1.,在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低,.,由此可见，并非是工人越多，生产效率即越高,.,,2.,增区间为：,[8,12],[13,18];,减区间为,[12,13],[18,20].,,3.,证明：任取 且 ，因为,即,所以,f(x,)=-2x+1,在,R,上是减函数,.,,4.,最小值,.,,,