信号与系统第二章

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,第二章 连续时间系统的时域分析,1.,经典时域分析方法,:,求解微分方程,2.,卷积法,:,系统完全响应,=,零输入响应,+,零状态响应,求解齐次微分方程得到零输入响应,利用卷积积分可求出零状态响应,系统响应求解方法,:,,2.1,经典时域分析方法,微分方程的全解即系统的完全响应,,,由齐次解,y,h,(,t,),和特解,y,p,(,t,),组成,:,齐次解的形式,:,(1),特征根是不等实根,s,1,,,s,2,,,,,,s,n,(2),特征根是等实根,s,1,=,s,2,=,,=,s,

2、n,(3),特征根是成对共轭复根,,常用激励信号对应的特解形式,,例,1,已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程,,初始条件,y,(0)=1,,y,’(0)=2,,输入信号,f,(,t,)=e,-,t,,ε,(,t,),，,求系统的完全响应,y,(,t,),。,特征根为,齐次解,y,h,(,t,),解,(1),求齐次方程,y,''(,t,)+6,y,'(,t,)+8,y,(,t,) = 0,的齐次解,y,h,(,t,),特征方程为,,2),求非齐次方程 的特解,解得,A,=5/2,，,B,=,-,11/6,由输入,f,(,t

3、,),的形式，设方程的特解为,y,p,(,t,),y,p,(,t,)=,Ce,-t,将特解带入原微分方程即可求得常数,C,=1/3,。,3),求方程的全解,,概念：关于,0,－,与,0,＋,初始值,,在系统分析中，在,t=0,+,时刻，激励,f(t),已经接入，此时,y,(j),(0,+,) (j=0,1,…,n-1),包含输入信号的作用，它不能描述系统的历史信息。,,在,t=0,-,时刻，激励,f(t),尚未接入，此时,y,(j),(0,-,) (j=0,1,…,n-1),反映了系统的历史信息，而与激励无关。,,某些情况下，为求解描述,LTI,系统的微分方程时，就需要从已知的初始状态,y,(

4、j),(0,-,),设法求得,y,(j),(0,+,),。,,例,2,：描述某,LTI,系统的微分方程为,,,y,”,(t)+3y,’,(t)+2y(t)=2f,’,(t)+6f(t),,已知,y(0,-,)=2,，,y,’,(0,-,)=0,，,f(t)=,ε,(t),，求,y(0,+,),和,y,’,(0,+,),解：将激励,f(t)=,ε,(t,),代入上述微分方程，可得：,,y,”,(t)+3y,’,(t)+2y(t)=2,δ,(t)+6,ε,(t),,,如果上式对,t=0,-,成立，那么在,0,-,到,0,+,区间内，等号两端,δ,(t),项的,系数应相等。对上式等号两端从,0,-,

5、到,0,+,进行积分，得：,,,由于积分在无穷小区间,[0,-,,0,+,],进行，而且,y(t),是连续的，所以：,于是可得：,因,y(t),在,t=0,处连续，可将,y(0,-,)=2,，,y′(0,-,)=0,代入上式得：,,,2.1.3,零输入响应和零状态响应,,,线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和，即,,,y(t)=,y,zi,(t)+y,zs,(t,),,,,在零输入条件下,，,n,阶微分方程等式右端均为零，化为齐次方程。若其特征根,全为单根，则其零输入响应,,,,式中,C,zij,为待定常数。,,若系统的初始状态为零，若,n,阶微分方程特征根均为单根，则其零

6、状态响应,式中,C,zsj,为待定常数。,,,系统的完全响应即可分解为自由响应和强迫响应，也可分解为零输入响应和零状态响应，,它们的关系为：,,式中,可见,,,零输入响应系数,C,zij,仅由系统的初始状态所决定，而自由响应系数,C,j,要由系统初始状态和激励信号共同确定。自由响应包含零输入响应和零状态响应的一部分。,零输入响应,零状态响应,,强迫响应,自由响应,,在,用,经典法求零输入响应和零状态响应时，也需要响应及其各阶导数的初始值，以确定待定系数,C,zij,和,C,zsj,。,,由式,y(t)=,y,zi,(t)+y,zs,(t,),可得其各阶导数,：,y,(j),(t)=,y,zi

7、,(j),(t)+y,zs,(j),(t,),，,j=0,1,2,……,n-1,如果上式对,t = 0,-,也成立，则有：,y,(j),(0,-,)=y,zi,(j),(0,-,)+y,zs,(j),(0,-,),,y,(j),(0,+,)=y,zi,(j),(0,+,)+y,zs,(j),(0,+,),,对于零状态响应，在,t = 0,-,时刻激励尚未接入为零，应有：,y,zs,(j),(0,-,)＝0,对于零输入响应，由于激励为零，应有：,y,zi,(j),(0,+,),＝,,y,zi,(j),(0,-,) = y,,(j),(0,-,),由此可根据题目给定初始状态（,0,-,值）求得有关

8、,0,+,初始值。,,例,3,：描述某,LTI,系统的微分方程为,,y,″(t)+3,y,’,(t)+2y(t)=2f,’,(t)+6f(t),；,已知,y(0,-,)=2,，,,y,’,(0,-,)=0,，,f(t)=,ε,(t),，求,该系统的零输入响应和零状态响应。,解,：,（,1,）零输入响应,y,zi,(t,),y,zi,(t,),是,方程,y,zi,″(t)+3y,zi,’,(t)+2y,zi,(t)=0,的解,该,方程的特征根,-1;-2,，所以零输入响应可写为：,y,zi,(t,)=C,zi1,e,-t,+C,zi2,e,-2t,由：,y,zi,(0,+,) = y,zi,(0

9、,-,)= y,,(0,-,)= 2 = C,zi1,+C,zi2,；,,,,,y,zi,’,(0,+,) = y,zi,’,(0,-,)= y,zi,’,(0,-,)= 0 =-C,zi1,-2C,zi2,可得：,C,zi1,=4,；,C,zi2,=-2,，,所以系统的零输入响应为：,,,y,zi,(t,)=4e,-t,-2e,-2t,t≥0,也可表示为,y,zi,(t,)=(4e,-t,-2e,-2t,),ε(t),,,（,2,）零状态响应,y,zs,(t,),y,zs,(t,),是,方程,y,zs,”,(t)+3y,zs,’,(t)+2y,zs,(t)= 2,δ,(t)+6,ε,(t),

10、的解,对上式等号两端从,0,-,到,0,+,进行积分，得：,y,zs,(t,),在,t,＝,0,处连续，所以：,y,zs,(0,+,) = y,zs,(0,-,)=0,,,y,zs,’,(0,＋,)= 2 - y,zs,’,(0,-,)=2,对于,t>0,，,方程可写为：,y,zs,”,(t)+3y,zs,’,(t)+2y,zs,(t)= 6,很容易可求得：,y,zs,(t,)=C,zs1,e,-t,+C,zs2,e,-2t,+3,再根据初始条件可解得：,C,zs1,=-4,；,C,zs2,=1,最后得到系统的零状态响应为：,y,zs,(t,)=-4e,-t,+e,-2t,+3 t≥0

11、,也可表示为,y,zs,(t,)=(-4e,-t,+2e,-2t,+3),ε(t),,,2.2,冲激响应和阶跃响应,,2.2.1,冲激响应,,一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激信号,δ(t),所引起的响应称为单位冲激响应，简称,冲激响应,，用,h(t),表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号,δ(t,),时，系统的零状态响应。其示意图如图,2.2.1,所示,。,,图,2.2.1,冲激响应示意图,0,t,d,,(,t,),(1),线性非时,变系统,d,,(,t,),h,(,t,),{x(0)},＝,{0},t,h,(,t,),0,,冲激平衡法,,,冲激平衡法是指为保持系

12、统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲激响应,h(t).,,,,根据系统动态方程式两边冲激信号的平衡来设定系统的冲激响应,h(t),时，若等式左边求导的最高阶次为,n,次，等式右边求导的最高阶次为,m,次，且动态方程的,特征方程的特征根全为单根时，则有：,,N,阶连续时间,LTI,系统的冲激响应,h,(,t,),满足,,当,n,>,m,时,n,,m,时,,,为使方程两边平衡,,,h,(,t,),应含有冲激及其高阶导数,,,即,,例,2.2-1,已知某线性时不变系统的动态方程式为,,,试求系统的冲激响应。,,解：根据系统冲激响

13、应,h(t),的定义，当,f(t)=δ(t),时，,y(t,),即为,h(t),，,即原动态方程式为,,由于动态方程式右侧存在冲激信号,δ(t,),，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧也必须含有,δ(t,),。这样冲激响应,h(t,),必为,Ae,λt,ε,(t,),的形式。考虑到该动态方程的特征方程为,,,由此可得特征根,λ=-3,，,因此可设,h(t)=Ae,-3t,ε,(t),，,式中,A,为待定系数，将,h(t),代入原方程式有,,解得,A=2,，,因此，系统的冲激响应为,,,例,2.2-2,已知某线性非时变系统的动态方程式为,,,,试求系统的冲激响应,h(t),。,,,,解：

14、由原方程可得,,,,由于动态方程式右侧存在冲激信号,δ’(t),，,为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧,h(t),最高次,h’(t),也必须含有,δ’(t),。,这样，冲激响应,h(t),必含有,δ(t),项。考虑到动态方程式的特征方程为,,,特征根,为,λ,1,=-6,，,因此设,,,,式中,A,、,B,为待定系数，将,h(t),代入原方程式有,,解得,即,因此，系统的冲激响应为,,,例,2.2-3,已知某线性非时变系统的动态方程,式为,,试求系统的冲激响应,h(t),。,,,,解： 由原方程可得,,,考虑到该动态方程的特征方程为,λ,2,+3λ+2=0,，,特征根,λ,1,=,－,

15、1,，,λ,2,=,－,2,，,因此设,,,式,中,A,1,、,A,2,为待定系数，将,h(t),代入原方程式，解得,A,1,=1,，,A,2,=1,。,因此，系统的冲激响应为,,冲激平衡法小结,1),由系统的特征根来确定,ε,(,t,),前,的指数形式,.,2),由动态方程右边,d,(,t,),的最高阶导数与方程左边,h,(,t,),的最高阶导数确定,d,(,j,),(,t,),项.,n,=,m,时,n,＜,m,时,n>m,时,,,2.2.2,阶跃响应,,,一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称,阶跃响应,，用,g(t),表示。阶跃响应是

16、激励为单位阶跃函数,ε,(t),时，系统的零,状态响应，如图,2.2.2,所示。,0,1,t,线性非时,变系统,g,(,t,),{x(0)},＝,{0},ε,(,t,),g,(,t,),0,t,ε,(,t,),图,2.2.2,阶跃响应示意图,,一般，若,n,阶微分方程的等号右端只含激励,f(t),,即若,则当,f(t)=,ε,(t),时，其零状态响应,g(t),满足方程：,由 于上式等号右端只含,ε,(t),，,所以除,g,(n),(t),外，,g(t),及其直到,n-1,阶导数都连续，即有：,若,方程（,2.2-19,）的特征根均为单根，则阶跃响应为：,（,2.2-19,）,(2.2-21)

17、,,另外，若,n,阶微分方程的等号右端含有激励,f(t),及其导数,,,即若,若,上述方程的特征根均为单根，则可设该系统阶跃响应为：,,2),利用冲激响应与阶跃响应的关系,阶跃响应的求解方法：,1,）求解微分方程法：,,例,2.2-5,若描述系统的微分方程为,,,y”(t)+3y’(t)+2y(t)= 0.5f’(t)+2f(t),,,试求系统的阶跃响应。,,解,:,系统特征方程的特征根为,λ,1,=,－,1,，,λ,2,=,－,2,，,b,0,/a,0,=1,，,因此可设其阶跃响应为：,,,g(t)=(c,1,e,-t,+c,2,e,-2t,+1),ε,(t),,它的一阶，二

18、阶导数分别为,,,g’(t,)=(c,1,+c,2,+1)δ(t)+(-c,1,e,-t,-2c,2,e,-2t,),ε,(t),,,g”(t,)=(c,1,+c,2,+1)δ’(t)+(-c,1,-2c,2,)δ(t)+(c,1,e,-t,+4c,2,e,-2t,),ε,(t),,,将,f(t)=,ε,(t),，,y(t)=g(t),，,及其导数,g’(t,),和,g”(t,),代入系统的微分方程，稍加整理得,,,,由系统对应相等有,,,所以，系统的阶跃响应为,g(t)=(-3/2e,-t,+1/2e,-2t,+1),ε,(t),,例,2.2-6,系统的冲激响应,h,(,t,)=2e,

19、-,3,t,,ε,(,t,),,则该的阶跃响应为,,2.3,卷积积分,2.3.1,卷积的计算,卷积的定义,：,方法：,解析计算,和,图形计算,,解析计算,例：已知,,,,试计算,解：,暗含,注意：,1,、积分上下限问题；,,,2,、积分结果的 始终点问题。,,图形法,步骤：,2,、,1,、,3,、,4,、,注意：,1,、结果的,始点,为两信号始点之和、,终点,为两信号终点之和。,,,2,、方波和方波卷积结果是,等腰梯形,。,,,例2.3.1,,浮动坐标,浮动坐标：,下限 　　　上限,t,-,3,t,-,0,t,：,移动的距离,-1,1,,t,,,-,1,两波形没有公共处，二者乘积为,0,，即

20、积分为,0,,-,1,t,,1,,时两波形有公共部分，积分开始不为,0,，,,积分下限,-,1,，上限,t,,，,t,,为移动时间,;,,1,t,,2,即1,,t,,2,,2,,,t,,,4,即2,,,t,,4,,t,,,4,即,t,,4,t,-,3,,1,,卷积结果,,积分上下限和卷积结果区间的确定,[A,B],[C,D],[A+C,B+D],一般规律,：,上限,下限,当 或 为非连续函数时，卷积需分段，积分限分段定。,上限取小，下限取大,(1),积分上下限,(2),卷积结果区间,-,1,+,1,,2,2,t,1,2,t,1,计算

21、 （练习）,,2.4,卷积的性质,1,、,交换律,等价于,,2,、,分配律,等价于,,3,、,结合律,等价于,,4,、,微分特性,则,5,、,积分特性,则,,6,、,卷积的积分特性,则,,7,、 卷积的延时特性,,则,8,、展缩特性,则,,7,、位移（延时）特性证明：,8,、展缩特性证明：,,2.4.3,奇异信号的卷积,2,、,微分特性,,,,f,(,t,) *,,,'(,t,) =,f,'(,t,),1,、延迟特性,f,(,t,) *,,(,t -T,) =,f,(,t,-,T,),应用：,,,周期延拓,说明：系统函数

22、 ，则系统为,微分器,,3,、,积分特性,,,说明：系统函数 ，则系统为,积分器,,[,例,],已知某线性时不变系统的动态方程式为,t,>0,，,,f,(,t,)=,e,-2,t,ε,(,t,),，,y,(0,-,)=1,，,y,’(0,-,)=2,,试求：,(1),系统的零输入响应,y,zi,(,t,),,(2),系统的零状态响应,y,zs,,(,t,),,(3),系统的完全响应,y,(,t,),[,解,] (1),系统的零输入响应,y,zi,(t,),系统的特征方程为,s,2,+7s+12=0,解得系统的特征根为,s1=,－,3

23、,，,s2=,－,4,,系统的零输入响应,y,zi,(,t,)=,K,1,e,-3,t,+,K,2,e,-4,t,t,≥,0,,解得待定系数分别为,K,1,=6,,K,2,=,－,5,,故,y,zi,(,t,)=6,e,-3,t,,－,5,e,-4,t,t≥0,代入系统的初始状态,y,(0,-,),，,y,'(0,-,),,,有,y,(0,-,)=,K,1,+,K,2,=1,y,‘(0,-,)=,－,3,K,1,－,4,K,2,=2,先求出冲激响应,h,(,t,)=[,－,3,e,-3,t,+5,e,-4,t,],ε,(,t,),(3),系统的零状态响应,y,zs,,(t),,,(4),系统的完全响应,y(t),,,,,,,卷积法求解系统响应,小结,：,(1),根据系统动态方程所对应的齐次方程式求系统的特征根；,,(2),根据系统特征根设系统零输入响应,y,zi,(,t,),的形式；,,(3),由系统初始状态求出,y,zi,(,t,),中的待定系数，从而解得零输入响应,y,zi,(,t,),；,,,(4),求系统的冲激响应,h,(,t,),；,,(5),由输入激励,f,(,t,),与冲激响应,h,(,t,),的卷积，得到系统的零状态响应,y,zs,,(,t,),。,,